高速遞紙機構能耗最優(yōu)的動力學設計

辛儒，趙永杰，2，張自強，2，張鵬

（1.汕頭大學工學院，廣東汕頭515063；2.汕頭輕工裝備研究院，廣東汕頭515021）

高速遞紙機構能耗最優(yōu)的動力學設計

辛儒1，趙永杰1，2，張自強1，2，張鵬1

（1.汕頭大學工學院，廣東汕頭515063；2.汕頭輕工裝備研究院，廣東汕頭515021）

為滿足印刷機械對遞紙機構高速平穩(wěn)運行的要求，采用共軛凸輪和搖桿滑塊構成遞紙機構，本文以高速遞紙機構為對象，研究能耗最優(yōu)的動力學優(yōu)化設計.首先，根據(jù)遞紙作業(yè)要求選定凸輪從動件運動規(guī)律，建立機構運動學模型，通過計算確定共軛凸輪輪廓.在此基礎上，利用牛頓歐拉法建立機構的動力學模型，求出驅動力矩、驅動功率以及運動周期內的能耗.最后，以能耗最小為目標，采用粒子群優(yōu)化算法對遞紙機構進行動力學優(yōu)化設計.實例證明，優(yōu)化后的遞紙機構節(jié)能效果明顯.

遞紙機構；能耗最優(yōu)；動力學優(yōu)化；粒子群優(yōu)化算法

0　引言

遞紙機構作為飛達中實現(xiàn)紙張傳遞和交接的關鍵部件，其作用是接住分紙機構分離出的紙張，并向前遞送給接紙輥和壓紙輥.遞紙機構工作性能的好壞直接影響到印刷速度和套印精度，繼而對膠印機整機印刷質量有重要影響.

共軛凸輪的應用使遞紙機構運動規(guī)律完全可控，減小震動，并能提高傳動性能，Zhang等[1]對給紙機遞紙機構共軛凸輪進行了設計.為提高遞紙機構工作性能，Wang[2]研究了膠印機遞紙機構的運動學特性，對遞紙機構的運動規(guī)律進行了分析，研究機構在高速工況下的動態(tài)性能，得到機器的動態(tài)響應及動態(tài)運動誤差[3]. Yan[4]通過分析遞紙機構在高速下的運動性能，設計出新的共軛凸輪機構.Zhang等[5]以軌跡偏差最小為目標函數(shù)對遞紙機構進行尺度綜合.目前，對遞紙機構的研究大多停留在運動學設計和動力學分析階段，以能耗指標為目標函數(shù)進行動力學優(yōu)化設計較為少見[6].

圖1　設計流程圖

針對遞紙機構高速、高頻、工作時間長的特點，本文采用一種由共軛凸輪和搖桿滑塊組成的遞紙機構，通過分析機構的運動學得到凸輪從動件運動規(guī)律，確定出共軛凸輪輪廓，進而以能耗指標為目標函數(shù)，采用粒子群優(yōu)化算法對該機構進行動力學優(yōu)化設計，綜合出能耗更低的結構參數(shù).

1　遞紙機構概念設計

1.1遞紙機構設計流程圖

為清楚地描述遞紙機構的設計思路，圖1以流程圖的方式展示了遞紙機構設計的作業(yè)流程.

1.2系統(tǒng)描述

如圖2所示，遞紙機構由共軛凸輪和搖桿滑塊組成，共軛凸輪固定在轉軸O處，與搖桿BAD2上滾子配合.搖桿可繞A轉動，連桿BC、遞紙桿CE組成搖桿滑塊機構，E處固定吸嘴.凸輪轉動帶動桿CE周期性前后移動，完成紙張遞送工作.

圖2　遞紙機構簡圖

2　遞紙機構運動學分析

2.1位置分析

其中，l1為桿AB長度，l2為桿BC長度，s1為A距參考位置距離，s2為桿CE段距離，xs為遞紙頭安裝位置距參考位置的距離，θ1為桿AB與x軸負方向夾角，θ2為桿BC與x軸負方向夾角.

