學(xué)生說(shuō)題　各有不同*

●陳俊斌

(南安市教師進(jìn)修學(xué)?！「＝习病?62300)

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學(xué)生說(shuō)題各有不同*

●陳俊斌

(南安市教師進(jìn)修學(xué)校福建南安362300)

說(shuō)題是近年來(lái)興起的一種新的教研活動(dòng)，能以小見(jiàn)大，去虛務(wù)實(shí)，已成為福建省教師教學(xué)技能大賽學(xué)科技能比賽的一部分.相比教師說(shuō)題，學(xué)生說(shuō)題教研活動(dòng)開(kāi)展得還比較少，學(xué)生說(shuō)題是指學(xué)生在解完一道數(shù)學(xué)題后，向被說(shuō)題者(教師或?qū)＜以u(píng)委等)闡述自己解決試題的思維暴露過(guò)程.文章以學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)說(shuō)題比賽活動(dòng)及自身的思考進(jìn)行具體闡述,以期達(dá)到拋磚引玉的效果.

學(xué)生說(shuō)題;解后反思;說(shuō)題教研

1　問(wèn)題的提出

有這樣一個(gè)故事：有個(gè)孩子剛上高三時(shí)，他的數(shù)學(xué)成績(jī)很不理想，他的媽媽非常著急，就找了一位數(shù)學(xué)專家，問(wèn)有什么好方法能讓她的孩子提高數(shù)學(xué)成績(jī)，這位專家給她支了一個(gè)點(diǎn)子：“叫孩子每次都給你講作業(yè)．”家長(zhǎng)說(shuō)：“我聽(tīng)不懂怎么辦?”專家說(shuō)：“聽(tīng)不懂也聽(tīng)．”堅(jiān)持了1～2個(gè)月后孩子有明顯進(jìn)步，并且數(shù)學(xué)的進(jìn)步會(huì)遷移，帶動(dòng)其他學(xué)科，一年后考上了重點(diǎn)大學(xué).這位專家就是采用了一個(gè)重要的方法“說(shuō)題”．這個(gè)“說(shuō)題”活動(dòng)必須獨(dú)立完成作業(yè)，進(jìn)一步理清思路才能表達(dá)出來(lái)．

2015年4月25日～4月26日筆者所在市教師進(jìn)修學(xué)校舉行了2015年中學(xué)生數(shù)學(xué)“說(shuō)題”交流評(píng)比活動(dòng)，比賽分初中組和高中組.全市由14個(gè)初中教研片和5個(gè)高中教研片分別推薦2～3名學(xué)生和6～8名學(xué)生參賽，比賽當(dāng)天，共有初中學(xué)生39人、高中學(xué)生34人參加本次交流評(píng)比活動(dòng).本次學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)說(shuō)題時(shí)間限制在8分鐘以內(nèi)，比賽現(xiàn)場(chǎng)精彩紛呈.下面筆者結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)案例及自身的學(xué)習(xí)談?wù)剬?duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)說(shuō)題教研活動(dòng)的思考與認(rèn)識(shí)，以期達(dá)到拋磚引玉的效果.

2　學(xué)生說(shuō)題的界定

結(jié)合本次市級(jí)教研活動(dòng)學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)說(shuō)題及筆者的認(rèn)識(shí)，筆者認(rèn)為學(xué)生說(shuō)題一般應(yīng)包含以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：

2.1理信息，說(shuō)審題

解題時(shí)，吃透題中各個(gè)條件是思維開(kāi)展的基礎(chǔ)，說(shuō)審題主要包含2個(gè)方面：一是試題背景來(lái)源，如自編的原創(chuàng)題，中(高)考試題或其改編題，教材的例習(xí)題原題或改編題，期中、期末考題等;二是題目結(jié)構(gòu)分析，即運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言分析題目所給的信息，已知條件有哪些，所求結(jié)論是什么，題目涉及哪些知識(shí)點(diǎn).

案例1如圖1，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中點(diǎn)，D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn)，且BD=CE.求證：MD=ME.

