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    點(diǎn)擊一元二次方程問題中的等量關(guān)系

    2016-10-24 09:02:18吳琳
    初中生世界 2016年35期
    關(guān)鍵詞:等量票價(jià)降價(jià)

    吳琳

    點(diǎn)擊一元二次方程問題中的等量關(guān)系

    吳琳

    可列一元二次方程解決的問題有多種,不管哪類問題,要列出一元二次方程,其關(guān)鍵在于尋找問題中的等量關(guān)系.本文試通過下列幾個(gè)問題,和同學(xué)們一起來探討列一元二次方程的幾種常見等量關(guān)系.

    一、增長(zhǎng)率問題

    例1(2016·湖南永州)某種商品的標(biāo)價(jià)為400元/件,經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為324元/件,并且兩次降價(jià)的百分率相同.

    (1)求該種商品每次降價(jià)的百分率;

    (2)若該種商品進(jìn)價(jià)為300元/件,兩次降價(jià)共售出此種商品100件,為使兩次降價(jià)銷售的總利潤(rùn)不少于3120元,問第一次降價(jià)后至少要售出該種商品多少件?

    【思路分析】(1)本題隱含的等量關(guān)系是“標(biāo)價(jià)×(1-降價(jià)百分率)2=售價(jià)”,將售價(jià)、標(biāo)價(jià)和降價(jià)百分率代入等量關(guān)系,即可得到解決問題所需的一元二次方程;(2)本題包含一個(gè)不等關(guān)系“第一次降價(jià)時(shí)銷售總利潤(rùn)+第二次降價(jià)時(shí)銷售總利潤(rùn)≥3120”,而銷售利潤(rùn)=銷售件數(shù)×每件利潤(rùn).將銷售件數(shù)和每件的利潤(rùn)分別代入不等關(guān)系,即可得到一個(gè)不等式.

    解:(1)設(shè)該種商品每次降價(jià)的百分率為x,根據(jù)題意得:

    400(1-x)2=324.

    解得x=0.1=10%或x=1.9(不合題意,舍去).

    答:該種商品每次降價(jià)的百分率為10%.

    (2)設(shè)第一次降價(jià)后至少要售出該種商品m件,根據(jù)題意得:

    [400(1-10%)-300]m+(324-300)(100-m)≥3120.

    解得m≥20.

    答:第一次降價(jià)后至少要售出該種商品20件.

    【方法點(diǎn)撥】增長(zhǎng)率問題中,若增長(zhǎng)的基數(shù)為a,每次增長(zhǎng)的平均增長(zhǎng)率為x,則第一次增長(zhǎng)后的數(shù)量為a(1+x),第二次增長(zhǎng)是以a(1+x)為基數(shù)的,兩次增長(zhǎng)后的數(shù)量為a(1+x)2;基數(shù)是a,兩次平均降低率為x,則第一次降低的數(shù)量為a(1-x),第二次降低后的數(shù)量為a(1-x)2.

    常用的等量關(guān)系為a(1±x)2=b.

    二、病毒傳播問題

    例2某種電腦病毒傳播速度非常快,如果一臺(tái)電腦被感染,經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染.請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)分析,每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦?若病毒得不到有效控制,3輪感染后,被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過700臺(tái)?

    【思路分析】設(shè)平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦,經(jīng)過第一輪感染后,中毒電腦臺(tái)數(shù)為(1+x)臺(tái),在第二輪傳播中,每臺(tái)電腦傳染給x臺(tái),又有x(1+x)臺(tái)電腦中毒,兩輪傳播后,一共有1+ x+x(1+x)臺(tái)電腦中毒.

    解:設(shè)每輪感染中平均每一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦,依題意得:

    1+x+(1+x)x=81,

    (1+x)2=81,

    x+1=9或x+1=-9,

    解得x1=8或x2=-10(舍去),

    則(1+x)3=(1+8)3=729>700.

    答:每輪感染中平均每一臺(tái)電腦會(huì)感染8臺(tái)電腦,3輪感染后,被感染的電腦會(huì)超過700臺(tái).

    【方法點(diǎn)撥】在計(jì)算電腦傳播臺(tái)數(shù)的時(shí)候,不能忘記統(tǒng)計(jì)最初的一臺(tái)電腦以及一輪傳播過程中被感染的電腦,病毒傳播問題常用的相等關(guān)系是“最初的傳染源+每輪被感染數(shù)目之和=被感染總數(shù)”.

    三、聚會(huì)握手問題

    例3在某次同學(xué)聚會(huì)上,每?jī)扇硕嘉樟艘淮问郑腥斯参帐?5次,有多少人參加這次聚會(huì)?

    【思路分析】設(shè)x人參加聚會(huì),用含x的代數(shù)式表示握手的次數(shù),即可得到一個(gè)一元二次方程.

    解:設(shè)有x人參加這次聚會(huì),

    根據(jù)題意可得:x(x-1)÷2=45,

    x2-x-90=0,

    (x-10)(x+9)=0,

    x-10=0或x+9=0,

    x=10或x=-9(舍去).

    答:共有10名學(xué)生參加聚會(huì).

