數(shù)學(xué)教學(xué)回歸教材的探究與反芻*

●岳　峻　韓長(zhǎng)峰

(太和中學(xué)　安徽阜陽(yáng)　236600)

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數(shù)學(xué)教學(xué)回歸教材的探究與反芻*

●岳峻韓長(zhǎng)峰

(太和中學(xué)安徽阜陽(yáng)236600)

教材是數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的重要載體.教師的教學(xué)引領(lǐng)應(yīng)立足于教材，強(qiáng)化回歸教材的意識(shí)，掌握回歸教材的方法，提升回歸教材的引領(lǐng)技能，注重提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)．

數(shù)學(xué)教學(xué)；回歸教材；探究；反芻；核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教育專家總是反復(fù)強(qiáng)調(diào)必須追根溯源、回歸教材，但一線教師對(duì)回歸教材的理解有一定的偏差，誤認(rèn)為是所學(xué)知識(shí)的一味重復(fù)或機(jī)械相加，沒(méi)有太大的意義，或者無(wú)暇投入，因此只是口頭上重視回歸教材，行動(dòng)上難以落實(shí)，陷于疲憊的題海戰(zhàn)，也有悖于《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念．

教材是編者集體智慧的結(jié)晶，是數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的重要載體[1]，又是教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”的主要資源，承載著新課程改革的理念和導(dǎo)向，滲透著創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)，同時(shí)體現(xiàn)著高考改革的發(fā)展趨向．教材的結(jié)構(gòu)是反復(fù)考量的，語(yǔ)言是字斟句酌的，例題是千錘百煉的，習(xí)題是精挑細(xì)選的，教材中每個(gè)素材的選取、問(wèn)題的設(shè)置、規(guī)律的呈現(xiàn)等都具有極高價(jià)值.這就要求數(shù)學(xué)教學(xué)的根基必須在教材，切實(shí)落實(shí)“回歸教材”.

筆者以2016年1月參加的聯(lián)考階段性測(cè)試試題為例，談?wù)劵貧w教材的探究與反思，供大家指正．

1　試題呈現(xiàn)，思路簡(jiǎn)析

()

又因?yàn)辄c(diǎn)P,A∈C，所以

b2s2-a2t2=a2b2，b2x21-a2y21=a2b2，

2個(gè)式子相減可得

2　回歸教材，追根溯源

圖1

圖2

例4已知△ABC的2個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0)，且AC,BC所在直線的斜率之積為m(其中m≠0)，試探求頂點(diǎn)C的軌跡.

例5設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0)，直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之商為2，問(wèn)：點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？

例6已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0)，直線AB,BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差是2，求點(diǎn)M的軌跡方程.

例7已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0)，直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之和是2，求點(diǎn)M的軌跡方程.

3　探究之旅,變式引申

3.1歸納拓展——定點(diǎn)字母化

我們不妨先探究其中一種情形，另一種可以由類比得到．通過(guò)簡(jiǎn)單的探究即可得知：

若m=-1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2=t2(其中|x|≠1)，顯然也符合上式，因此變式3不僅包含了變式1和變式2，還包含了橢圓的極限曲線——圓.

變式4設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(0,-t)，(0,t)(其中t>0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為m(其中m≠0)，則點(diǎn)M的軌跡方程是

這自然得到有心圓錐曲線的第三定義：平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與2個(gè)定點(diǎn)的直線斜率之積等于非零常數(shù)m(其中m≠0)的點(diǎn)的軌跡為有心圓錐曲線.

3.2初步探究——命題逆化

上述變式的逆命題是否成立呢？亦即已知曲線方程和曲線上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)與相對(duì)2個(gè)頂點(diǎn)連線的斜率乘積會(huì)有什么結(jié)論呢？

3.3深入探究——定弦運(yùn)動(dòng)化

變式5～變式8中弦AB的中點(diǎn)是原點(diǎn)O，且端點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，試想：若弦AB的中點(diǎn)是原點(diǎn)O，但端點(diǎn)不落在坐標(biāo)軸上，則結(jié)果又如何？

3.4意猶未盡——運(yùn)算推廣

教材上的后3題是將直線AM,BM的斜率之積分別調(diào)整為斜率之商、斜率之差、斜率之和，那么點(diǎn)M的軌跡方程又將會(huì)是什么呢？

變式13已知平面內(nèi)的定點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-a,0)，(a,0)(其中a>0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之商是m(其中m≠0)，則點(diǎn)M的軌跡方程為

(1-m)x=±a(m+1)(其中|x|≠a).

