解題利器
——根與系數(shù)的關(guān)系

王愛玲

解題利器
——根與系數(shù)的關(guān)系

王愛玲

在蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊第1章第3節(jié)有一個選學(xué)內(nèi)容——一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，如果能掌握這個知識點，對于我們的解題將非常有幫助.

一、根與系數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)

對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）來說，如果b2-4ac≥0，那么它的兩個根分別為

而在實際解題過程中，一元二次方程的二次項系數(shù)通常為1，那么這一關(guān)系可簡化為：

如果x2+px+q=0的兩根分別是x1和x2，則x1+ x2=-p，x1x2=q.

二、根與系數(shù)關(guān)系——解題利器

根與系數(shù)關(guān)系是由求根公式推導(dǎo)得到的，是求根公式應(yīng)用的“升華”，它使用起來就應(yīng)該更便捷.下面我們通過幾道題目來談?wù)劯c系數(shù)關(guān)系在解題中的應(yīng)用.

應(yīng)用1一元二次方程兩根的檢驗

例1已知一元二次方程x2+2x-7=0，則這個方程的兩個根是（）.

【分析】如果求解一元二次方程x2+2x-7=0，需要用公式法，比較麻煩，但如果用根與系數(shù)關(guān)系來判斷可以迅速找到正確的選項，x1+x2=-2，x1x2=-7.

答案：A.

【方法點撥】由于這是一道選擇題，因此只需找到正確的答案即可，如果解一元二次方程比較繁瑣，可以采取其它一些“投機(jī)取巧”的方法來求解，如本題應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系來判斷.

應(yīng)用2已知方程一根，可求另一根

例2已知方程5x2+kx-6=0的一個根為2，求它的另一個根及k的值.

【分析】方程5x2+kx-6=0已知二次項系數(shù)和常數(shù)項，所以x1x2的值已知，可根據(jù)兩根之積先求出方程另一個根，然后根據(jù)兩根之和求出k的值.

解：設(shè)方程的另一個根是x1，那么2

【方法點撥】當(dāng)一元二次方程已知二次項系數(shù)和常數(shù)項時，相當(dāng)于已知方程兩根之積；當(dāng)已知二次項系數(shù)和一次項系數(shù)時，相當(dāng)于已知方程兩根之和.當(dāng)已知方程一根的時候，就很容易根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到方程另一根.

應(yīng)用3已知系數(shù)，求對稱代數(shù)式的值

例3若x1、x2是一元二次方程x2-7x+5=0的兩根，則的值是（）.

【分析】∵x2-7x+5=0，∴x1+x2=7，x1x2=5，

答案：A.

應(yīng)用4逆用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造方程解決問題

例4已知兩個數(shù)的和等于8，積等于7，求這兩個數(shù).

【分析】可以將這兩個數(shù)看作是一個一元二次方程的兩根，那么x1+x2=8，x1x2=7，代入x2-（x1+ x2）x+x1x2=0中，即可構(gòu)造出兩根分別為x1和x2的一元二次方程.

解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，這兩個數(shù)是方程x2-8x+7=0的兩個根，

解這個方程，得x1=1，x2=7.

因此，這兩個數(shù)是1，7.

【方法點撥】由于方程（x-x1）（x-x2）=0可化為x2-（x1+x2）x+x1x2=0，如果已知兩根之和和兩根之積，可根據(jù)這一性質(zhì)構(gòu)造出一個符合要求的一元二次方程.

例5已知x1，x2是方程x2+3x-5=0的兩根，求以（x1+1）和（x2+1）為根的一元二次方程.

【分析】逆用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，但要注意新方程的兩個實數(shù)根是（x1+1）和（x2+ 1），而不是x1，x2.

解：∵x1，x2是方程x2+3x-5=0的兩根，

∴x1+x2=-3，x1·x2=-5，

∴（x1+1）+（x2+1）=x1+x2+2=-3+2=-1，

（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=-5-3+1=-7，

∴以（x1+1）和（x2+1）為根的一元二次方程為：y2+y-7=0.

【方法點撥】已知一個一元二次方程，求新的一元二次方程，使它的根與原方程的根符合某種關(guān)系，這類題目的解題步驟是：①設(shè)出已知方程的兩根，并依據(jù)所知關(guān)系寫出所求方程的兩根；②由根與系數(shù)的關(guān)系寫出所設(shè)兩根的和與積；③求新方程兩根的和與積；④寫出新方程.

應(yīng)用5應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系討論方程根的情況

例6已知方程x2-4x-2m+8=0的兩個根中一個大于1，另一個小于1，求m的取值范圍.

【分析】由于這兩個根一個大于1，另一個小于1，當(dāng)這兩根同時減去1，得到的兩數(shù)必然一正一負(fù)，它們的乘積是負(fù)數(shù)，可根據(jù)這一條件列出關(guān)于m的取值范圍.

解：方程有兩個根，所以Δ＞0，

即42-4（-2m+8）＞0，

解得m＞2，同時根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可知：x1+x2=4，x1x2=-2m+8，由于兩個根中一個大于1，另一個小于1，∴（x1-1）（x2-1）<0，

【方法點撥】本題已知的是兩根之間的關(guān)系，要求的還是系數(shù)的取值范圍，解決此類問題最終還是轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.

三、注意公式應(yīng)用條件

一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用必須滿足兩個前提條件，首先這個方程必須是一元二次方程，一般表現(xiàn)為二次項系數(shù)不能等于0，其次這個一元二次方程要有兩根，即保證根的判別式的值為非負(fù)數(shù).

例7關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的兩根的平方和小于5，求k的取值范圍.

【分析】

解：設(shè)方程兩根分別為x1，x2，

又∵Δ=（-3）2-4（k+1）≥0，

【方法點撥】已知方程兩根關(guān)系，探求字母系數(shù)的取值范圍，可先將兩根關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩根之和和兩根之積的形式，構(gòu)造方程或不等式，確定字母的取值范圍，務(wù)必要注意Δ≥0這個隱含條件.

（作者單位：江蘇省海安縣仇湖初中）