五邊形鏈的Merrifield-Simmons指標

劉睿琳，田雙亮，田文文

(西北民族大學 數(shù)學與計算機科學學院，甘肅 蘭州 730030)

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五邊形鏈的Merrifield-Simmons指標

劉睿琳，田雙亮*，田文文

(西北民族大學 數(shù)學與計算機科學學院，甘肅 蘭州 730030)

五邊形鏈；Merrifield-Simmons指標；遞推公式

0　引言

Merrifield-Simmons指標是在1989年由美國化學家Merrifield和Simmons在文獻[1]中引入的化學拓撲指標，它表示圖G中所有獨立集的數(shù)目，記為σ(G).該指標與物質(zhì)的沸點有著密切的聯(lián)系，且有著較為廣泛的應用，相關的應用參見文獻[2,3]．文獻[4]中研究了五角鏈關于獨立集數(shù)的極端情形，并得出了相應的極圖.文獻[5,6]中研究了四角鏈及五邊形鏈的Hosoya指標.文獻[7]關于最大和最小的Merrifield-Simmons指標給出了一個很好的綜述．文中Fn表示第n個Fibonacci數(shù)，即滿足Fn=Fn-1+Fn-2,n≥2，且F0=0,F1=1．本文通過n個五邊形序列在不同構聯(lián)接位下構造了兩類特殊的五邊形鏈，并且研究了這兩類五邊形鏈的Merrifield-Simmons指標，給出了具體的表達式．文中未加說明的符號及術語參見文獻[8]．

設Q1,Q2，…，Qn為n個五邊形構成的五邊形序列．記Wn為五邊形鏈，如果滿足：

1)對任意的1≤s

2)每個正方形與割邊的頂點都為3度頂點．

用Φn表示含有n個五邊形構成的五邊形鏈的全體．設Wn∈Φn，則五邊形鏈Wn(n≥2),可由Wn-1再聯(lián)接一個五邊形得到，而每條鏈中的五邊形都有四個可聯(lián)接位，其中與接點距離相等的兩個可聯(lián)接位是同構的，所以只有兩種非同構的聯(lián)接方式：Wn-1→[Wn-1]k=Wn，其中k=1、2，分別稱為1-位聯(lián)接和2-位聯(lián)接,如圖1所示.

圖1　兩種聯(lián)接方式

圖2　五邊形鏈和

在證明主要結論之前，先給出幾個相關引理如下．

引理1[2]設G是一個簡單圖，對任意的υ∈V(G)，有σ(G)=σ(G-υ)+σ(G-NG[υ])．

引理3[2]對于n階的路Pn，有σ(Pn)=Fn+2．

引理4[2]對于n階的圈Cn，有σ(Cn)=Fn+1+Fn-1．

1　主要結論及其證明

定理1對任意的正整數(shù)n≥2，有

證明1) 如圖2所示，根據(jù)引理1、引理2和引理3可得

2)如圖2所示，根據(jù)引理1、引理2和引理3可得

2　進一步的結果

定理2對任意的正整數(shù)n≥2,有

[1] Merrifield R E，Simmons H E．Topological Methods in Chemistry[M]．New York：Wiley，1989．

[2] Gutman I，Polansky O E．Mathematical Concepts in Organic Chemistry[M]．Berlin：Sprin-ger，1986．

[3] Gutman I，Cyvin S J．Introduction to the Theory of Benzenoid Hydrocarbons[M]．Berlin：Springer，1989．

[4] 曹月芬．五角鏈關于獨立集數(shù)的極端情形[J]．集美大學學報，2010，15(4)：304-307．

[5] 田文文，田雙亮．四角鏈的Hosoya指標[J]．蘇州科技學院學報(自然科學版),2014，31(1)：34-38．

[6] 田文文，楊斐，田雙亮．五邊形鏈的Hosoya指標[J]．重慶工商大學學報(自然科學版),2013，30(9)：29-33．

[7] Wagner S，Gutman I．Maxima and minima of the Hosoya Index and the Merrifield-Simmons index[J]．Acta Appl Math,2010，112：323-346．

[8] Bondy J A，Murty U S R．Graph theory with applications[M]．New York：The Macmillan Press，1976．

The Merrifield-SimmonsIndex of Pentagonal Chains

LIU Rui-lin1，TIAN Shuang-liang，TIAN Wen-wen

(Mathematics and Computer Science College，Northwest University for Nationalities，Lanzhou 730030, China)

Pentagonal chains；Merrifield-Simmons index；Recurrence formula

2016-04-02

國家民委科研項目(14XBZ018)；甘肅省自然科學基金(145RJZA158)；西北民族大學中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助研究生項目(Yxm2015182)．

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劉睿琳(1993— )，女，甘肅永靖人，碩士研究生，主要從事組合數(shù)學與圖論方面的研究.

O157.5

A

1009-2102(2016)02-0001-05