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    圓中之“最”,有“跡”可尋

    2016-10-24 09:02:21柏素霞
    初中生世界 2016年35期
    關(guān)鍵詞:位線圓周角垂線

    柏素霞

    圓中之“最”,有“跡”可尋

    柏素霞

    近年來,以圓為載體,通過點的運動或是圓本身的運動來考查與圓有關(guān)的最值的題型不在少數(shù),解決這類問題的關(guān)鍵是找出確定最值成立的條件,同學(xué)們要學(xué)會化未知為已知,與已學(xué)知識點相聯(lián)系,架起思維的橋梁,實現(xiàn)轉(zhuǎn)化,從而找到突破口求解.

    一、結(jié)合三角形的中位線定理求解

    例1如圖1,AB是⊙O的弦,AB=6,點C是⊙O上的一個動點,且∠ACB=45°.若點M,N分別是AB,BC的中點,則MN長的最大值是_______.

    【分析】根據(jù)中位線定理得到,AC最大時,MN最大.AC是圓的一條弦,隨著點C的運動,弦AC的長在發(fā)生變化,在圓內(nèi),直徑是最長的弦,因此,當(dāng)AC過點O為直徑時AC最長,從而求得直徑后就可以求出最大值.

    圖1

    圖2

    解:∵點M,N分別是AB,BC的中點,

    ∴當(dāng)AC取得最大值時,MN就取得最大值,當(dāng)AC為直徑時最大,如圖2,

    【說明】在解決本類題型時我們要學(xué)會動中覓靜,要分清在運動過程中圖形的不變元素和變動元素,探尋到那些隱含的、在運動變化中沒有改變的不變量或不變關(guān)系.本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)及圓周角定理,解題的關(guān)鍵是了解什么時候MN的值最大.本題中的不變關(guān)系就是三角形的中位線定理,通過這個不變關(guān)系實現(xiàn)了最大值的轉(zhuǎn)化,通過求AC的最大值從而求得了MN的最大值.

    二、結(jié)合垂線段的性質(zhì)求解

    【分析】如圖4,由垂線段的性質(zhì)可知,當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時,直徑AD最短.根據(jù)同圓中同弧所對的圓心角和圓周角之間的關(guān)系可知∠EOF=120°,易求得∠EOH=60°,根據(jù)特殊的直角三角形三邊間的比例關(guān)系可知EF=當(dāng)半徑OE最短時,EF最短.

    圖3

    圖4

    解:如圖4,連接OE,OF,過O點作OH⊥EF,垂足為H,

    ∴AD=BD=2,即此時圓的直徑為2,

    ∴OE=OF=1.

    由圓周角定理可知

    【說明】本題考查了垂徑定理、圓周角定理以及特殊的直角三角形的性質(zhì).解本題的關(guān)鍵是根據(jù)運動變化,找出滿足條件的最小圓,再利用特殊直角三角形三邊之比找出EF與圓的直徑之間的關(guān)系.這里的最值實質(zhì)上是應(yīng)用了“垂線段最短”,再轉(zhuǎn)化為所要求的弦的最小值.

    三、“最”上加“最”,綜合求解

    例3如圖5,在△ABC中,AB=15,AC=12,BC=9,經(jīng)過點C且與邊AB相切的動圓與CB、CA分別相交于點E、F,則線段EF長度的最小值是________.

    【分析】利用勾股定理的逆定理得到∠C為直角,利用“90度的圓周角所對的弦為直徑”,得到EF為圓的直徑.如圖6,設(shè)圓與AB的切點為D,圓心為點O,連接CO、DO,這兩條半徑之和始終等于直徑EF的長,當(dāng)(CO+DO)的長度最短時,則EF的長度最小.故當(dāng)C、O、D三點共線時,即當(dāng)CD垂直于AB時,CD是圓的直徑,此時EF長度最小,求出即可.

    解:∵在△ABC中,AB=15,AC=12,BC=9,

    ∴AB2=AC2+BC2,

    ∴△ABC為直角三角形,∠ACB=90°,可知EF為圓的直徑.

    設(shè)圓與AB的切點為D,連接CD,

    當(dāng)CD垂直于AB,即CD是圓的直徑時,EF長度最小,最小值是

    圖5

    圖6

    【說明】本題考查了勾股定理的逆定理及直徑、圓周角的相關(guān)性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵是要看清圓在運動的過程中,EF與(CO+DO)始終相等,故可進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化.在運動過程中,有那么一個特殊狀態(tài),C、O、D三點共線且垂直于AB,此時CD最短且為直徑,這里運用了兩點之間線段最短和垂線段最短的性質(zhì).

    以上幾例為圓中有關(guān)最值計算問題的常用思路,同學(xué)們只要能尋得問題的源頭,便能抵達(dá)成功的彼岸.

    (作者單位:江蘇省揚州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校)

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