    【方法點(diǎn)撥】x個(gè)同學(xué)握手,每個(gè)同學(xué)都和其他(x-1)個(gè)同學(xué)握手一次,因此x人共握手x(x-1)次,由于甲與乙握手后,乙不需要再和甲握手,因此總握手次數(shù)為

    四、票價(jià)問題

    例4某旅游景點(diǎn)為了吸引游客,推出的團(tuán)體票收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:如果團(tuán)體人數(shù)不超過25人,每張票價(jià)150元,如果超過25人,每增加1人,每張票價(jià)降低2元,但每張票價(jià)不得低于100元,陽(yáng)光旅行社共支付團(tuán)體票價(jià)4800元,則陽(yáng)光旅行社共購(gòu)買多少?gòu)垐F(tuán)體票?

    【思路分析】由于票價(jià)與人數(shù)多少有關(guān),所以需先判斷團(tuán)體人數(shù)是不是超過25人,由150× 25=3750<4800,所以團(tuán)體人數(shù)超過25人.設(shè)共購(gòu)買了x張團(tuán)體票,則每張票的價(jià)格為150-2(x-25)元,根據(jù)總票價(jià)為4800,可得方程x×[150-2(x-25)]=4800.

    解:∵150×25=3750<4800,∴購(gòu)買的團(tuán)體票超過25張.

    設(shè)共購(gòu)買了x張團(tuán)體票.

    由題意列方程得x×[150-2(x-25)]=4800,

    x2-100x+2400=0,

    解得x1=60,x2=40,

    當(dāng)x1=60時(shí),不符題意,舍去,

    x2=40符合題意,∴x=40.

    答:共購(gòu)買了40張團(tuán)體票.

    【方法點(diǎn)撥】本題的等量關(guān)系實(shí)際上就是表示出總票價(jià)4800,而“總票價(jià)=每張票價(jià)×門票總數(shù)”,所以這類問題只需按照游客人數(shù),確定出門票的單價(jià)和購(gòu)買門票總數(shù),即可列出一元二次方程.

    五、不規(guī)則圖形面積問題

    例5(2016·江蘇徐州)下圖是由三個(gè)邊長(zhǎng)分別為6、9和x的正方形所組成的圖形,若直線AB將它分成面積相等的兩部分,則x的值是().

    A.1或9B.3或5C.4或6D.3或6

    【思路分析】解決本題的關(guān)鍵是如何將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形.AB將這個(gè)圖形分成面積相等的兩部分,但這兩部分是不規(guī)則的圖形,面積不容易表示,我們可以考慮將其補(bǔ)全為一個(gè)矩形,那么AB將矩形分成面積相等的兩個(gè)直角三角形,再根據(jù)題意可知,AB兩旁補(bǔ)上的矩形面積也相等.據(jù)此列出方程,進(jìn)而求出x的值.

    解:將此圖形按如圖方式補(bǔ)全為矩形,根據(jù)題意得:x(9-x)=6×3,

    x2-9x+18=0,

    解得:x1=3,x2=6,故選擇D.

    【方法點(diǎn)撥】在解決不規(guī)則圖形的面積計(jì)算時(shí),通常是通過分割或補(bǔ)全的方法,轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形,再使用規(guī)則圖形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.等量關(guān)系常與圖形之間的面積關(guān)系有關(guān).

    六、鐵絲圍矩形問題

    例6(2015·四川廣元)李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn):把一根長(zhǎng)40cm的鐵絲剪成兩段,并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形.

    (1)要使這兩個(gè)正方形的面積和等于58cm2,李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲?

    (2)李明認(rèn)為這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48cm2.你認(rèn)為他的說法正確嗎?請(qǐng)說明理由.

    【思路分析】(1)設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm,則另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為(10-x)cm,就可以表示出這兩個(gè)正方形的面積,根據(jù)“兩個(gè)正方形的面積之和等于58cm2”建立方程求出其解即可;

    (2)設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為ycm,則另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為(10-y)cm,就可以表示出這兩個(gè)正方形的面積,根據(jù)“兩個(gè)正方形的面積之和等于48cm2”建立方程,如果方程有解就說明李明的說法錯(cuò)誤,否則正確.

    解:(1)設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm,則另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為(10-x)cm,

    由題意得x2+(10-x)2=58.

    解得x1=3,x2=7,

    ∴這兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)分別為4×3=12(cm),4×7=28(cm),

    ∴李明應(yīng)該把鐵絲剪成12cm和28cm的兩段.

    (2)李明的說法正確.

    設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為ycm,則另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為(10-y)cm,

    由題意得y2+(10-y)2=48,整理得y2-10y+ 26=0,

    ∵Δ=(-10)2-4×1×26=-4<0,

    ∴此方程無實(shí)數(shù)根,即這兩個(gè)正方形的面積之和不能等于48cm2.

    ∴李明的說法是正確的.

    【方法點(diǎn)撥】本題中的等量關(guān)系很明確,“兩個(gè)正方形的面積和等于58cm2”.

    (作者單位:江蘇省南通市新橋中學(xué))

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