非合作博弈中擴(kuò)張Nash均衡點(diǎn)的存在性

趙春香，洪世煌，劉花花

(杭州電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，浙江 杭州 310018)

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非合作博弈中擴(kuò)張Nash均衡點(diǎn)的存在性

趙春香，洪世煌，劉花花

(杭州電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，浙江 杭州 310018)

以不動(dòng)點(diǎn)定理為主要研究工具，考慮非貨幣化非合作博弈中擴(kuò)張Nash均衡點(diǎn)的存在性問(wèn)題.首先引入一個(gè)不連續(xù)集值算子的不動(dòng)點(diǎn)定理，然后將該不動(dòng)點(diǎn)定理運(yùn)用于非貨幣化非合作博弈，獲得了一個(gè)擴(kuò)張Nash均衡點(diǎn)的存在性定理.由于該博弈模型中局中人的支付函數(shù)是不連續(xù)的，且支付函數(shù)值是向量值，因此所得的擴(kuò)張Nash均衡點(diǎn)的存在性定理更具有普遍性和廣泛的應(yīng)用性.

偏序集；不動(dòng)點(diǎn)；非貨幣化非合作博弈；擴(kuò)張Nash均衡點(diǎn)

0　引　言

大多數(shù)博弈問(wèn)題都假設(shè)支付函數(shù)定義在實(shí)數(shù)域上，即它的值域?yàn)閷?shí)數(shù)集的子集[1-2].然而隨著博弈論的迅速發(fā)展和應(yīng)用，人們發(fā)現(xiàn)，來(lái)自于現(xiàn)實(shí)生活中的許多博弈模型中，其局中人的支付函數(shù)并非是實(shí)值的.例如社會(huì)選擇博弈，投票博弈和軍事學(xué)中的某些博弈，其局中人的支付函數(shù)均為向量值.近些年，局中人的策略集是向量空間的子集且其支付函數(shù)定義在偏序集上的博弈，被稱(chēng)為非貨幣化非合作博弈[3-5].對(duì)于Nash均衡的研究，不動(dòng)點(diǎn)定理一直是相當(dāng)重要的數(shù)學(xué)工具.本文利用文獻(xiàn)[6]中關(guān)于不連續(xù)集值算子的不動(dòng)點(diǎn)定理，考慮非貨幣化非合作博弈中的擴(kuò)張Nash均衡問(wèn)題.與文獻(xiàn)[5]相比，雖然本文的博弈模型需要具備一些拓?fù)浠虼鷶?shù)結(jié)構(gòu)，但證明過(guò)程簡(jiǎn)化，并且支付函數(shù)也不要求連續(xù).

1　預(yù)備知識(shí)

在偏序集(X,≥)中，子集A被稱(chēng)作X中一條鏈，如果A中任意兩個(gè)元素可比較，也就是對(duì)任意的x,y∈A，有x≤y或y≤x.A被稱(chēng)作一條可數(shù)鏈，如果A是一條鏈并且是可數(shù)的(簡(jiǎn)記為c.c.).

對(duì)于給定的偏序集(X,≥X)和(U,≥U)，稱(chēng)映射F:X→2U{φ}是序上增的，如果對(duì)于x≤Xy∈X及z∈F(x)，存在ω∈F(y)使得z≤Uω.映射F被稱(chēng)作序下增的，如果對(duì)于x≤Xy∈X及ω∈F(y)，存在z∈F(x)使得z≤Uω.如果F既是序上增的又是序下增的，那么稱(chēng)F是序增的.偏序集(X,≥)被稱(chēng)為歸納(逆歸納)的，如果X中任意鏈都有上界(下界).如果X既是歸納的又是逆歸納的，稱(chēng)X為雙向歸納的.

定義1一個(gè)n人非貨幣化非合作博弈，簡(jiǎn)記為Γ={N,S,P,U}，包括以下元素：

1)n個(gè)局中人的集合N={1,2,…,n}；

3)產(chǎn)出空間(U,d,≥U)是一個(gè)偏序度量空間；

4)n個(gè)支付函數(shù)的集合P={P1,P2,…,Pn}，其中Pi是局中人i的支付函數(shù)，它是從S1×S2×…×Sn到(U,d,≥U)的映射.

下面介紹兩個(gè)定理，它們將在下一章節(jié)的證明中起關(guān)鍵性作用.

