引入運動　妙成編題*——對一道向量習題的反思

●張　健　唐恒鈞

(浙江師范大學教師教育學院　浙江金華　321004)

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引入運動妙成編題*
——對一道向量習題的反思

●張健唐恒鈞

(浙江師范大學教師教育學院浙江金華321004)

文章采用“運動”的觀點對一道向量習題進行了反思，在此基礎(chǔ)上編制了一些數(shù)學習題，并產(chǎn)生了對編題的思考.

向量習題；反思；編題

著名數(shù)學教育家波利亞非常重視解決問題之后的反思，他在《怎樣解題》中指出:通過回顧完整的答案，重新斟酌、審查結(jié)果及導致結(jié)果的途徑，他們能夠鞏固知識，并培養(yǎng)他們的解題能力[1].對問題進行反思可以加深對于問題的理解，發(fā)展解決問題的能力，因而“數(shù)學解題及其教學應(yīng)該注重通過‘回顧與反思’來提出新的問題，從典型的問題出發(fā)去變式、去引申、去發(fā)現(xiàn)，這樣常?？梢缘玫揭恍┮庀氩坏降慕Y(jié)論”[2].最近，筆者在學習過程中接觸到一道具有幾何背景的向量習題，反思這道習題的過程引發(fā)了筆者對于編制數(shù)學習題的一些思考.

1　習題的呈現(xiàn)

在文獻[3]和文獻[4]中，有這樣一道習題：

圖1

圖2

文獻[3]和文獻[4]都對該題進行了解答和證明.為了下文敘述方便，筆者把該題的解答過程呈現(xiàn)如下：

于是

另一方面，點M，G，N共線，因此存在p，q滿足p+q=1，使得

解得

于是

即

2　對習題的反思

下面筆者從題目的條件、結(jié)論和證明過程2個角度反思例1中的習題.

2.1對條件、結(jié)論的反思

2.2對證明過程的反思

例1的問題情境是靜態(tài)的，以上的反思讓我們產(chǎn)生了采用“運動”的觀點來對題目進行改造的想法.在運動的過程中，例1就成為了一個特殊的狀態(tài)和一個特例，問題也從特殊情形變成了一般情形，筆者從中編制出許多數(shù)學習題.

3　編題的產(chǎn)生

3.1直線MN繞重心G轉(zhuǎn)動

圖3

圖4

在直線MN轉(zhuǎn)動過程中，直線MN與AB，AC不一定總有交點，因此可以考慮參數(shù)的取值范圍，編題如下：

圖5

圖6

3.2點G沿中線AD所在直線運動

文獻[4]對例1中重心G的位置進行了推廣，將點G改為中線AD上的其他點[4]，但點G的運動范圍只限于三角形內(nèi)部，因而仍然有局限性.筆者對此結(jié)果進一步推廣并重新敘述如下：

證明點D為BC的中點，從而

另一方面，點M，G，N共線，于是存在p，q滿足p+q=1，使得

解得

于是

即

定理2中并沒有限制m的范圍，只要保證點M，G，N共線，結(jié)論都可以成立.因此，點G不一定要限制在三角形內(nèi)部,可以將點G沿AD所在直線運動，并且還可以反向延長BA，CA，如圖7～9，結(jié)論仍然成立，這些圖形都可以作為編題的材料.

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

3.3點D沿直線BC運動

上面的討論說明了在圖形之中引入了“運動”之后的效果，我們站在更廣闊的視野看待原有問題，也編出了一些題目.因此，可以讓圖形進一步“運動”起來，將中點D的位置視作運動過程中的特殊狀態(tài)，讓點D沿BC運動.

另一方面，點M，G，N共線，因此存在p，q滿足p+q=1，使得

解得

于是

即

定理3給出了這個圖形在運動之中的一般規(guī)律，本質(zhì)上也將例1的情形推廣到了一般情形.筆者驚奇地發(fā)現(xiàn)，將“運動”引入例1后，經(jīng)過一步步地演化，問題已經(jīng)從特殊的情形變成了一般的情形，這正是“運動”帶來的奇妙效果.這個圖形總共有3個運動的要素：直線MN繞點G轉(zhuǎn)動、點G沿直線AD運動、點D沿直線BC運動，它們互相結(jié)合可以演變出許多不同的圖形，從中可以編制出許多題目.比如，可以賦予參數(shù)具體的數(shù)值，選取一個運動狀態(tài)來進行如下的編題：

證明由定理3，可知

從而

由題意λ1>0,λ2>0，根據(jù)柯西不等式知

即

4　對編題的思考

數(shù)學習題的一大價值在于幫助學生加深對知識的理解，在解決問題的過程中發(fā)展學生的問題解決能力，促進數(shù)學思維的發(fā)展.而傳統(tǒng)的編題過程往往只停留于經(jīng)驗，注重變式而較少關(guān)注題目的價值，對題目缺少系統(tǒng)的組織.這導致了數(shù)學習題十分冗雜，成為雜亂無章的“題?！?，對學生的學習也是不利的.編題者首先需要深入了解問題的結(jié)構(gòu)，這樣才能編出促進學生思維發(fā)展的有價值的題目.在反思舊問題的過程中編題，不僅可以深入了解問題的結(jié)構(gòu)，還可以挖掘出隱藏在問題背后更多的素材，這是編題的重要來源.圍繞一種觀點對問題進行反思從而編題(比如本文采用的“運動”觀點)，不僅推廣了原有問題并編制出了新的習題，編制出的題目也成為一個相互聯(lián)系的“題族”.

[1]波利亞．怎樣解題：數(shù)學教學法的新面貌[M]．涂泓，馮承天，譯．上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?002．

[2]徐彥輝.數(shù)學解題后的“回顧與反思”與數(shù)學問題的提出——探索一種通過“回顧與反思”來提出數(shù)學問題的模式與方法[J].數(shù)學教育學報，2015(1)：9-12.

[3]江保兵.平面向量的共線定理及其推論[J].中學數(shù)學研究，2014(2)：27-28.

[4]蘇慶飛.平面向量中三點共線定理的應(yīng)用與推廣[J].數(shù)理化學習:高三，2013(4)：19-20.

?2016-05-04；

2016-06-27

張健(1993-)，男，浙江溫州人，碩士研究生.研究方向：數(shù)學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)10-22-04