變式14已知平面內(nèi)的定點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-a,0),(a,0)(其中a>0)，直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之差是m(其中m≠0)，則點(diǎn)M的軌跡方程為

變式15已知平面內(nèi)的定點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-a,0),(a,0)(其中a>0)，直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之和是m(其中m≠0)，則點(diǎn)M的軌跡方程為

顯然當(dāng)m=0時(shí)，變式14和變式15中點(diǎn)M的軌跡方程分別為直線y=0,x=0.

4　回歸教材的反思

4.1強(qiáng)化回歸教材的意識(shí)

回歸教材，力促教材例習(xí)題的引領(lǐng)活力，展現(xiàn)習(xí)題功能，挖掘習(xí)題潛能.高考數(shù)學(xué)試題具有“源于教材，而高于教材；題在書(shū)外，但根在教材”的特點(diǎn)．年年歲歲題相似，歲歲年年意不同,萬(wàn)變不離其宗，其中的“宗”就是教材.教材中的題目大多都蘊(yùn)含著深刻的背景、豐富的數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)思想，很多高考試題都源自教材中的定理或定理中的思想方法，或是例題、習(xí)題的重新整合、挖掘、引申等．有的高考題直接從教材的例、習(xí)題移植而來(lái)；有的高考題用教材的例、習(xí)題改編而來(lái)；有的高考題從教材的例、習(xí)題類比深化而來(lái)，即便是綜合題也是教材例題、習(xí)題的組合、加工、引申、拓展和類比，充分體現(xiàn)教材乃高考數(shù)學(xué)試題之根之所在[2].

正如羅增儒語(yǔ)：教材是課程的載體，因此高考命題最具體、最方便的依據(jù)其實(shí)是教材．教材是中、低檔試題的直接來(lái)源；教材是考試內(nèi)容的具體化；教材是高考命題的基本依據(jù)；教材是解題能力的基本生長(zhǎng)點(diǎn)．

因此，教師的教學(xué)引領(lǐng)應(yīng)立足于教材，對(duì)教材中有潛在本質(zhì)規(guī)律的例題、習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)赝诰?、類比，使教材中的每一個(gè)例題、習(xí)題的作用發(fā)揮極致，從學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律角度，由淺及深，展開(kāi)變式，引領(lǐng)學(xué)生在其思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”遞進(jìn)式地探索，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)．這就是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心之所在．

4.2掌握回歸教材的方法

1)注重教材定理、公式的推導(dǎo)過(guò)程.

當(dāng)前，不講基礎(chǔ)而一味鉆難題的做法是不可取的.2010年四川省數(shù)學(xué)高考試題中出現(xiàn)cos(α+β),sin(α+β)的推導(dǎo)，2011年陜西省數(shù)學(xué)高考試題出現(xiàn)了敘述并證明余弦定理，2013年陜西省數(shù)學(xué)高考文科試題出現(xiàn)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的公式推導(dǎo)，理科數(shù)學(xué)出現(xiàn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的公式推導(dǎo)……

數(shù)學(xué)是一種科學(xué)的思維方法，要學(xué)會(huì)思考；數(shù)學(xué)也是一種操作活動(dòng)，要熟練技能；數(shù)學(xué)還是一種問(wèn)題解決的方法，要學(xué)會(huì)解題．高三數(shù)學(xué)教學(xué)不能簡(jiǎn)單地理解為學(xué)生熟記公式、定理和結(jié)論，然后進(jìn)行題海訓(xùn)練，而應(yīng)注重定理、公式的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣、發(fā)展分析和解決問(wèn)題的能力，領(lǐng)悟思維的誘導(dǎo)、調(diào)整、進(jìn)階、完善，領(lǐng)悟其蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想，重新全面梳理知識(shí)、方法，促使學(xué)生有層次地、遞進(jìn)地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)．

2)注重教材例題、習(xí)題的變式訓(xùn)練.