定理1(Eberlein-Shmulian定理)[7]巴拿赫空間B是自反的，則B中有界集是弱緊的.

在文獻(xiàn)[6]中，由注釋3.3和推論3.4，可以直接得到推論3.10的一個(gè)推廣的不動(dòng)點(diǎn)定理.

1){u0}≤Au0，{v0}≥Av0；

2)A是序增的且有非空弱閉值；

3)如果C={xn}?K是可數(shù)全序的，并且C?wcl({x1}∪A(C))，則C是弱相對(duì)緊的.

那么集值映射A在K上有極大和極小不動(dòng)點(diǎn).

2　主要結(jié)論

對(duì)任意的A,B∈，A≥B當(dāng)且僅當(dāng)A?B，A>B當(dāng)且僅當(dāng)A≥B且A≠B，則(,≥)為一偏序集.文獻(xiàn)[8]證明了任意鏈完備(即任意鏈都有上確界)偏序集都有一個(gè)極大元，為此有下述引理.

定理3Γ為一非貨幣化非合作博弈.假設(shè)Γ滿(mǎn)足如下條件：

(Ⅱ)存在函數(shù)φ:U→R使得對(duì)任意的u1,u2∈U，若有u1≤Uu2，則d(u1,u2)≤φ(u1)-φ(u2)；

(Ⅲ)每一個(gè)局中人的支付函數(shù)Pi:S→U(i∈N)滿(mǎn)足以下條件：

(i)對(duì)任意的i∈N及x,y∈S，Pi(x)≤UPi(y)當(dāng)且僅當(dāng)x≤By；

(ii)Pi將無(wú)界集映成無(wú)界集；

(iii)對(duì)任意的x,y∈S且x≤By，如果Pi(ωi,y-i)是Pi(Si,y-i)的一個(gè)極大元，那么存在zi∈Si且zi≤iωi使得Pi(zi,x-i)是Pi(Si,x-i)的一個(gè)極大元.

則該博弈Γ有極大和極小擴(kuò)張Nash均衡點(diǎn).

定義集值映射T1,T2,…,Tn的積映射T:K→2S{φ}如下：T(x)=T1(x)×T2(x)×…×Tn(x),?x∈K.

顯然，對(duì)任意x∈K,T(x)?[μ0,μ0].則有T(K)?[μ0,μ0]，這就意味著μ0≤BTμ0及μ0≥BTμ0成立.因此，T滿(mǎn)足定理2中假設(shè)1.

Pi(μ0)≤UPi(xk)≤UPi(μ0),?i∈N,?k∈N+.

(1)

(2)

3　結(jié)束語(yǔ)

均衡點(diǎn)的存在性問(wèn)題是博弈論中重要內(nèi)容.對(duì)于支付函數(shù)值是實(shí)值的非合作博弈的Nash均衡點(diǎn)的存在性理論研究已經(jīng)比較成熟了，支付函數(shù)值是向量值的非合作博弈更值得深入研究.本文主要利用不動(dòng)點(diǎn)定理為研究工具得出非貨幣化非合作博弈的擴(kuò)張Nash均衡點(diǎn)的存在性.如何將定理?xiàng)l件進(jìn)一步簡(jiǎn)化，以及均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問(wèn)題有待進(jìn)一步深入研究.

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The Existence of Extended Nash Equilibriums of Nonmonetized Noncooperative Discontinuous Games

ZHAO Chunxiang, HONG Shihuang, LIU Huahua

(InstituteofAppliedMathematicsandEngineeringComputing,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

In this paper we consider extended Nash equilibriums of the nonmonetized noncooperative game. We first introduce a fixed point theorem of discontinuous multivalued operators and then use it to establish an existence result of the extended Nash equilibriums. As each player’s payoff function is discontinuous and the outcome space is poset, the existence theorem of the extended Nash equilibriums is more universal and practical.

partially ordered set; fixed point; nonmonetized noncooperative game; extended Nash equilibrium

10.13954/j.cnki.hdu.2016.01.017

2015-05-22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71471051)

趙春香(1990-)，女，江蘇常州人，碩士研究生，博弈論與非線(xiàn)性分析.通信作者：洪世煌教授，E-mail：hongshh@hdu.edu.cn.

O225

A

1001-9146(2016)01-0086-04