圖1

圖2

對(duì)于這道題，學(xué)生可這樣進(jìn)行審題分析方面的說(shuō)題：本題是2014年江蘇省無(wú)錫市中考數(shù)學(xué)試題的第21題，主要考查全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，考查推理論證能力及幾何直觀能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.題目已知的條件主要是等腰△ABC的3條邊上的一些線段相等關(guān)系(BD=CE,MB=MC)，要證明的結(jié)論是線段MD,ME的相等關(guān)系.事實(shí)上本題來(lái)源于華東師大版教材八年級(jí)上冊(cè)第75頁(yè)課后練習(xí)第1題的改編(題目如下)：如圖2，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，點(diǎn)E,F為垂足，DE=DF.求證：△BED≌△CFD.

2.2析條件，說(shuō)思維

數(shù)學(xué)是思維的體操，說(shuō)思維主要是指學(xué)生說(shuō)解題思路獲得的全過(guò)程，即解決這道題目運(yùn)用什么方法、有哪些步驟、你是如何想到的、如何表述、如何實(shí)踐操作.這里主要包含2個(gè)方面：一個(gè)是解決本試題的思路分析，一個(gè)是解法展示.實(shí)際說(shuō)題時(shí)側(cè)重點(diǎn)有所不同，若所說(shuō)的題目解法比較常規(guī)或試題難度值較大，則應(yīng)把重點(diǎn)放在思路分析上，若所說(shuō)之題可一題多解，則可適當(dāng)給一些時(shí)間在解法研究中，并指出比較有特色的解法.

如案例1中學(xué)生在說(shuō)題時(shí)是這樣作解題思路分析的：要證明2條線段相等，比較常見(jiàn)的方法是利用全等三角形.從圖1可以看出，MD,ME分別在△BMD和△CME中，要證明MD=ME，只需證明這2個(gè)三角形全等，然后再利用全等三角形的性質(zhì)即可得出.用此法解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是由等腰三角形性質(zhì)得出2個(gè)底角相等，然后由“邊角邊”定理判定2個(gè)三角形全等.在作完解題思路分析后，簡(jiǎn)略地把規(guī)范的解答展示給現(xiàn)場(chǎng)教師及評(píng)委即可.

()

(2016年福建省數(shù)學(xué)質(zhì)檢考試?yán)砜频?1題)

圖3

學(xué)生說(shuō)題本題有多種解法，這里我主要說(shuō)說(shuō)2種常見(jiàn)的解法，先說(shuō)常規(guī)解法的思路分析：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，把已知的幾何條件轉(zhuǎn)化成含有a,b,x1,y1,x2,y2,c的關(guān)系式，再由公式c2=a2+b2消去c，求出a,b之間的關(guān)系，即可求出雙曲線的漸近線方程.

解法1如圖3，由已知得F1(-c,0),F2(c,0).設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，則依題意得

(1)

(2)

因?yàn)閨PQ|=2|QF1|，所以

即

(x2-x1,y2-y1)=2(-c-x2,0-y2),

解得x1=3x2+2c,

(3)

y1=3y2,

(4)

聯(lián)立式(1)和式(2)得

(5)

把式(3)和式(4)代入式(5)得

(6)

由式(2)得

代入式(6)求得

故

于是

因?yàn)辄c(diǎn)P是以F1F2為直徑的圓與雙曲線C右支的交點(diǎn)，所以

(7)

從而

把x1,y1及c2=a2+b2代入式(7)并化簡(jiǎn)可得

b4-3a2b2-4a4=0，

即

(b2-4a2)(b2+a2)=0.

圖4

解法2如圖4，聯(lián)結(jié)QF2，由已知得

|PF1|-|PF2|=2a,

|QF2|-|QF1|=2a.

設(shè)|QF1|=m，則|PQ|=2m，從而

|PF1|=3m,

|PF2|=3m-2a,

|QF2|=m+2a.

因?yàn)辄c(diǎn)P是以F1F2為直徑的圓與雙曲線C的交點(diǎn)，所以∠F1PF2=90°，故在Rt△QPF2中，有

|PQ|2+|PF2|2=|QF2|2，

即

(2m)2+(3m-2a)2=(2a+m)2，

|PF1|=3m=4a,|PF2|=3m-2a=2a.