教材例題、習(xí)題看似平淡無(wú)奇，其實(shí)是呈現(xiàn)簡(jiǎn)潔、極富韻味的好題，值得細(xì)細(xì)品味．高三復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)誘導(dǎo)學(xué)生把特殊問(wèn)題納入更一般的范圍，從特殊推廣到一般，揭示事物的普遍規(guī)律，促使學(xué)生從會(huì)解一道題到會(huì)解一類題，由低層次到高層次，把數(shù)學(xué)思維提高到由例及類的層次，加速數(shù)學(xué)思維的優(yōu)化．例如，人教版《全日制普通高中教科書(shū)(選修2-1)數(shù)學(xué)》第73頁(yè)的第6題:

例8直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于點(diǎn)A,B，求證：OA⊥OB．

分析其已知條件:①直線l:y=x-2是一條定直線，其斜率為1，在x軸上的截距為2；②拋物線C:y2=2x的特征量2p=2，而直線l所過(guò)的定點(diǎn)M(2,0)的橫坐標(biāo)恰好為2，是巧合還是有規(guī)律可循？

拓展思路1直線“活”起來(lái)[3]

①直線l的斜率不變，在x軸上的截距變?yōu)?，結(jié)論還成立嗎？(不成立.)

②直線l的斜率變?yōu)?，在x軸上的截距不變，結(jié)論還成立嗎？(成立.)

③直線l的斜率變?yōu)?1，在x軸上的截距不變，結(jié)論還成立嗎？(成立.)

④直線l的斜率變?yōu)閗，在x軸上的截距不變，結(jié)論還成立嗎？(成立.)

⑤直線l的斜率不存在，在x軸上的截距不變，結(jié)論還成立嗎？(成立.)

……

拓展思路2曲線“動(dòng)”起來(lái)

①拋物線C變?yōu)镃:y2=3x，其他條件不變，結(jié)論還成立嗎？(不成立.)

②拋物線C變?yōu)镃:y2=-2x，其他條件不變，結(jié)論還成立嗎？(不成立.)

③拋物線C變?yōu)镃:x2=-2y，其他條件不變，結(jié)論還成立嗎？(不成立.)

④拋物線C變?yōu)镃:x2=2y，其他條件不變，結(jié)論還成立嗎？(不成立.)

……

拓展思路3條件共“舞”

①直線l的斜率變?yōu)閗，在x軸上的截距不變，拋物線C變?yōu)?y2=2px(其中p>0)，結(jié)論何時(shí)成立？(提示：2p=2.)

②直線l的斜率變?yōu)閗，在x軸上的截距變?yōu)?，拋物線C變?yōu)?y2=2px(其中p>0)，結(jié)論何時(shí)成立？(提示：2p=4.)

③直線l的斜率變?yōu)閗，在x軸上的截距變?yōu)?p，拋物線C變?yōu)?y2=2px(其中p>0)，結(jié)論成立嗎？(成立.)

……

拓展思路4逆化命題

①直線l與拋物線C：y2=2px(其中p>0)相交于點(diǎn)A,B，若OA⊥OB，則直線l有何特征？

②直線l與拋物線C:y2=2px(其中p>0)相交于異于頂點(diǎn)的2個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B．若OA⊥OB，則直線必過(guò)定點(diǎn)嗎？

……

拓展思路5披上“神秘”外紗

拓展思路6類比引申

①原點(diǎn)O是拋物線C的頂點(diǎn)，原點(diǎn)O變?yōu)閽佄锞€C任意一點(diǎn)，是否還有類似的結(jié)論呢？

②拋物線C變?yōu)閳A錐曲線中的橢圓、雙曲線，是否還有類似的結(jié)論呢？

③拋物線C變?yōu)閳A，結(jié)論是否成立？

……

3)注重教材閱讀、探究的思維啟示.

