有趣的海盜博弈難題

王天琦

【摘要】在學(xué)習(xí)博弈論的過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)與其他經(jīng)濟(jì)學(xué)理論一樣，博弈論也越來(lái)越依賴于數(shù)學(xué)模型，但對(duì)高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用又不夠嚴(yán)謹(jǐn)。本文將通過(guò)探討一個(gè)有趣的博弈模型：海盜博弈，向大家展示一個(gè)小參數(shù)的變動(dòng)，也可能使模型結(jié)果產(chǎn)生顛覆性的改變。盲目的應(yīng)用數(shù)學(xué)，即使大師的結(jié)論也不一定準(zhǔn)確。模型的變動(dòng)集中在投票比例的優(yōu)化上，我們僅將海盜博弈模型的投票比例調(diào)整為“三分之二多數(shù)”，得出的結(jié)果就與權(quán)威結(jié)論相反了。本文希望借此提醒讀者：面對(duì)以往的結(jié)論不要盲目輕信，對(duì)待自己即將提出的理論也要深思熟慮在發(fā)表出來(lái)。開闊思路，不斷創(chuàng)新才是社會(huì)發(fā)展的動(dòng)力源泉。

【關(guān)鍵詞】博弈論 海盜博弈 數(shù)學(xué)模型 投票模型

在博弈論和數(shù)學(xué)領(lǐng)域，一直流傳著一個(gè)經(jīng)典的海盜博弈難題：5名海盜找到了100塊金子，需要分配。這些理性的海盜按下面的方式分配：最強(qiáng)的海盜提出分配方案，所有的海盜投票決定是否接受（包括提出方案者本人）。如果50%以上的海盜贊同此方案，那么提議通過(guò)。在只有一半人同意的情況下，提議者擁有決定權(quán)。如果沒有通過(guò)，那么提議人將被扔出船外，然后下一名最強(qiáng)的海盜提出新方案。海盜們基于三個(gè)因素來(lái)做決定：第一，自己活下來(lái)。第二，得到的金子最多。第三，在其他條件相同的情況下，優(yōu)先把別人扔出船外。那么最強(qiáng)的海盜最多能得到多少金塊？

研究這個(gè)模型的人很多，題本身也有不少版本，最重要的是華威大學(xué)的史都華教授。他將海盜博弈模型推廣至無(wú)窮，發(fā)表在《科學(xué)美國(guó)人》上，并得出了有趣的結(jié)論：“由于這些海盜所實(shí)行的那種民主制度，他們的事情就成了最強(qiáng)的一批海盜多半都是下海喂魚……只有最弱的200名海盜有可能分得一份臟物，而他們之中又只有一半的人能真正得到一塊金子，的確是若者繼承財(cái)富。”我們簡(jiǎn)單介紹一下他的思路：

首先我們把海盜按照實(shí)力逆序編號(hào)（1號(hào)最弱），然后從只有兩名海盜的情況逆推（這是解題關(guān)鍵）。只有兩個(gè)人時(shí)，2號(hào)的任何提議自己都會(huì)同意，這時(shí)他就有了一半的票數(shù)，而且又有決定權(quán)（即使按照實(shí)力來(lái)講，他也足以仗勢(shì)欺人），所以任何議案都會(huì)通過(guò)。他的選擇顯然是獨(dú)得黃金。

三個(gè)參與人時(shí)，兩人時(shí)的結(jié)論變成了已知條件。 3號(hào)需要一票就能超過(guò)半數(shù)，他知道無(wú)論如何，2號(hào)都會(huì)為了獨(dú)得100塊金子而反對(duì)，討好2號(hào)沒有意義。但1號(hào)只要得到微弱的好處就會(huì)支持3號(hào)。所以分配方案是99：0：1。

依此類推，4號(hào)的方案是：99：0：1：0。5號(hào)的是：98：0：1：0：1。而這之后發(fā)展到無(wú)窮參與人的結(jié)論都是在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)的。

其他對(duì)海盜博弈的引用或研究則常見于趣味數(shù)學(xué)題中。[3]篇幅所限，我們不多做論述。 然而，筆者見到這個(gè)博弈問(wèn)題后，感覺原始投票比例的設(shè)定不符合現(xiàn)實(shí)社會(huì)規(guī)則，并嘗試改進(jìn)（事實(shí)證明，投票比例變動(dòng)與結(jié)果息息相關(guān)）。我們現(xiàn)在看一種經(jīng)典的投票比例：三分之二多數(shù)。

現(xiàn)在題目變成了“只有達(dá)到三分之二多數(shù)的海盜支持的方案才能通過(guò)，并且在同等效力的方案中，提議者會(huì)優(yōu)先討好實(shí)力強(qiáng)的海盜（這樣會(huì)簡(jiǎn)化計(jì)算）。”同時(shí)需要改變的另一題設(shè)是：“海盜們將按實(shí)力順序排序，由最弱的海盜先提出分配方案，并依此類推。”因?yàn)橹皇擅１I時(shí)，2號(hào)提出任何方案時(shí)，1號(hào)都不會(huì)同意，這樣1號(hào)可以把2號(hào)扔出船外，自己獨(dú)得100塊金子。我們只有讓方案的順序發(fā)生變化來(lái)實(shí)現(xiàn)弱肉強(qiáng)食的自然法則！

接下來(lái)3號(hào)依然會(huì)獨(dú)吞黃金。具備基本的分析思路以后，類推時(shí)我們采用表格法：

推導(dǎo)進(jìn)行到12號(hào)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：從6號(hào)的方案開始，實(shí)力位居前四的海盜們將穩(wěn)得6塊金子。其中編號(hào)能被4整除的方案，按順序表示為：1：2：0：3。編號(hào)被4除余1的方案，按順序表示為：2：3：1：0。編號(hào)被4除余2的方案，按順序表示為：3：0：2：1。編號(hào)被4除余3的方案，按順序表示為：0：1：3：2。編號(hào)大于6的方案從5號(hào)之后則進(jìn)入另一規(guī)律，制定方案的海盜會(huì)按0：1：2的順序，循環(huán)往復(fù)的給比自己編號(hào)靠前的海盜逆序分配金子，直至分配到5號(hào)。剩余的金塊則留給自己。

99號(hào)是最后一個(gè)能自己留下一塊金子的海盜。他總共得到66票支持，剛好達(dá)到三分之二。100號(hào)雖然一無(wú)所有，但他買通了66名海盜，加自己共67票剛好保住一命。101號(hào)就沒那么好的運(yùn)氣了，但他用實(shí)際行動(dòng)挽救了102號(hào)。

由于題設(shè)原因，不能被3整除的解遠(yuǎn)比能被3整除的解苛刻，得出的能被3整除的解要比不能被3整除的解小，考慮到實(shí)際意義，我們將舍掉所有不能被3整除的解。整理一下得到結(jié)論，99號(hào)之后的幸存者編號(hào)為N=99+3n（n=0，1，2，…）

現(xiàn)在我們看到，只要將投票比例稍作改變，我們結(jié)果與史都華教授的結(jié)論就剛好相反了：是強(qiáng)者獲得了財(cái)富而不是弱者。在學(xué)習(xí)和工作中，我們總能看到前人總結(jié)的很多“真理”。但真理與謬誤之間往往只差了一點(diǎn)，只要開闊思路，不斷創(chuàng)新，我們就可能顛覆權(quán)威。這同時(shí)也提醒我們，自己在得出結(jié)論時(shí)，也應(yīng)反復(fù)論證模型的合理性，盡量多角度的考慮問(wèn)題。