遞紙機構位置逆解為：

參考坐標系A-xy如圖2所示，遞紙機構位置方程為

其中：

2.2速度分析

方程（1）兩邊對時間求導，得

解得

2.3加速度分析

方程（6）兩邊對時間求導，得

解得

2.4共軛凸輪輪廓線設計

通過對遞紙機構凸輪從動件搖桿BAD2的運動學逆解，給定遞紙桿CE的運動規(guī)律，便可得出搖桿的運動規(guī)律，從而確定凸輪輪廓線.該遞紙機構凸輪屬于滾子擺動從動件共軛凸輪，其輪廓線計算方法如下：

如圖3所示，滾子擺動從動件共軛凸輪機構中，主、回兩凸輪所對應的搖桿長度分別為lAB1和lAB2，其上滾子半徑分別為Rr1和Rr2，φ（t）為凸輪轉角，Rb1和Rb2為主回凸輪基圓半徑.Rb1、中心距l(xiāng)OA、搖桿的角度沖程ψm和運動規(guī)律方程是設計凸輪輪廓給定的原始數(shù)據(jù)[7].

2.4.1主凸輪輪廓坐標計算

主凸輪理論輪廓極坐標θB1、ρB1和實際輪廓極坐標θK1、ρK1按式（10）、（11）、（14）、（15）計算

圖3　共軛凸輪輪廓設計

式中：

其中，壓力角α1如式（16）所示.

2.4.2回凸輪輪廓坐標計算

回凸輪的基圓半徑按式（17）確定：

其中：

回凸輪理論輪廓極坐標θB2、ρB2和實際輪廓極坐標θK2、ρK2，按式（19）、（20）、（22）、（23）計算：

式中：

式中壓力角如式（24）所示.

遞紙機構的結構參數(shù)由表1給出，末端遞紙桿CE運動規(guī)律為式（25），

圖4　共軛凸輪輪廓線

表1　結構參數(shù)m/rad

3　動力學模型

對遞紙機構搖桿滑塊進行力學分析如圖5所示.

建立其Newton-Euler方程：

圖5　受力分析

其中：

聯(lián)立方程（25）、（26）、（27），并改寫為形式AX=B，其中

式中，ω為凸輪角速度，ts與te分別為運動開始時刻與結束時刻.

4　遞紙機構動力學優(yōu)化

4.1設計任務

結合膠印機需求開發(fā)高速遞紙機構，所需給紙步距為0.1 m，故給紙機構需在xs=0.1 m的工作范圍內完成前后遞紙任務.

4.2設計變量

如圖2所示，搖桿lAD2、∠BAD2預先給定，則其結構可以由l1、l2、s1、s2、h、xs來描述，其中l(wèi)i為桿i的長度，xs為遞紙吸嘴位置，由設計任務給定，s1、h為位置參數(shù)，根據(jù)系統(tǒng)結構給定，s2為遞紙吸嘴安裝位置到旋轉副的距離，s2值越小驅動力矩越小，在此不作為設計變量，故設計變量選擇為：l1、l2.

4.3目標函數(shù)

對于此遞紙機構的動力學尺度綜合，采用式（36）的能耗指標ECI（Energy Consumption Index）作為目標函數(shù)，其物理意義為機構運行一個周期消耗能量的大小，該指標反應機構的能耗狀況.根據(jù)數(shù)值積分，機構在運動周期內的能量消耗為[8]：

其中：

num為積分步長，其取值一般為

其中，n為正整數(shù).所需能耗的近似誤差需要滿足

其中，e為需要滿足的近似誤差，n1為在數(shù)值積分中用到的正整數(shù).

4.4約束條件

約束條件的施加考慮以下因素：

（1）機構中搖桿與共軛凸輪配合運動，受到共軛凸輪軸的限制，其擺動范圍60°≤θ1≤110°.