新課標(biāo)教材充實(shí)了許多具有生活氣息的閱讀材料，吸引了學(xué)生的注意力，關(guān)注了學(xué)生的非智力因素對(duì)學(xué)習(xí)的影響，倡導(dǎo)學(xué)生的認(rèn)知與興趣、情感緊密地聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)情知并行、情知互動(dòng)、情知交融，也設(shè)置了饒有情趣的探究問(wèn)題，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的激情，促使學(xué)生產(chǎn)生探究的原動(dòng)力和內(nèi)在需求．

高三數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)教學(xué)，應(yīng)對(duì)本原性的問(wèn)題多一些思考，結(jié)合教材提供的閱讀材料、探究問(wèn)題的思維啟示，創(chuàng)設(shè)開(kāi)放、互動(dòng)、新型的教學(xué)體驗(yàn)環(huán)境，促使學(xué)生體會(huì)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)現(xiàn)過(guò)程，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)審題，學(xué)會(huì)思維，把教材中“省略”的思維信息慢節(jié)拍地找尋出來(lái)，提升數(shù)學(xué)探究教學(xué)的高效．

4)注重教材方法、思想的潛移默化.

形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項(xiàng)基本要求.但是不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，否則會(huì)將生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)淹沒(méi)在形式化的海洋里．新課程為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的理解，建立內(nèi)容本質(zhì)與形式表達(dá)之間的有機(jī)聯(lián)系，使數(shù)學(xué)形式化過(guò)程適應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，并在建構(gòu)數(shù)學(xué)形式化認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同時(shí)，獲得全面發(fā)展，在“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”方面作出了努力．

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)，注重教材方法、思想的潛移默化．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)要講邏輯推理，更要講道理，通過(guò)典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想潛移默化，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)．

4.3提升回歸教材的引領(lǐng)技能

凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，引領(lǐng)學(xué)生思維，既是高中數(shù)學(xué)新課程的核心理念之一，也是數(shù)學(xué)學(xué)科的自身訴求．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)就是抓住基礎(chǔ)，抓住數(shù)學(xué)的核心，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)，進(jìn)而才能提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的能力，才能化無(wú)限為有限，才能多題歸一[4].

“做題不在多，理解則靈；難度不在大，有意才行”，教學(xué)時(shí)，教師要有意識(shí)地選準(zhǔn)具有示范性、發(fā)散性、延伸性的試題，加以引申、拓寬、變化，引導(dǎo)學(xué)生從形式的“變”發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的“不變”，從本質(zhì)的“不變”探索形式的“變”的規(guī)律，旁通知識(shí)的橫向聯(lián)系，注意知識(shí)結(jié)構(gòu)的重組與概括，揭示其內(nèi)在的聯(lián)系與規(guī)律，精學(xué)一題、妙解一類，固化于型、內(nèi)化于心，進(jìn)而形成一個(gè)條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化的高效的有機(jī)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從中提煉出數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法．這就是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心．

5　結(jié)束語(yǔ)

作為教師，務(wù)必將教材視為高三復(fù)習(xí)的“紅色根據(jù)地”，在領(lǐng)會(huì)教材的編寫(xiě)特點(diǎn)、把握教材、理解教材、理清知識(shí)發(fā)生發(fā)展的來(lái)龍去脈的基礎(chǔ)上，著力揣摩教材的編寫(xiě)意圖，明確教材的脈絡(luò)結(jié)構(gòu)，深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)的作用和蘊(yùn)含的人文素養(yǎng)的文化價(jià)值，做到跳出教材、活用教材，提升自身的教學(xué)品味.也只有讓學(xué)生時(shí)刻把“舉一反三”“觸類旁通”放在心上，經(jīng)常實(shí)踐，學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，才能提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).

正如章建躍博士語(yǔ)：高考復(fù)習(xí)，回歸教材、回歸基礎(chǔ)才是正道．急功近利的高考復(fù)習(xí)可以休矣！

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M].北京:人民教育出版社,2003.

[2]岳峻.提升數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2015(12):94-96.

[3]岳峻,阮艷艷.細(xì)品圓錐曲線與直線一例[J].數(shù)理天地，2016(2):4-5.

[4]岳峻.透析考題信息提升解題驅(qū)動(dòng)力——賞析2015年湖北卷第21題[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(8):30-32.

?2016-04-25；

2016-06-01

岳峻(1968-)，男，安徽阜陽(yáng)人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)10-01-05