在Rt△PF1F2中

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，

即

(4a)2+(2a)2=(2c)2,

故

從而所求曲線的漸近線方程為

點(diǎn)評(píng)本解法先從雙曲線的定義出發(fā)得到2個(gè)關(guān)系式，然后根據(jù)PQ,QF的長(zhǎng)度關(guān)系引入?yún)?shù)m，并在Rt△QPF2中根據(jù)勾股定理列式，最后才在焦點(diǎn)△PF1F2中求解a,c的關(guān)系.比對(duì)上述常規(guī)解法，不僅解答更為簡(jiǎn)潔明快，更是巧妙地避開(kāi)了復(fù)雜的運(yùn)算及繁雜的關(guān)系代換.整個(gè)解法過(guò)程中，算得有方向，算得有思路，當(dāng)然此種解法對(duì)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)要求不低，要求能夠恰當(dāng)引進(jìn)參數(shù)，活用平面幾何知識(shí).

2.3微總結(jié)，說(shuō)反思

解后反思是對(duì)整個(gè)解題活動(dòng)的反思，數(shù)學(xué)的理解要靠學(xué)生對(duì)思維過(guò)程的不斷反思才能達(dá)到.解決完一道試題后，學(xué)生可結(jié)合自己對(duì)整個(gè)問(wèn)題思考的全過(guò)程進(jìn)行微總結(jié).說(shuō)反思，即解決這道題都運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法，有無(wú)其他解法，哪種思路最優(yōu)，所得結(jié)論或性質(zhì)是否具有規(guī)律性，能否進(jìn)行推廣？題目能否進(jìn)行其他變化？這里大略可分為3個(gè)方面：一個(gè)是說(shuō)自己在解決本試題時(shí)如何處理遇到的困惑；二是解題后對(duì)該試題解法的價(jià)值研究，如解法推廣、引申等；三是對(duì)試題本身價(jià)值研究，如對(duì)所說(shuō)試題進(jìn)行簡(jiǎn)單拓展變式等(這點(diǎn)對(duì)學(xué)生要求較高).

如案例1中學(xué)生是這樣做解后反思的：

作為中考試題的第21題，本題屬于中檔題，只需平時(shí)掌握好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，在中考時(shí)正常發(fā)揮即可證出.下面結(jié)合自己的學(xué)習(xí)談?wù)剬?duì)本題的一些拓展變式分析.

變式1如圖5，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中點(diǎn)，D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn)，且AD=AE.求證：MD=ME.

分析本題僅更換條件“AD=AE”，因AB=AC即可推出BD=CE，故與原題實(shí)質(zhì)上是等價(jià)的.

圖5

圖6

變式2如圖6，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中點(diǎn)，MD⊥AB，ME⊥AC，D，E分別為垂足，求證：MD=ME.

分析本題由2014年湖南省衡陽(yáng)市數(shù)學(xué)中考試題第23題改編而來(lái).聯(lián)結(jié)AM，由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)知AM平分∠BAC，再利用角平分線的性質(zhì)即可得證.

變式3如圖7，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別是AB,AC邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)ME,MF.求證：ME=MF.

分析由中位線的性質(zhì)可得

從而ME=MF.

圖7

圖8

變式4如圖8，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠AME=40°，點(diǎn)M在BC邊上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)M不與點(diǎn)B,C重合)，ME交線段AC于點(diǎn)E，問(wèn)：當(dāng)MC等于多少時(shí)，△ABM≌△MCE，并說(shuō)明理由.

分析當(dāng)MC=2時(shí)，△ABM≌△MCE.由AB=AC，得∠B=∠C=40°.再由∠EMC+∠MEC=140°,∠EMC+∠AMB=140°,得∠MEC=∠AMB.最后借助“AAS”定理可得△ABM≌△MCE.

由于原題涉及的知識(shí)要求比較基礎(chǔ)，而此題又較具有研究?jī)r(jià)值，因此本題學(xué)生說(shuō)題的重點(diǎn)應(yīng)放在試題的價(jià)值研究即拓展變式上，把拓展變式題與原題進(jìn)行比對(duì)，對(duì)于拓展題的解答則簡(jiǎn)略作思路分析即可.

1)略.

2)問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說(shuō)明理由.

