分析數(shù)量關(guān)系 感悟抽象思想

盧映芬

【摘要】 數(shù)學(xué)抽象是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界具有數(shù)量關(guān)系和空間形式的真實(shí)材料進(jìn)行加工，提煉出共同的本質(zhì)屬性，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)進(jìn)而形成數(shù)學(xué)理論的過(guò)程. 用任何數(shù)學(xué)知識(shí)解決純數(shù)學(xué)問(wèn)題或聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題都需要計(jì)算、推理、構(gòu)建模型，都離不開抽象.

本文結(jié)合史寧中教授提出的抽象深度三層次之說(shuō)，充分挖掘教材編寫意圖，結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)人教版第一學(xué)段的教學(xué)實(shí)踐具體闡述了抽象思想從初感悟到再感悟到最后領(lǐng)悟的全過(guò)程.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)量關(guān)系；抽象思想；滲透；分析

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等. ”其中最基本的數(shù)學(xué)思想是抽象、推理、模型. 在義務(wù)教育階段應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容逐步滲透數(shù)學(xué)的基本思想.

數(shù)學(xué)抽象是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界具有數(shù)量關(guān)系和空間形式的真實(shí)材料進(jìn)行加工，提煉出共同的本質(zhì)屬性，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)進(jìn)而形成數(shù)學(xué)理論的過(guò)程. 用任何數(shù)學(xué)知識(shí)解決純數(shù)學(xué)問(wèn)題或聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題都需要計(jì)算、推理、構(gòu)建模型，都離不開抽象. 關(guān)于抽象思想，史寧中教授認(rèn)為就抽象的深度而言，大體可以分為三個(gè)層次：一是把握事物的本質(zhì)，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、條理化，能夠清晰地表達(dá)，稱為簡(jiǎn)約階段；二是去掉具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號(hào)、關(guān)系表述包括已經(jīng)簡(jiǎn)約化了的事物在內(nèi)的一類事物，稱為符號(hào)階段；三是通過(guò)假設(shè)和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物，稱為普適階段. 在提倡情境教學(xué)的數(shù)學(xué)課堂上，創(chuàng)設(shè)情境，而后抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用恰恰符合史教授所提的抽象的第二和第三層次，那抽象的第一層次——簡(jiǎn)約階段在哪里體現(xiàn)呢？本人結(jié)合“單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)”這一數(shù)量關(guān)系的形成過(guò)程談?wù)勎业目捶?

一、滲透數(shù)量關(guān)系，抽象思想初感悟

一個(gè)數(shù)學(xué)思想的形成需要經(jīng)歷一個(gè)從模糊到清晰，從理解到應(yīng)用的長(zhǎng)期發(fā)展過(guò)程，需要在不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)中通過(guò)提煉、總結(jié)、理解、應(yīng)用等循環(huán)往復(fù)的過(guò)程逐步形成，學(xué)生只有經(jīng)歷這樣的過(guò)程，才能逐步“悟”出數(shù)學(xué)知識(shí)、技能中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

如：在教學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第78頁(yè)例3用乘法解決問(wèn)題時(shí)，在“怎樣解答”環(huán)節(jié)讓學(xué)生用畫圖表征“幾個(gè)幾”，強(qiáng)調(diào)用乘法的意義選擇乘法運(yùn)算解決問(wèn)題后， “解答正確嗎？”這個(gè)環(huán)節(jié)借用小精靈的話對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行總結(jié)和概括“求3個(gè)文具盒的總錢數(shù)，可以用1個(gè)文具盒的價(jià)錢乘買的個(gè)數(shù)”，讓學(xué)生初步感悟“單價(jià) × 數(shù)量 = 總價(jià)”這一數(shù)量關(guān)系. 接著在解決“想一想：買7塊橡皮，一共多少錢？”這個(gè)問(wèn)題時(shí)，同樣是“解答正確嗎？”這個(gè)環(huán)節(jié)讓學(xué)生嘗試說(shuō)說(shuō)“求7塊橡皮的總錢數(shù)，可以用1塊橡皮的價(jià)錢乘買的塊數(shù)”進(jìn)行鞏固. 然后，在“你還能提出其他用乘法解決的問(wèn)題并解答嗎？”這個(gè)環(huán)節(jié)中鼓勵(lì)學(xué)生仿照例題說(shuō)想法. 最后課堂小結(jié)時(shí)老師根據(jù)一系列的購(gòu)物活動(dòng)讓學(xué)生明確：求物品的總錢數(shù)，可以用1個(gè)物品的價(jià)錢乘買的個(gè)數(shù). 通過(guò)以上三個(gè)層次的教學(xué)，在學(xué)生深化理解乘法意義的同時(shí)，把一系列看似復(fù)雜的購(gòu)物活動(dòng)簡(jiǎn)單化、條理化，并教會(huì)學(xué)生用一句話清晰表達(dá)解題方法，初步感悟抽象思想.

又如教學(xué)二年級(jí)下冊(cè)第42頁(yè)例3用除法解決問(wèn)題，在“解答正確嗎？”環(huán)節(jié)讓學(xué)生說(shuō)出檢驗(yàn)的方法時(shí)，根據(jù)以往積累的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很自然就說(shuō)出“用56元除以一個(gè)地球儀8元，算出買了7個(gè)地球儀”這句話，滲透 “總價(jià) ÷ 單價(jià) = 數(shù)量”這一數(shù)量關(guān)系. 在“想一想”環(huán)節(jié)，解決“24元買了6輛汽車，一輛汽車多少錢？”在“解答正確嗎”這個(gè)環(huán)節(jié)用同樣用一句話說(shuō)出解題的方法，滲透“總價(jià) ÷ 數(shù)量 = 單價(jià)”這一數(shù)量關(guān)系. 當(dāng)然，在滲透數(shù)量關(guān)系時(shí)切記要把握好“度”，二年級(jí)的教學(xué)只要求學(xué)生能結(jié)合具體情境多次體驗(yàn)、感悟、積累“乘法模型”和“除法模型”的典型實(shí)例，初步感悟抽象思想，并不需要進(jìn)行高度的抽象概括，所以數(shù)量、單價(jià)和總價(jià)這些名詞不宜在這里出現(xiàn).

