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    選擇合適的方法解一元二次方程

    2016-10-24 09:17:11朱雪梅
    初中生世界 2016年35期
    關(guān)鍵詞:移項開平解方程

    朱雪梅

    選擇合適的方法解一元二次方程

    朱雪梅

    干什么事都有訣竅,解一元二次方程也是如此.一元二次方程有四種基本解法:直接開平方法,配方法,求根公式法,因式分解法.在解一元二次方程時,我們應(yīng)當(dāng)仔細(xì)觀察方程的形式和系數(shù)特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎη蠼忸}過程簡潔、明快.

    一、適合用直接開平方法求解的方程

    例1用直接開平方法解下列方程.

    (1)x2-4=0;(2)(x+3)2-2=0;(3)4(x-2)2= 9(x+3)2.

    【分析】(1)將方程化為x2=4,然后兩邊直接開平方;(2)將(x+3)2-2=0化為(x+3)2=2的形式,然后兩邊直接開平方;(3)把(x-2)和(x+3)分別作為一個整體,然后考慮使用直接開平方法.

    解:(1)移項,得x2=4.

    因?yàn)閤是4的平方根,所以x=±2,

    即x1=2,x2=-2.

    (2)移項,得(x+3)2=2.

    (3)根據(jù)平方的性質(zhì)有:2(x-2)=3(x+3)或2(x-2)=-3(x+3),

    即:x1=-13,x2=-1,

    【點(diǎn)評】形如x2=b、(x-a)2=b、(x-a)2=(x-b)2的方程適合用直接開平方法來求解.

    二、什么時候選用配方法解一元二次方程

    例2(1)x2-4x=396;(2)3x2-2x-3=0.

    【分析】利用配方法解一元二次方程的步驟:

    (1)把方程中含有未知數(shù)的項移到方程的左邊,常數(shù)項移到方程的右邊;

    (2)把二次項系數(shù)化為1;

    (3)方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方,使左邊配成一個完全平方式,右邊是常數(shù);

    (4)如果方程的右邊是一個非負(fù)數(shù),就用直接開平方法求出它的解;如果方程的右邊是一個負(fù)數(shù),那么這個方程無解.

    解:(1)∵x2-4x=396,

    ∴x2-4x+4=400,

    ∴(x-2)2=400,

    ∴x-2=±20,

    ∴x1=-18,x2=22;

    (2)把二次項系數(shù)化為1,得x2-x-1=0,

    移項,得x2-x=1,

    配方,得x2-即

    【點(diǎn)評】對比這兩個方程可以發(fā)現(xiàn),第一個方程用配方法方便些,第二個方程較繁瑣,對于具備形如完全平方式的雛形的方程用配方法比較方便.

    三、因式分解解哪類一元二次方程更便捷

    例3解方程:(1)(4x+2)2=x(2x+1);

    解:(1)∵(4x+2)2=x(2x+1),

    【點(diǎn)評】這兩個方程顯然用因式分解法比較簡便,為什么呢?因?yàn)檫@兩個方程有一個共同的特征,能通過移項將方程右邊化為0,而左邊可通過因式分解化成乘積的形式.常見的適合因式分解法的方程的基本形式有x2-a2=0、x2+ bx=0、x2-(a+b)x+ab=0.

    四、公式法是把“萬能鑰匙”,它對任何形式的一元二次方程都適用

    【點(diǎn)評】運(yùn)用公式法解一元二次方程的時候,只需找準(zhǔn)方程的a、b、c的值,即先把方程化為一般形式.公式法可以求任何形式的一元二次方程的解,不過由于公式法的運(yùn)算量較大,因此如果能使用其它方法,盡可能選用其它方法來解.但如果方程已經(jīng)化成一般形式,則選用公式法較為簡便.

    那么選擇合適的方法來解一元二次方程的考慮方式如何呢?

    (1)如果題目適合使用直接開平方法解方程,那就直接使用開平方法解方程;

    (2)能使用因式分解方法求解的一元二次方程,就不要使用公式法解決;

    (3)不易使用因式分解法解的方程,且方程中的系數(shù)絕對值較大時,考慮使用配方法解方程;

    (4)公式法是解決一元二次方程的通用方法,當(dāng)其它方法都不易解決時,考慮使用公式法解題.

    (作者單位:江蘇省南通市越江中學(xué))

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