楊建
從作業(yè)中的一個(gè)錯(cuò)誤談?wù)勁浞?/p>
楊建
在本文開頭,讓我們先來看看同學(xué)們作業(yè)中的一個(gè)錯(cuò)誤.
題目:設(shè)關(guān)于x的方程x2-2mx-2m-4=0.
證明:不論m為何值,這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
【學(xué)生解答】Δ=b2-4ac
=(-2m)2-4×(-2m-4)
=4m2+8m+16
=m2+2m+4
=(m+1)2+3>0.
∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
這位同學(xué)在解決這道題目的時(shí)候,混淆了解一元二次方程的配方和代數(shù)式的配方.方程的配方是將方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù),達(dá)到將二次項(xiàng)系數(shù)化為1的目的;而代數(shù)式的配方只能將二次項(xiàng)系數(shù)提取到括號外,不能輕易去掉,否則代數(shù)式的變形就不是恒等變形.
下面讓我們通過兩個(gè)例題來比較一下方程配方和代數(shù)式配方的區(qū)別.
例1解方程3x2-2x-6=0.
解:把二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得
兩邊開平方,得
例2求代數(shù)式3x2-2x-3的最小值.
解:把二次項(xiàng)系數(shù)化為1
原式=
∴代數(shù)式3x2-2x-3的最小值為
觀察上面兩個(gè)例子可以看出,方程配方和代數(shù)式配方有聯(lián)系也有區(qū)別,兩者配方的時(shí)候都是先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后補(bǔ)上常數(shù)項(xiàng),常數(shù)項(xiàng)都是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.
不同的是,方程將二次項(xiàng)系數(shù)化為1的方法是方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù),保證得到的方程與原來的方程是同解方程.而代數(shù)式將二次項(xiàng)系數(shù)化為1的方法是提取二次項(xiàng)系數(shù),保證代數(shù)式恒等變形.
配方法除了可以解方程,求代數(shù)式的最大(小)值,在解決其他一些代數(shù)問題方面也有一些應(yīng)用.請看下面幾個(gè)例題.
應(yīng)用1配方湊平方和為零的形式
【思路分析】x2-4x、y2+6y已具備完全平方的雛形,可將x2-4x、y2+6y通過配方法配成完全平方的形式,將已知條件的左邊化成三個(gè)非負(fù)數(shù)的和去解.
【方法點(diǎn)撥】一個(gè)方程出現(xiàn)多個(gè)未知數(shù),且方程中具備完全平方的雛形,這時(shí)可以考慮湊完全平方,將方程化成幾個(gè)非負(fù)數(shù)和為零的形式,從而將一個(gè)方程化成多個(gè)方程來解決.
應(yīng)用2利用配方法來分解因式
例4利用配方法分解因式.
(1)x2+8x+12;(2)x2+5x+6.
【思路分析】(1)x2+8x需要補(bǔ)充16可湊成完全平方式,原式可化為x2+8x+16-16+12,前兩項(xiàng)可表示為(x+4)2,后兩項(xiàng)可表示為22,然后運(yùn)用平方差公式;
(2)x2+5x需要補(bǔ)充可湊成完全平方式,原式可化為前兩項(xiàng)可表示為后兩項(xiàng)可表示為然后運(yùn)用平方差公式.
解:(1)原式=x2+8x+16-16+12
=(x+4)2-4
=(x+4+2)(x+4-2)
=(x+6)(x+2);
【方法點(diǎn)撥】運(yùn)用配方法分解因式,實(shí)際上就是將代數(shù)式中具備完全平方式雛形的部分配成完全平方,將代數(shù)式最終化為平方差的形式,應(yīng)用平方差公式分解因式.
應(yīng)用3應(yīng)用作差法比較大小的時(shí)候,利用配方來確定差是正數(shù)還是負(fù)數(shù)
例5小李家今天來了一位客人,小李問這位叔叔:“是你的年齡大,還是我爸爸的年齡大?”
這位叔叔說:“你爸爸的年齡是你的平方數(shù),我的年齡是你的6倍少10,你說誰的年齡大呢?”你能幫小李解答這個(gè)問題嗎?
【思路分析】若設(shè)小李的年齡為x歲,則小李的爸爸的年齡為x2歲,客人的年齡為(6x-10)歲,比較x2與6x-10的大小即可,可以利用求差法通過計(jì)算x2-(6x-10)比較.
解:若設(shè)小李的年齡為x歲,則小李的爸爸的年齡為x2歲,客人的年齡為(6x-10)歲.
x2-(6x-10)=x2-6x+10=x2-6x+32-32+10=(x-3)2+1.
∵(x-3)2≥0,∴(x-3)2+1>0.
∴x2>6x-10.
即小李的爸爸的年齡要比這位客人的年齡大.
【方法點(diǎn)撥】作差法是比較兩數(shù)(式)大小的常用方法,而湊完全平方是判定差是正數(shù)還是負(fù)數(shù)的常用方法.
配方法是數(shù)學(xué)里面一個(gè)非常重要的方法,運(yùn)用配方法解決問題的時(shí)候,一定要注意等式的配方和代數(shù)式的配方是不同的,不能像文中開頭那位同學(xué)一樣,混淆代數(shù)式配方和方程的配方,導(dǎo)致題目出錯(cuò).
(作者單位:江蘇省海安縣海陵中學(xué))