函數(shù)、導(dǎo)數(shù)問(wèn)題參數(shù)討論范圍的逐層確定

徐道奎

函數(shù)問(wèn)題的解決大多依賴于圖象的分析，而準(zhǔn)確地分析圖象往往需要借助于導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具. 其中通過(guò)對(duì)參數(shù)的討論來(lái)分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)是難點(diǎn)，如何確定參數(shù)討論的范圍，也就是怎樣對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類是解題的關(guān)鍵.參數(shù)討論范圍的界點(diǎn)是在動(dòng)態(tài)探索過(guò)程中逐步確定的，解題時(shí)應(yīng)該把握討論的層次，逐步確定參數(shù)討論的界點(diǎn)，確定參數(shù)討論的范圍，不可一蹴而就，也不能手忙腳亂，下面以近兩年高考題為例分析說(shuō)明.

1分層，實(shí)例探究

例1（2015年全國(guó)卷Ⅰ理科21）

已知函數(shù)f（x）=x3+ax+14，g（x）=-ln x.

（1）當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y=f（x）的切線；

（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

分析第二問(wèn)由于x>1時(shí)，g（x）<0，函數(shù)h（x）沒(méi)有零點(diǎn)，因此，只要分析區(qū)間（0，1]上h（x）的零點(diǎn)，而（0，1）上g（x）沒(méi)有零點(diǎn)，實(shí)際上只要分析f（x）在（0，1]上的零點(diǎn)即可.分析f（x）的零點(diǎn)應(yīng)該從分析其圖像開始，用導(dǎo)數(shù)分析，必然要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，那么，如何確定參數(shù)討論的界點(diǎn)呢？

第一層次：由a決定的函數(shù)單調(diào)性不同進(jìn)行分類，因?yàn)閒′（x）=3x2+a，顯然，a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞增，a<0時(shí)，f（x）在定義域（0，+∞）上有增有減，因此，0是對(duì)參數(shù)a討論的最先確定的界點(diǎn).由f（x）、g（x）的圖像可知，a≥0時(shí)，函數(shù)h（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；而a<0時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上有增有減，但在區(qū)間（0，1]上單調(diào)性如何呢，討論進(jìn)入下一層次.

第二層次：a<0時(shí)，f（x）在0，-a3上單減，-a3，+∞上單增，必然要討論1與-a3的大小關(guān)系，以便確定f（x）在區(qū)間（0，1]上的單調(diào)性，此時(shí)，要將a分為a≤-3和-3

第三層次：（1）a≤-3時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1]上單減，函數(shù)最小值為f（1）=a+54，考慮其正負(fù)，對(duì)a的范圍再細(xì)分為-54

（2）-3

鑒于以上分析，分別考慮a≥0、-54

綜上，當(dāng)a>-34或a<-54時(shí)，h（x）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a=-34或a=-54時(shí)，h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)-54

以上分析可以看出，對(duì)參數(shù)討論的區(qū)間劃分（范圍確定）不是一步到位的，要層層遞進(jìn)，逐步分析.當(dāng)然，討論參數(shù)時(shí)層次的劃分也不是固定不變的，不能死板教條.但在思考時(shí)一定要有層次性，通過(guò)各層次的分析使思路清晰，這樣思維才有條理，解決問(wèn)題才有章法.

例2 （2014年全國(guó)卷Ⅰ文科21）

設(shè)函數(shù)f（x）=aln x+1-a2x2-bx（a≠1），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為0.

（1）求b；

（2）若存在x0≥1，使得f（x0）

分析第二問(wèn)存在x0≥1，使得f（x0）

由于f′（x）=1-ax（x-a1-a）x-1，討論參數(shù)a涉及兩個(gè)層次，一是f′（x）=0的兩個(gè)根1與a1-a的大小比較，另一個(gè)是系數(shù)1-a的正負(fù)，但這兩個(gè)層次可以一次融合在一起考慮，最終分a≤12、121三種情況，具體解答略.