（2）傳動角是衡量平面連桿機構傳動性能的重要指標，一般傳動角的選擇范圍為（40°，140°），故遞紙機構連桿間的傳動角選擇范圍為（40°，140°）.

（3）滿足偏置搖桿滑塊機構需添加約束.

由于受到該約束的作用，給定l2min即可確定l1、l2的取值范圍如下式所示.

（4）考慮到搖桿上裝配有滾子、連桿的桿長最小值需滿足裝配要求，桿長最小值需滿足下式.

4.5優(yōu)化實現(xiàn)

遞紙機構的優(yōu)化可以轉化為包含上述約束條件的非線性約束優(yōu)化問題[9]

其中X=（l1，l2），采用粒子群算法求解非線性約束優(yōu)化問題，對于算法中每個粒子（可行解），遞紙桿在工作空間運行一個周期便能計算出目標函數(shù)值和約束函數(shù)值，通過算法迭代便能找出目標函數(shù)極值.

5　粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization）是Kennedy和Eberhart于1995年受鳥群系統(tǒng)行為特性啟發(fā)建立的一種群體智能優(yōu)化算法，已廣泛應用于解決優(yōu)化設計問題[10]. Clerc和Kennedy于2002年提出自適應粒子群算法[11]，引入了收縮因子（Constriction Factor）來保證算法收斂.該算法忽略了慣性權重w和最大速度限制lmax，是標準粒子群算法的一個版本，其進化方程可描述為

其中，式（48）、（49）為速度更新方程和位置更新方程，xi（t）、vi（t）為迭代時刻t粒子i的位置、速度.pi（t）、pg（t）為個體極值位置和群體極值位置，r1和r2是［0，1］之間的隨機數(shù)，c1和c2是粒子的加速度常數(shù)，通常在［0，4］取值.收縮因子

在（0，1）取值，其中φ=c1+c2.Clerc指出φ＞4時可以保證算法收斂性[11]，并提出φ=4.1即收縮因子k=0.729時算法具有較好的收斂性.Clerc在導出收縮因子法時不再需要最大速度限制vmax，但研究發(fā)現(xiàn)收縮因子配合速度鉗制可獲得更高的收斂速度.通常最大速度選為搜索空間的10%～20%.

本文中算法參數(shù)值設置為：k=0.729、c1=c2=2.05，種群規(guī)模20，迭代次數(shù)100，最大速度cmax設置為搜索空間的15%.

6　實例

本小節(jié)將針對具體算例對飛達遞紙機構進行動力學優(yōu)化設計，注意到桿AB、BC的等效質量為桿長和截面積的函數(shù)，且桿中間段被設計成矩形界面，故設μ1=1.17kg/m、μ2=1.17kg/m分別為桿AB、BC中間段單位長度質量，且令m1為搖桿BAD2及兩個滾子的質量和.由此得到的系統(tǒng)慣性參數(shù)與桿長關系如表2、3所示.

表2　轉動慣量kg/m2

表3　構件質量kg

表中滾子質量m0=0.039 2 kg，桿AD2質量m1′=0.140 4 kg，搖桿質心距轉軸的距離l0為

給定遞紙機構末端遞紙桿運動規(guī)律方程如式（52）所示，凸輪轉角則為φ=10t.

6.1優(yōu)化結果

以能耗指標為目標函數(shù)，采用粒子群優(yōu)化算法對遞紙機構進行優(yōu)化設計，在滿足式（45）、（46）裝配要求的情況下，初步給定優(yōu)化前的機構尺寸參數(shù)及目標函數(shù)如表4所示，得到優(yōu)化后的尺寸參數(shù)及目標函數(shù)如表5所示.

表4　優(yōu)化前機構的尺寸參數(shù)及目標函數(shù)

表5　優(yōu)化后機構的尺寸參數(shù)及目標函數(shù)

由表4、5可以看出，優(yōu)化后的遞紙機構可節(jié)能12.830 2%，節(jié)能效果明顯.

