雙重偽補Ockham代數(shù)的理想與濾子同余關(guān)系的注記

趙秀蘭，初元紅，史西專

（黃河科技學院數(shù)理部，河南，鄭州，450063）

雙重偽補Ockham代數(shù)的理想與濾子同余關(guān)系的注記

趙秀蘭，初元紅，史西專

（黃河科技學院數(shù)理部，河南，鄭州，450063）

依據(jù)雙重偽補Ockham代數(shù)的核理想和余核濾子判別定理以及具有核理想和余核濾子同余關(guān)系表達式，研究了雙重偽補Ockham代數(shù)的核理想和余核濾子同余關(guān)系的同余置換性，證明了雙重偽補Ockham代數(shù)核理想同余關(guān)系和余核濾子同余關(guān)系是同構(gòu)的.

Ockham代數(shù)；偽補代數(shù)；雙重偽補Ockham代數(shù)；核理想；余核濾子；同構(gòu)

0　引言

文獻[1]研究了雙重偽補Ockham代數(shù)，簡稱dpO代數(shù)，它是在有界分配格上賦予三個一元運算f,*,+的代數(shù)，屬于（2,2,1,1,1,0,1）類型的代數(shù)類，其中（L;∧,∨,f,0,1）∈O（符號O表示Ockham代數(shù)），（L;∧,∨,*，0，1）∈p（符號p表示偽補代數(shù)），（L;∧,∨,+，0,1）為對偶的偽補代數(shù)，且兩組一元運算f,*和f,+滿足交換律（p代數(shù)，pO代數(shù)，對偶p的代數(shù)的詳細信息見文獻[2-3]）.在序代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究中，借助理想和濾子，特別是核理想與余核濾子，是人們認識序代數(shù)-Ockham代數(shù)類的結(jié)構(gòu)及同余關(guān)系的一個重要工具.文獻[4]研究了雙重偽補Ockham代數(shù)的理想和濾子，給出了雙重偽補Ockham代數(shù)具有核理想和余核濾子同余關(guān)系表達式以及核理想和余核濾子判別定理，證明了雙重偽補Ockham代數(shù)的核理想格與其余核濾子格同構(gòu).文獻[5-9]就相關(guān)Ockham代數(shù)類的理想與濾子做了研究.本文將在文獻[4]的基礎(chǔ)上，進一步討論雙重偽補Ockham代數(shù)核理想與余核濾子同余關(guān)系的性質(zhì).

1　基本知識

定義1.1[2-3]一個偽補代數(shù)（簡稱p-代數(shù)）是一個代數(shù)（L;∨,∧,*,0,1），它具有一個最小元0及一個映射*：L→L使得x*=max{y∈L|x∧y=0}.

定義1.2[2-3]一個對偶偽補代數(shù)是一個代數(shù)（L;∨,∧,+,0,1），它具有一個最大元1及一個映射+：L→L使得x+=min{y∈L|x∨y=1}.

定義1.3[2-3]設(shè)（L;∨,∧,0,1）是一個有界分配格，其上賦予一個一元運算f，若f滿足條件：

稱（L;∨,∧,f,0,1）是一個Ockham代數(shù)（簡記為O）.

定義1.4[10]設(shè)（L;∨,∧）是一個格，I是格L的子格，若x,y∈L，y≤x∈I總有y∈I，稱子格I是格L的理想.對偶地，F(xiàn)是格L的子格，若x,y∈L，y≥x∈F總有y∈F，稱子格F是格L的濾子.

定義1.5[1]設(shè)（L;∨,∧,0,1）是一個有界分配格，其上賦予三個一元運算f，*，和+，其中（L；f）是Ockham代數(shù)，（L；*）是偽補代數(shù)，（L；+）是對偶偽補代數(shù)，且三個一元運算滿足條件：

稱（L;∨,∧,f,*,+,0,1）是雙重偽補Ockham代數(shù)（簡稱dpO代數(shù)）.