在確定參數(shù)討論的界點(diǎn)時(shí)分層考慮，能夠使得思考的線路清晰，如果每個(gè)層次比較單一，可以把幾個(gè)層次綜合起來(lái)，一并考慮.例題2就是在思考時(shí)先分層分析，確定參數(shù)分類討論范圍時(shí)融合在一起.

例3（2015年山東卷理科21）

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（1）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

（2）若x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍.

分析先求出導(dǎo)數(shù)

f′（x）=2ax2+ax+1-ax+1x>-1.

（1）分三個(gè)層次考慮，一是二次項(xiàng)系數(shù)，分a>0、a=0、a<0三種情況；二是在a>0、a<0兩種情況下討論Δ>0、Δ=0和Δ<0，具體結(jié)論是：在 a>0前提下，① a>89時(shí)Δ>0，②a=89時(shí)Δ=0，③00；三是在Δ>0情況下考慮導(dǎo)數(shù)為零的兩個(gè)根x1，x2（x189時(shí)，兩根均比-1大（其中x1<0），a<0時(shí)， x1<-1，x2>-1.綜合三個(gè)層次得出討論a的范圍和對(duì)圖象的分析，可得極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為：a>89時(shí)兩個(gè)極值點(diǎn)；0≤a≤89時(shí)無(wú)極值點(diǎn)；a<0時(shí)一個(gè)極值點(diǎn).

（2）由（1）討論的情況可知，a<0時(shí)，若 x→+∞，f（x）→-∞，不合題意；0≤a≤89時(shí)， f（x）在0，+∞上單調(diào)遞增，且f（0）=0，符合題意；a>89時(shí)，要繼續(xù)考慮下一個(gè)層次，導(dǎo)數(shù)為零的兩根與0的大小關(guān)系（只要考慮大的那個(gè)根與0的大?。?，得出891時(shí)，f（x）在0，+∞上先減后增，必存在x0∈0，+∞，使得f（x0）<0，不合題意.綜上，a的取值范圍是0，1.

例4（2013年浙江高考理科22）

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3.

（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

（2）當(dāng)x∈0，2時(shí)，求f（x）的最大值.

分析（2）先求導(dǎo)，用圖象分析.

f′（x）=3x2-6x+3a，顯然，要通過(guò)f′（x）的正負(fù)分析f（x）在0，2上的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極值、最值、零點(diǎn)、端點(diǎn)函數(shù)值得出函數(shù)f（x）的圖象，再得到f（x）的圖象，f（x）的圖象可由f（x）的圖象“去下，下翻上”，因此，要分析極值、最值、端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)，最終得到f（x）的最大值.

基于以上分析，可大致確定參數(shù)討論要分三個(gè)層次：①?zèng)Q定導(dǎo)數(shù)正負(fù)情況層次；②決定極值、最值、端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)層次；③決定極值、最值、端點(diǎn)函數(shù)值的大小層次.具體分析如下.

由于f′（x）是開口向上、對(duì)稱軸為x=1的拋物線，當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在0，2上單調(diào)遞增，f（0）≤0，f（2）>0，f（x）的最大值為max{f（2），-f（0）}=f（2）=3a-1；當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，f（0）>0，f（2）<0，f（x）的最大值為max{-f（2），f（0）}=f（0）=3-3a；當(dāng)0

當(dāng)00，f（x1）+f（x2）>0，當(dāng)13≤a<1時(shí)，f（2）≥0， f（x）的最大值為max{f（2），f（0），f（x1）}（*），當(dāng)0

綜合上述三個(gè)層次討論的結(jié)果，得

f（x）max=3-3a，a≤0，

1+2（1-a）1-a，0

3a-1，a≥34.

對(duì)參數(shù)的分層討論要視情而定，尤其要結(jié)合導(dǎo)數(shù)的特點(diǎn)，具體問(wèn)題具體分析.

