例析運(yùn)用洛必達(dá)法則求解二道導(dǎo)數(shù)壓軸題

南昌大學(xué)附屬中學(xué) (330047)

周開財(cái)

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例析運(yùn)用洛必達(dá)法則求解二道導(dǎo)數(shù)壓軸題

南昌大學(xué)附屬中學(xué) (330047)

周開財(cái)

(1)證明：當(dāng)λ=0時(shí)，f(x)≥0；

(2)若當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

解法一：(1)當(dāng)λ=0時(shí)，f(x)=x+e-x-1，則f′(x)=1-e-x.令f′(x)=0,解得x=0.當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù)；當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

故f(x)在x=0處取得最小值f(0)=0，即f(x)≥0.

(2)由已知x≥0，∴e-x-1≤0.

以上在處理第(2)問時(shí)對(duì)參數(shù)λ的范圍分類討論較難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下：

解法二：(2)由已知x≥0.

②當(dāng)λ=0時(shí)，f(x)=x+e-x-1，由(1)知f(x)≥0，符合題意.

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R.

(1)討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；

(2)若?x>0,f(x)≥0成立，求a的取值范圍.

③當(dāng)a<0時(shí)，Δ>0.由g(-1)=1>0可得x1<-1，當(dāng)x∈(-1,x2)時(shí)，g(x)>0，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí)，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.故函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn).

綜上所述，a的取值范圍是0≤a≤1.

以上在處理第(2)問時(shí)較難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下：

解法二：(2)由題意?x>0,f(x)≥0成立，即a(x-x2)≤ln(x+1)恒成立.

①當(dāng)x=1時(shí)，x-x2=0，原不等式為0≤ln2恒成立；

綜上所述，a的取值范圍是0≤a≤1.

一般地，此類含參的函數(shù)綜合問題往往從三個(gè)角度求解：一是直接求解，通過對(duì)參數(shù)的討論來研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步確定參數(shù)的取值范圍；二是憑借函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍，然后對(duì)參數(shù)取值范圍以外的部分進(jìn)行分析驗(yàn)證其不符合題意，即可確定所求；三是分離參數(shù)，求相應(yīng)函數(shù)的最值或取值范圍，當(dāng)函數(shù)的最值不好求解時(shí)，用洛必達(dá)法則往往能化難為易，使問題得到解決.