定義1.6[1]設(shè)（L;∨,∧,f,*,+,0,1）是dpO代數(shù)，θ是L的一個格同余關(guān)系，若

則稱θ是L的同余關(guān)系.符號ConL表示L的全體同余關(guān)系構(gòu)成的集合.

定義1.7[4]設(shè)（L;∨,∧,f,*,+,0,1）是dpO代數(shù)，對于L的理想I，若存在L的一個同余關(guān)系φ，使得I=Kerφ，其中Kerφ={x∈L|x≡0（φ）}，稱理想I為L的核理想.

對于L的濾子F，若存在L的一個同余關(guān)系φ，使得F=Cokerφ，其中，

稱濾子F為L的余核濾子.

引理1.1[4]設(shè)（L;∨,∧,f,*,+,0,1）是dpO代數(shù)，則L上的一個理想I是核理想當且僅當（?a∈L）a∈I?{a*+,f（a*）}?I..

設(shè)L是dpO代數(shù)，符號I（L）和KI（L）分別表示L的全體理想和核理想構(gòu)成的集合.

引理1.2[4]設(shè)L是dpO代數(shù)，則KI（L）是I（L）的子格.

引理1.3[4]設(shè)L是dpO代數(shù)，L的一個濾子F為余核濾子當且僅當

設(shè)L是dpO代數(shù)，符號F（L）和CokF（L）分別表示L的全體濾子和余核濾子構(gòu)成的集合.

引理1.4[4]設(shè)L是dpO代數(shù)，CokF（L）是F（L）的子格.

引理1.5[4]設(shè)L是dpO代數(shù)，KI（L）≌CokF（L）.

沿用文獻[4]中的術(shù)語，設(shè)L是dpO代數(shù)，I是L上的核理想，F(xiàn)是L上的余濾子，分別定義L上的等價關(guān)系：

在文獻[4]中，已論證過RI∈ConL,RF∈ConL,且RI,RF分別是具有核理想I和余核濾子F的最小同余.雙重偽補Ockham代數(shù)的核理想格與其余核濾子格同構(gòu).那么，核理想同余關(guān)系與余核濾子同余關(guān)系能否構(gòu)成一一對應(yīng)，下面的定理2.4給出了答案.

2　主要結(jié)果

另一方面，設(shè)F1,F2∈CokF（L）,由文獻[4]得，F(xiàn)1=CokerRF1F2=CokerRF2.所以，若RF1≤RF2,CokerRF1≤CokerRF2，故RF1≤RF2.

設(shè)L是dpO代數(shù)，θ,φ∈ConL，定義L上的一個等價關(guān)系.

易見，θ°φ是L上的同余關(guān)系.

若θ,φ∈ConL，且θ,φ滿足關(guān)系式θ°φ=φ°θ，則稱同余關(guān)系θ,φ具有同余置換性.對于任意的I1,I2∈KI（L），F(xiàn)1,F2∈CokF（L），則RI1,RI2以及RF1,RF2具有同余置換性.定理2.2設(shè)（L;∨,∧,f,*,+,0,1）是dpO代數(shù)，I1,I2∈KI（L），F(xiàn)1,F2∈CokF（L），則

證明（1）令（x,y）∈RI1°RI2則存在z∈L，使得（x,z）∈RI1,（z,y）∈RI2.于是存在

i1∈I1,i2∈I2，使得

所以x∨i1∨i2=y∨i1∨i2

所以，（x,t）∈RI2.

又因

定理2.1設(shè)（L;∨,∧,f,*,+,0,1）是dpO代數(shù)，I,J∈KI（L），F(xiàn)1,F2∈CokF（L），則

證明（1）設(shè)I,J∈KI（L），I≤J，由RI,RJ的定義知，RI≤RJ.

另一方面，設(shè)I,J∈KI（L），RI≤RJ，則KerRI≤KerRJ.由文獻[4]知，

（2）設(shè)F1,F2∈CokF（L），由RF1,RF2的定義知，若F1≤F2,則RF1≤RF2.

所以t≡RI1（x∨i1∨i2）∧y=（y∨i1∨i2）∧y=y.

