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    一題多變,搞定“圍圈”

    2016-10-26 03:44:33山中月章瑞峰
    初中生天地 2016年27期
    關(guān)鍵詞:籬笆雞場(chǎng)一元二次方程

    □山中月 章瑞峰

    一題多變,搞定“圍圈”

    □山中月章瑞峰

    一元二次方程是解決實(shí)際問題的重要模型,也是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容.下面我們借一道“圍圈”習(xí)題變式,感受一元二次方程解決實(shí)際問題的便利.

    例題如圖1,要建一個(gè)面積為150m2的長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng),雞場(chǎng)的一邊靠墻(墻長(zhǎng)18m),另外三邊用40m長(zhǎng)的籬笆圍成,求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬.

    圖1

    解析:設(shè)AB長(zhǎng)為x m,則BC長(zhǎng)為(40-2x)m,依題意可列方程

    x(40-2x)=150,

    整理可得(x-5)(x-15)=0,

    解得x1=5,x2=15.

    當(dāng)x=5時(shí),BC=40-2x=40-2×5>18,

    當(dāng)x=15時(shí),BC=40-2x=40-2×15<18,

    ∴x=15.

    故雞場(chǎng)的長(zhǎng)是15m,寬是10m.

    點(diǎn)評(píng):運(yùn)用一元二次方程解決這類“圍圈”問題時(shí),一定要根據(jù)題目中的隱含條件“墻長(zhǎng)18m”,對(duì)與墻平行的一邊的長(zhǎng)進(jìn)行檢驗(yàn),看“BC”邊是否符合題意.

    變式一:如果“墻長(zhǎng)18米,籬笆長(zhǎng)40米”的條件不變,能否圍成面積為250m2的雞場(chǎng)?

    解:假設(shè)能圍成面積為250m2的雞場(chǎng),則

    x(40-2x)=250,

    整理得x2-20x+125=0.

    Δ=(-20)2-4×1×125<0,

    方程無解,故不能圍成面積為250m的雞場(chǎng).

    點(diǎn)評(píng):解決此類“判斷型”問題,可假設(shè)存在等量關(guān)系,從而建立一元二次方程,通過判斷方程是否有實(shí)數(shù)根,從而判定該等量關(guān)系是否存在.

    變式二:如果“墻長(zhǎng)18米,籬笆長(zhǎng)40米”的條件不變,要使所圍雞場(chǎng)面積最大,該雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別是多少?

    解:設(shè)雞場(chǎng)面積為Sm2,AB= x m,BC=(40-2x)m,

    則S=x(40-2x),

    整理可得S=-2x2+40x,

    BC=40-2x=40-2×10>18,不符合題意.

    由a=-2<0可知,拋物線開口向下,當(dāng)0<x<10時(shí),S隨x的增大而增大,當(dāng)x>10時(shí),S隨x的增大而減小,即當(dāng)x取最小值時(shí),所圍雞場(chǎng)面積最大.

    由題意可建立一元一次不等式

    解得11≤x<20,

    ∴當(dāng)x=11時(shí),S有最大值,此時(shí)BC=40-2×11=18(m).

    點(diǎn)評(píng):涉及“極值”問題時(shí),通常構(gòu)造二次函數(shù)模型來解決.

    應(yīng)注意的問題是:

    1.緊扣顯性條件和隱含條件,準(zhǔn)確求出自變量的取值范圍;

    變式三:如果“墻長(zhǎng)18米,籬笆長(zhǎng)40米”的條件不變,且在BC邊上開一個(gè)2米長(zhǎng)的門,要使所圍雞場(chǎng)面積最大,要求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬.

    圖2

    解:如圖2,設(shè)雞場(chǎng)面積為Sm2,AB=x m,BC=(40-2x+2)m,

    得12≤x<21.

    此時(shí)AB=12m,BC=18m.

    點(diǎn)評(píng):解決此類“開門”問題,審題是關(guān)鍵.如圖2,“開門”的實(shí)質(zhì)是在不改變籬笆長(zhǎng)度的基礎(chǔ)上,將BC長(zhǎng)度增加了2m,由原來的x m變?yōu)椋▁+2)m,相應(yīng)的面積也發(fā)生了變化.同樣不能忽視題目中的隱含條件.?

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