6.2尺度參數(shù)對能耗指標的影響規(guī)律

上述優(yōu)化的自變量取值范圍在給定l2min=0.08m的情況下，由約束條件（3）計算得出.

設計變量與目標函數(shù)的關系如圖6所示.

由圖6可知，能耗指標的最小值應該出現(xiàn)在（0.248 2，0.08）處，但表5優(yōu)化結果表明能耗指標在（0.248 6，0.08）處取得最小值2.824 3 J，其原因是自變量為（0.248 2，0.08）時桿AB與桿BC在一個運動周期內的傳動角最大值大于140°，不滿足約束條件（2）.桿AB、BC間所允許的傳動角最大值γ對優(yōu)化結果的影響如表6所示.

設計變量l1、l2的取值范圍影響優(yōu)化結果，設計變量取值范圍由l2min帶入式（43）、（44）計算得出.隨著l2min的增大，l1min逐漸變小，但不能小于約束條件（4）給出的最小值0.12 m，目標函數(shù)與設計變量取值范圍的關系如表7所示.由表7可以看出，在滿足約束條件的情況下l2min=0.08 m時目標函數(shù)的優(yōu)化值最小為2.824 3 J.

圖6　目標函數(shù)隨設計變量的變化關系

表6　約束條件與優(yōu)化結果的關系

表7　目標函數(shù)與設計變量取值范圍的關系

7　結論

針對遞紙機構高頻、高速且工作時間長的特點，本文采用一種由共軛凸輪和搖桿滑塊組成的遞紙機構，以能耗指標為目標函數(shù)，利用粒子群算法對該機構進行動力學優(yōu)化設計，得以下結論：

（1）給出高速輸紙機構共軛凸輪輪廓坐標的計算方法，計算出該機構主、回凸輪的理論輪廓線和實際輪廓線.

（2）提出能耗指標，將其作為目標函數(shù)對遞紙機構進行動力學優(yōu)化設計，優(yōu)化后的遞紙機構較優(yōu)化前可節(jié)省12.830 2%能耗，節(jié)能效果明顯.

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Dynamic Optimization of High-Speed Paper-Feeding Mechanism Based on the Minimum Energy Consumption

XIN Ru1,ZHAO Yongjie1，2,ZHANG Ziqiang1，2,ZHANG Peng1
（1.College ofEngineering,Shantou University,Shantou 515063,GuangdongChina；2.Shantou Institute for Light Industrial Equipment Research,Shantou 515021,GuangdongChina）

In order to meet requirements of feeding paper stably in high-speed operation, the paper-feeding mechanism usually consists of a conjugate cam and a rocker slider. The dynamic optimization of high paper-feedingmechanismbased on minimum energy consumption is presented in this paper. Firstly, the camfollower’smovement rule is obtained and the conjugate cam’s contour coordinates are presented through the kinematics analysis. Then, the dynamic model of the mechanism is formulated by Newton-Euler method. The driving torque, power and energy consumption ofmotion period are obtained. Finally, PSOis used in the dynamic optimization design of this mechanism, taking the minimum energy consumption as objective function. A specific example proves that the optimized paper- feedingmechanismis energyefficient.

paper-feedingmechanism;minimumenergy consumption; dynamic optimization; PSO

TH122，TP18

A

1001-4217（2016）01-0055-10

2015-03-16

辛儒（1988—），男，河北衡水人，碩士生，從事輕工機械設計研究，E-mail：meruxin@163.com.通信作者：趙永杰，教授，碩士生導師.E-mail：meyjzhao@stu.edu.cn.

廣東省科技計劃資助項目（2011A091000013，2012B011300039，2013B011301015）；汕頭市科技計劃資助項目（2013-29，2013-05）；廣東省領軍人才項目.