即t≡RI1

y.因此（x,y）∈RI2°RI1,從而得到RI1°RI2≤RI2°RI1.類似地，可得到相反的不等式，因此（1）成立.

（2）假設(shè)（x,y）∈RF1°RF2,則存在z∈L，使得（x,z）∈RF1,（z,y）∈RF2，則存在f1∈F1, f2∈F2，有

所以x∧f1∧f2=y∧f1∧f2.）.

因此，（x,s）∈RF2.

又因

所以s≡RF1（x∧f1∧f2）∨y=（y∧f1∧f2）∨y=y.

即s≡RF1

y.所以（x,y）∈RF2°RF1,從而得到RF1°RF2≤RF2°RF1.類似地，可得到相反的不等式，因此（2）成立.

設(shè)L是dpO代數(shù)，對于L的每一個余核濾子F和核理想I，記集合，

引理2.1[4]設(shè)（L;∧,∨,f,*,+,0,1）是dpO代數(shù)，又設(shè)I及F分別是L的核理想與余核濾子，則

（1）α（I）是L的余核濾子；

（2）β（F）是L的核理想.

根據(jù)RI，RF的定義，那么，余核濾子α（I）和核理想β（F）的同余關(guān)系將與核理想I與余核濾子F之間建立下列等式關(guān)系.

定理2.3（1）KerRα(I)=I;

（2）CokerRβ(F)=F.

證明（1）由引理2.1知，α（I）是L的余核濾子，結(jié)合余核濾子同余關(guān)系的定義知，（x,y）∈Rα(I)?（?i∈α（I））x∧i=y∧i.由α（I）的定義知，?a∈I,i≥a*.

設(shè)x∈KerRα(I),即（x,0）∈Rα(I),則存在i∈α（I）,x∧i=0∧i=0,故x≤i*≤a**.又因I是L的核理想，由引理1.1知，若a∈I,則a**∈I.所以x∈I,因此KerRα(I)≤I.

另一方面，設(shè)x∈I,由α（I）的定義知，x*∈α（I）.又因x∧x*=0∧x*=0,故（x,0）∈Rα(I),即x∈KerRα(I),所以I≤KerRα(I).因此KerRα(I)=I.

（2）由引理2.1知，β（F）是L的核理想，結(jié)合核理想同余關(guān)系的定義知，

（x,y）∈Rβ(F)?（?j∈β（F））x∨j=y∨j.由β（F）的定義知，?a∈F,j≤a+.

設(shè)x∈CokerRβ(F),即（x,1）∈Rβ(F),則存在j∈β（F）,x∨j=1∨j=1,故x≥j+≥a++.又因F是的L余核濾子，由引理1.1知，若a∈F,則a++∈F.于是x∈F,所以CokerRβ(F)≤F,

另一方面，令x∈F,由β（F）的定義知，x+∈β（F）.由于x∨x+=1∨x+=1,故（x,1）∈Rβ(F),則x∈CokerRβ(F),所以F≤CokerRβ(F).因此CokerRβ(F)=F.

設(shè)L是dpO代數(shù)，對于L的核理想集KI（L）和余核濾子集CokF（L），由引理1.5知，KI（L）≌CokF（L）.下面考慮核理想和余核濾子及其它們的同余關(guān)系之間的關(guān)系.設(shè)Conk（L）={RI|I∈KI（L）},ConF（L）={RF|F∈CokF（L）},則有下列定理.

定理2.4（1）KI（L）≌Conk（L）;

（2）CokF（L）=ConF（L）.

證明（1）先證I,J∈KI（L），有RI∧RJ=RI∧J.由引理1.2知，I∧J∈KI（L）.又因I∧J≤I,I∧J≤J，故由定理2.1知，RI∧J≤RI,RI∧J≤RJ，所以RI∧J≤RI∧RJ.

設(shè)（x，y）∈RI∧RJ，由文獻[10]知，（x，y）∈RI且（x，y）∈RJ，則存在i∈I,j∈J使得x∨i=y∨i,x∨j=y∨j.從而（x∨i）∧（x∨j）=（y∨i）∧（y∨j）.于是x∨（i∧j）=y∨（i∧j）.