(2015年全國(guó)數(shù)學(xué)高考課標(biāo)I卷第20題)

本題在解后反思時(shí)學(xué)生可這樣進(jìn)行說(shuō)題：作為高考題第20題，本題屬難題，需要我們具備較強(qiáng)的化歸與轉(zhuǎn)化思想，下面主要從試題的常見(jiàn)變化研究此試題，以下是得到的2個(gè)變式題目.

變式1已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C:x2=2py與直線y=kx+a(其中a>0)交于點(diǎn)M,N.問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)P，使得∠OPM=∠OPN？說(shuō)明理由.

分析此題旨在將特殊條件一般化，解法同原題一樣，結(jié)論仍然成立.

變式2在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C:y=ax2與直線y=kx+a(其中a>0)交于點(diǎn)M,N，點(diǎn)P(0,-a).求證：∠OPM=∠OPN.

分析此題把條件與結(jié)論位置進(jìn)行交換，結(jié)論依然成立.

點(diǎn)評(píng)此題的2種改編方法很常見(jiàn)，學(xué)生在教師指導(dǎo)下若能通過(guò)對(duì)題目進(jìn)行如上的改編，并加以說(shuō)題，勢(shì)必能拓展學(xué)生的思維，滲透常見(jiàn)的特殊與一般思想，達(dá)到“解一題，會(huì)一類，舉一反三，觸類旁通”的目的.同時(shí)，在學(xué)生編題、想題、做題、說(shuō)題的過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也會(huì)提高，能更有效地把握數(shù)學(xué)本質(zhì).

3　賽后啟示

此次是筆者所在市第一次舉行市級(jí)中學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)場(chǎng)說(shuō)題比賽，難免粗陋，但我們事先有提供“中學(xué)生數(shù)學(xué)說(shuō)題活動(dòng)”的學(xué)習(xí)資料，大部分參賽學(xué)生對(duì)說(shuō)題的流程及框架有所了解，因此整個(gè)活動(dòng)開(kāi)展得有條不紊，學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)表現(xiàn)比事先預(yù)期要好.通過(guò)上述案例分析，可大致了解中學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)場(chǎng)說(shuō)題的含義及流程：中學(xué)生數(shù)學(xué)說(shuō)題是指學(xué)生在解完一道數(shù)學(xué)題后，向被說(shuō)題者(教師或?qū)＜以u(píng)委等)闡述自己解決試題的思維暴露過(guò)程，主要包含如下幾個(gè)環(huán)節(jié)：一是說(shuō)題目，即運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言說(shuō)清題目所給的信息：已知條件有哪些、所求結(jié)論是什么、題目涉及哪些知識(shí)點(diǎn)；二是說(shuō)解法，解決這道題目運(yùn)用什么方法、有哪些步驟、你是如何想到的、如何表述；三是說(shuō)反思，解決這道題都運(yùn)用到哪些數(shù)學(xué)思想方法，有無(wú)其他解法、哪種解法最優(yōu)、所得結(jié)論或性質(zhì)在解題中有什么應(yīng)用、能否推廣.

總之，學(xué)生說(shuō)題有利于促進(jìn)教師轉(zhuǎn)變課堂教學(xué)方式，從而更充分地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，這也是開(kāi)展本次比賽的一個(gè)主要出發(fā)點(diǎn).學(xué)生說(shuō)題不僅能訓(xùn)練學(xué)生的口頭表達(dá)、數(shù)學(xué)語(yǔ)言交流能力，還能提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，減輕學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān).通過(guò)上述案例分析可以發(fā)現(xiàn)，同是學(xué)生說(shuō)題，各有不同，有的學(xué)生重在說(shuō)試題變式，有的則側(cè)重說(shuō)解題思路，有的說(shuō)巧妙解法的思路歷程等.因此，學(xué)生說(shuō)題應(yīng)從所說(shuō)題目的自身特點(diǎn)及自身情況，選擇適合自己的模式，說(shuō)出信心，說(shuō)出亮點(diǎn)，展示自我.

?2016-05-11；

2016-06-15

福建省泉州市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃第一批立項(xiàng)課題(QG1351-161)

陳俊斌(1984-)，男，福建南安人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)10-13-04