例5（2016年全國(guó)卷Ⅰ理科21）

已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+ax-12有兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求a的取值范圍；

（2）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.

分析這里只分析第一問(wèn).

顯然要通過(guò)求導(dǎo)來(lái)分析函數(shù)的圖象，f′（x）=x-1ex+2a.

第一層次，要對(duì)導(dǎo)數(shù)f′（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行討論，分a=0，a>0，a<0三種情況.

a=0時(shí)，f（x）=（x-2）ex，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

a>0時(shí)，f（x）在（-∞，1）上單減，在（1，+∞）上單增，由于f（1）=-e<0，f（2）=a>0，取b滿足b<0且ba2b-2+a（b-1）2=ab2-32b>0，故f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn).所以a>0符合題意.

a<0時(shí)，由f′（x）=0得x=1或x=ln（-2a），這時(shí)需要比較1與ln（-2a）大小，然后通過(guò)分析導(dǎo)數(shù)正負(fù)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這樣，對(duì)a的討論進(jìn)入了第二層次.

注意到在a<0時(shí)，當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）<0，即x≤1時(shí)函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn).因此只要討論f（x）在1，+∞上的零點(diǎn).

當(dāng)a≥-e2時(shí)，ln-2a≤1，故當(dāng)x∈1，+∞時(shí)，f′（x）>0，所以f（x）在1，+∞上單調(diào)遞增.所以f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)a<-e2時(shí)，ln-2a>1，故當(dāng)x∈1，ln-2a時(shí)，f′（x）<0；當(dāng)x∈ln-2a，+∞時(shí)，f′（x）>0.所以f（x）在1，ln-2a上單調(diào)遞減，在ln-2a，+∞上單調(diào)遞增，且f（1）=-e<0，所以f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，a的取值范圍是（0，+∞）.

2分層，“層”從何來(lái)

分層逐步確定參數(shù)討論的范圍可以使我們有方向、有目標(biāo)地解決問(wèn)題，那么，怎樣確定討論的層次呢？用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定，而函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定取決于對(duì)導(dǎo)數(shù)正負(fù)的分析，因此要圍繞能夠確定導(dǎo)數(shù)正負(fù)的條件進(jìn)行分層（一般需要考慮導(dǎo)數(shù)恒非負(fù)、恒非正、有正有負(fù)幾種情況），在解導(dǎo)數(shù)不等式時(shí)先對(duì)導(dǎo)數(shù)中最高項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行討論，再對(duì)導(dǎo)數(shù)有無(wú)零點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行討論，然后對(duì)導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)與定義域區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)行討論，分析函數(shù)圖象時(shí)還要討論區(qū)間內(nèi)極值最值情況等等，這些都是分層的依據(jù).

二次函數(shù)、二次方程、二次不等式討論的層次（如例題3）一般是先討論二次項(xiàng)系數(shù)a，再討論根的判別式Δ，再討論根的大小，最后討論根與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系.

逐層確定參數(shù)討論范圍時(shí)，討論的層次由大到小，如例1，最先討論的是決定函數(shù)整體單調(diào)性不同的a的范圍，再討論各不同單調(diào)性情況下，定義域區(qū)間的單調(diào)性，最后討論定義域區(qū)間上的最小值；例3也是一樣，先討論a，識(shí)別是不是“二次”的問(wèn)題，再討論Δ，是“二次”條件下有無(wú)實(shí)根的問(wèn)題，最后討論的是有二不等實(shí)根以后根的大小以及根與定義域區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系.

對(duì)參數(shù)討論層次的把握既要事先構(gòu)思，又要在討論過(guò)程中靈活掌握，并不是每一種情況都需要分層到底. 討論參數(shù)時(shí)，可以一層一層地展開分析，也可以按照一條線路走下去，一線多層，也可以層層分析以后，綜合取值，統(tǒng)籌考慮.