劉艷曉,路召飛,吳增良,黃 麗
(1.太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,太原 030024;2.安徽省蕭縣中學(xué),安徽蕭縣 235200)
標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上完全保立方零元的可加映射
劉艷曉1,路召飛2,吳增良2,黃 麗1
(1.太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,太原030024;2.安徽省蕭縣中學(xué),安徽蕭縣235200)
引用對(duì)Banach空間上的一秩冪等元集上雙邊保Jordan三重零積的滿射的刻畫,得到了實(shí)或復(fù)無(wú)限維Banach空間上的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)之間完全保持立方零元的可加滿射的具體結(jié)構(gòu)形式,進(jìn)而證明了這樣的映射是同構(gòu)或者(復(fù)情形下)共軛同構(gòu)。
標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù);完全保持;立方零元;可加映射
近些年來(lái),眾多學(xué)者以某種特定的性質(zhì)、子集或關(guān)系等作為不變量,深入的研究了算子代數(shù)或算子空間上保持這些不變量映射的刻畫問(wèn)題。研究結(jié)果顯示,在很多情況下,這樣的映射要么是代數(shù)同態(tài),要么是代數(shù)反同態(tài),由此也得到了算子代數(shù)的一些代數(shù)或幾何結(jié)構(gòu)性質(zhì)[1]。2010年,侯晉川和黃麗[2]兩位學(xué)者在無(wú)限維Banach空間上,探討了標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)之間完全保持冪等元以及完全保持平方零元的映射問(wèn)題,同時(shí)也提出了研究保持問(wèn)題的一種新方法——完全保持問(wèn)題。盡管目前完全保持問(wèn)題的研究成果還不是很多(見(jiàn)文獻(xiàn)[3-9]),但是完全保持問(wèn)題能更有助于反映同態(tài)映射的本質(zhì)。因此,這需要我們尋找更多的不變量,繼續(xù)深入探討,為算子結(jié)構(gòu)的分類提供更多的依據(jù)。
令X、Y表示實(shí)或復(fù)數(shù)域上的無(wú)限維Banach空間。X上的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)是指:B(X)中包含所有有限秩算子和單位算子的閉子代數(shù),用表示。B(X)上的所有冪等元集合和秩一冪等元集合分別用P和I1(X)表示。對(duì)任意的P,Q∈P,若PQ=QP=0,則稱P與Q正交。X*表示X的對(duì)偶空間。對(duì)任意的x∈X,f∈X*,x?f表示由y→(y,f)x定義的一秩算子。
若T3=0,則稱T是立方零元。設(shè)Φ∶→是一個(gè)映射,若T3=0?Φ(T3)=0,則稱Φ雙邊保持立方零元。本文以立方零元作為完全保持問(wèn)題的一個(gè)不變量,給出了標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)之間保持該不變量映射的具體結(jié)構(gòu)形式。即定義映射Φn∶?Mn(F)→?Mn(F)為Φn((sij)n×n)=(Φ(sij))n×n,?n∈N.若Φn保持立方零元,則稱Φ是n-保立方零元的;若對(duì)每一個(gè)n∈N,Φ都是n-保立方零元的,則稱Φ是完全保立方零元的。
為證明主要結(jié)果,需要給出下面的引理,它是文獻(xiàn)[10]中定理2.2的一個(gè)推廣。
引理 設(shè)X是數(shù)域F(或)上無(wú)限維Banach空間,Φ∶I1(X)→I1(Y)是滿射且滿足PQP=0?Φ(P)Φ(Q)Φ(P)=0,?P,Q∈I1(X),則下列敘述之一成立:
(Ⅰ)存在一個(gè)有界可逆線性或(復(fù)情形)共軛線性算子A∶Y→Y使得:
(Ⅱ)存在一個(gè)有界可逆線性或(復(fù)情形)共軛線性算子A∶X*→Y使得:
這里X,Y自反。
證明:由文獻(xiàn)[10]定理2.2的證明可知,在秩一冪等元集上,Φ雙邊保Jordan三重零積?Φ雙邊保正交性。由文獻(xiàn)[11]可知,Φ雙邊保正交性?Φ雙邊保序。因此Φ是一個(gè)I1(X)上雙邊保正交的雙射。取任意的P∈I1(X),下證Φ(P)∈I1(X).假設(shè)rank(Φ(P))≥2,則存在0≠R∈I1(X),使得R≤Φ(P).由Φ得滿射性,可以找到Q∈I(X),使得R=Φ(Q).因此有Φ(Q)≤Φ(P),即Q≤P.又因?yàn)镻∈I1(X),所以Q=P或0,即R=Φ(P)或0,矛盾。因此Φ(P)∈I1(X).