二、分析數(shù)量關(guān)系，抽象思想再感悟

數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想是緊密聯(lián)系的，數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，也是數(shù)學(xué)思想發(fā)生和凸顯的過(guò)程，抽象思想也不例外. 例如：教學(xué)三年級(jí)上冊(cè)第71例8用乘除兩步計(jì)算解決含有“歸一”數(shù)量關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題，在“分析與解答”環(huán)節(jié)，通過(guò)小精靈和學(xué)生的對(duì)話提示思考的步驟，分析數(shù)量關(guān)系，用一句話“3個(gè)碗18元，用除法能求出1個(gè)碗的價(jià)錢”清晰表達(dá)了解題方法，滲透“總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)”；接著同樣用一句話“要買8個(gè)這樣的碗需要多少錢，就是求是8個(gè)這樣的價(jià)錢相加的和，用乘法計(jì)算”歸納解決方法，滲透“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”. 同冊(cè)教材第72頁(yè)例9用乘除兩步計(jì)算解決含有“歸總”數(shù)量關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題時(shí)以同樣的方法引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題.

例8和例9的教學(xué)是在學(xué)生掌握了“乘法模型”和“除法模型”，對(duì)“單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)”這一數(shù)量關(guān)系有了一定的認(rèn)識(shí)和感悟的基礎(chǔ)上進(jìn)行的教學(xué)，所以在學(xué)生學(xué)習(xí)用“乘除兩步解決問(wèn)題”這個(gè)知識(shí)，分析“歸一”“歸總”題型的數(shù)量關(guān)系的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了抽象思想的再感悟. 教材除了用例題以“問(wèn)題解決”形式讓學(xué)生在鞏固乘除法意義的學(xué)習(xí)中逐步感悟“單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)”這一數(shù)量關(guān)系外，還在三年級(jí)上下冊(cè)的一些練習(xí)中不斷出現(xiàn)這一數(shù)量關(guān)系的習(xí)題，讓學(xué)生積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，為數(shù)量關(guān)系的提煉打下基礎(chǔ).

三、提煉數(shù)量關(guān)系，領(lǐng)悟抽象思想

抽象思想需要學(xué)生通過(guò)不斷重復(fù)、不斷深入思考，才能逐步“領(lǐng)悟”. 四年級(jí)上冊(cè)第52頁(yè)例4，“單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)”的數(shù)量關(guān)系正式出現(xiàn)，宣告了史寧中教授指出的抽象思想三個(gè)層次中的第一階段——簡(jiǎn)約階段結(jié)束，正式進(jìn)入第二層次——符號(hào)階段.

教材以下面一組題目呈現(xiàn)：

（1）籃球每個(gè)80元，買了3個(gè)要多少錢？

（2）魚每千克10元，買4千克要多少錢？

由于學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中已經(jīng)積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，所以很容易就能解決問(wèn)題，接著通過(guò)學(xué)生的對(duì)話提出“這兩個(gè)問(wèn)題有什么共同點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)問(wèn)題的相關(guān)性入手，歸納出兩個(gè)問(wèn)題的共同點(diǎn)，進(jìn)而提煉出“單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)”三個(gè)概念，最后以小精靈的問(wèn)題“你知道單價(jià)、數(shù)量與總價(jià)之間的關(guān)系嗎？”放手讓學(xué)生用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言歸納數(shù)量關(guān)系：?jiǎn)蝺r(jià) × 數(shù)量 = 總價(jià). 這之后的一系列的學(xué)習(xí)活動(dòng)無(wú)非就是讓學(xué)生充分鞏固這一數(shù)量關(guān)系，并通過(guò)各種練習(xí)提煉出另外的兩個(gè)數(shù)量關(guān)系式“總價(jià) ÷ 數(shù)量 = 單價(jià)”和“總價(jià) ÷ 單價(jià) = 數(shù)量”.

教材對(duì)于“單價(jià) × 數(shù)量 = 總價(jià)”這個(gè)數(shù)量關(guān)系的教學(xué)經(jīng)歷了二年級(jí)在檢驗(yàn)環(huán)節(jié)的初步感悟，到三年級(jí)在“分析與解答”環(huán)節(jié)的再次感悟，最后到四年級(jí)以例題形式正式提煉，可謂用心良苦. 這樣的安排無(wú)疑是符合7-9歲的孩子正處于具體思維向形象思維過(guò)渡這個(gè)年齡和認(rèn)知特點(diǎn)的.

綜上所述，數(shù)學(xué)思想方法貫穿于數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，作為最基本的三大數(shù)學(xué)思想之一的抽象思想也不例外，它需要教師們充分挖掘教材的編寫意圖，根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知特點(diǎn)，根據(jù)教材不同程度的要求在教學(xué)中不斷引導(dǎo)，逐步滲透.

備注：本文是廣州市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃名師專項(xiàng)課題“小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力培養(yǎng)實(shí)踐研究”的研究成果（課題編號(hào)：1201440720）.

【參考文獻(xiàn)】

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[3]王永春著.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2014.7：13-16.