又因i∧j∈I∧J，故（x，y）∈RI∧J，所以RI∧RJ≤RI∧J.因此RI∧RJ=RI∧J.再證對任意的I,J∈KI（L），有RI∨RJ=RI∨J.由引理1.2知，I∨J∈KI（L）.注意到I∨J≥I,I∨J≥J，由定理2.1知，RI∨J≥RI,RI∨J≥RJ,所以RI∨J≥RI∨RJ.設(shè)（x，y）∈RI∨J，則存在i∈I及i∈J使x∨i∨j=y∨i∨j從而有

故

（x，y）∈RI∨RJ，所以有RI∨J≤RI∨RJ，因此RI∨RJ=RI∨J.

又因RI=RJ當且僅當I=KerRI=KerRJ=J,所以映射：I→RI建立起KI（L）→Conk（L）的一一對應(yīng)，所以KI（L）≌ConF（L）.

（2）對偶地，可證CokF（L）≌ConF（L）.

由引理1.5和定理2.4可得到下列結(jié)論.

推論2.1KI（L）≌Conk（L）≌CokF（L）≌ConF（L）.

3　結(jié)論

本文在文獻[4]的基礎(chǔ)上，利用雙重偽補Ockham代數(shù)的核理想和余核濾子判別定理以及它們的同余關(guān)系表達式，論證了雙重偽補Ockham代數(shù)的核理想和余核濾子同余關(guān)系的同余置換性，獲得了雙重偽補Ockham代數(shù)核理想同余關(guān)系和余核濾子同余關(guān)系同構(gòu)的結(jié)論.這一結(jié)論幫助我們了解雙重偽補Ockham代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu).

[1]FANG J.Ockham algebras with double pseudocomplementation[J].Algebra Universalis，2006（55）：277-292.

[2]BLYTH T S，VARLET J C.Ockham algebras[M].Oxford：Oxford University Press，1994.

[3]FANG J.Distributive lattices with unary operations[M].北京：科學出版社，2011.

[4]趙秀蘭，孫中舉.雙重偽補Ockham代數(shù)的理想與濾子[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2012，26（3）：70-76.

[5]方捷，吳麗云.擬補Ockham代數(shù)的理想與濾子[J].數(shù)學學報，2004，47（4）：647-652.

[6]趙秀蘭，方捷.平衡擬補Ockham代數(shù)的理想格[J].華南師范大學學報（自然科學版），2007（2）：42-47.

[7]方捷，沈嚇妹.平衡半偽補Ockham代數(shù)的濾子[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2010，24（3）：38-45.

[8]王雷波，方捷.雙重偽補代數(shù)的假值理想的一點注記[J].純粹數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學，2012，28（1）：119-122.

[9]王雷波，方捷.幾乎偽補格的核理想與W-理想[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2012，26（1）：61-66.

[10]GR?TZER G.Lattice theory[M].NewYork：W H Freeman and Company，1971.

A Note on the Ideal and Filter Congruence Relations on Double Pseudo-Complement Ockham Algebras

ZHAO Xiulan,CHU Yuanhong,SHI Xizhuan

（Department of Mathematics and Physics.HuangHe Science and TechnologyCollege, Zhengzhou 450063.Henan,China）

Byusingthe discriminant theoremofthe kernel ideals and co-kernel filters on a double Pseudo-complemented Ockham algebra,the expression ofthe kernel ideals and co-kernel filters congruence relations,the congruence permutation of kernel ideals and co-kernel filters are studied.It is shown that the kernel ideals congruence and the co-kernel filters congruence relations of double Pseudo-complemented Ockham algebras are isomorphic.

Ockham algebra;Pseudo-complemented algebra;double Pseudo-complement Ockham algebra;kernel ideal;co-kernel filter;isomorphism

51

A

1001-4217（2016）01-0035-06

2015-08-31

趙秀蘭（1982—），女，河南周口人，講師，碩士，研究方向：格論與序代數(shù).E-mail：xiulanz@126.com.