反之,對(duì)于任意Φ(P)∈I1(X),假設(shè)P?I1(X),則存在一個(gè)Q∈I1(X),使得Q≤P,顯然Q≠P且Q≠0.由Φ雙邊保序,有Φ(Q)≤Φ(P),即有Φ(Q)=Φ(P)或Φ(Q)=0,這與Φ是單射矛盾。因此Φ雙邊保秩一冪等元。
因此,由文獻(xiàn)[10]中的定理2.2可得Φ具有引理的形式。證畢。
下面陳述本文的主要結(jié)果。
(1)映射Φ雙邊完全保立方零元;
(2)映射Φ雙邊2-保立方零元;
(3)存在一個(gè)有界可逆線性或(復(fù)情形)共軛線性算子A∶X→Y使得:
證明:因?yàn)椋?)?(1)?(2)是顯然的,故只需證明(2)?(3).
以下假設(shè)Φ是保單位、雙邊保序且雙邊2-保立方零元的可加滿射。
斷言1:Φ是單射。
斷言2:Φ雙邊保冪等元,并且Φ雙邊保秩一冪等元。
如果T=T2對(duì)于?T∈成立,則可得Φ2(T)=Φ(T);反之,若Φ2(T)=Φ(T),則Φ2(T)=Φ(T2)=Φ(T),又由Φ是單射性,因此可得T=T2.
因此,Φ雙邊保冪等元。顯然,Φ也雙邊保秩一冪等元。
斷言3:存在一個(gè)有界可逆線性或(復(fù)情形)共軛線性算子A∶X→Y使得Φ(P)=APA-1對(duì)于任意的P∈I1(X)成立。
因此,Φ(P)=APA-1對(duì)于任意的P∈I1(X)成立,即斷言3成立。
令Ψ(·)=A-1Φ(·)A,則Ψ是→A-1A的雙射。容易驗(yàn)證Ψ2雙邊保立方零元。不失一般性,以下我們可以假設(shè)Φ(P)=P,?P∈I1(X).
斷言4:對(duì)于任意的秩一算子x?f,存在λx?f∈F{0},使得Φ(x?f)=λx?fx?f.
[1] 侯晉川,崔建蓮.算子代數(shù)上線性映射引論[M].北京:科學(xué)出版社,2002.
[2] HOU J,HUANG L.Maps completely preserving idempotents and maps completely preserving square-zero operators[J].Israel Journal of Mathematics,2010,176(1):363-380.
[3] HOU J,HUANG L.Characterizing isomorphisms in terms of completely preserving invertibility or spectrum[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2009,359(1):81-87.
[4] HUANG L,LIU Y.Maps completely preserving commutativity and maps completely preserving Jordan zero-product[J].Linear Algebra and Its Applications,2014,462(12):233-249.
[5] 路召飛,黃麗,殷雪劍.B(H)上完全保立方冪零算子的可加映射[J].紡織高?;A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2011,24(2):201-202.
[6] 黃麗,劉敏.標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上完全保對(duì)合性的可加映射[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2012,24(10):156-162.
[7] 劉敏,黃麗,李俊林.一秩元集上完全保反對(duì)合性的可加映射[J].太原科技大學(xué)學(xué)報(bào),2012,33(1):62-65.
[8] 黃麗,侯晉川.標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上完全??赡嫘曰蛄阋蜃拥挠成洌跩].山西大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,32(1):5-8.
[9] 黃麗,路召飛,李俊林.標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上完全保斜冪等性的可加映射[J].中北大學(xué)學(xué)報(bào),自然科學(xué)版,2011,32(1):71-73.
[10] DOBOVI?EK M,KUZMA B,LE?NJAK G,et al.Mappings that preserve pairs of operators with zero triple Jordan product[J]. Linear Algebra Applications,2007,426:255-279.
[11] ?EMRL P.Maps on idempotents[J].Studia Math,2005,169:21-44.
Additive Maps Completely Preserving Cube-zero Operators
on Standard Operator Algebras
LIU Yan-xiao1,LU Zhao-fei2,WU Zeng-Liang2,HUANG Li1
(1.Taiyuan University of Science and Technology,Taiyuan 030024,China;2.Xiaoxian Secondany School of Anhui Province,Anhui Xiaoxian 235200,China)
By characterizing the surjective maps preserving the zero triple Jordan product in both directions on the set of all rank-one idempotents of a Banach space,we obtain the characterization of additive surjections completely preserving cube-zero operators on standard operator algebras on infinite dimensional real or complex Banach spaces,and then prove that the maps are either an isomorphism or(in the complex case)a conjugate isomorphism.
standard operator algebras,complete preservers,cube-zero operators,additive maps
O177.1
A
10.3969/j.issn.1673-2057.2016.02.016
1673-2057(2016)02-0159-04
2015-05-14
太原科技大學(xué)校博士科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目(20082024)
劉艷曉(1990-),女,碩士,主要研究方向?yàn)閳D論及泛函分析。