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      幾道2016年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克試題求解之深度思考

      2016-11-25 06:12:58江西省上饒市鄱陽中學(xué)333100
      關(guān)鍵詞:鄱陽根號(hào)土庫曼斯坦

      江西省上饒市鄱陽中學(xué) (333100)

      王運(yùn)良

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      幾道2016年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克試題求解之深度思考

      江西省上饒市鄱陽中學(xué) (333100)

      王運(yùn)良

      解題不是一蹴而就的事.要善于學(xué)習(xí),勤于總結(jié).從本文所選例題的證明來看似乎簡(jiǎn)單容易,其實(shí)不然,每道題的求解都是經(jīng)過精心思考、細(xì)致打磨出來的,都飽含著解題者的辛苦和汗水.“汗滴禾下土”,題題皆辛苦.

      例1 (2016年土庫曼斯坦數(shù)學(xué)奧林匹克)

      注1:換元的目的之一是去根號(hào).本題中,巧妙使用特定的三角換元一舉消除兩個(gè)根號(hào).

      例2 (2016年土庫曼斯坦數(shù)學(xué)奧林匹克)

      2016年土庫曼斯坦數(shù)學(xué)奧林匹克中還有以下不等式題(留給讀者練習(xí)):

      例3 (2016年絲綢之路國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽)

      已知a,b,c是滿足|(a-b)(b-c)(c-a)|=1的實(shí)數(shù),求|a|+|b|+|c|的最小值.

      解:不妨設(shè)a≥b≥c,則由均值不等式可得

      注3:增設(shè)條件(排序)的目的為的是去絕對(duì)值符號(hào).

      但不如前面的方法自然貼切,就如同下面的改編題遠(yuǎn)不如原題精彩一樣:

      例4 (2016年澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克)

      例5 (2016年阿塞拜疆?dāng)?shù)學(xué)奧林匹克)

      注5:均值不等式的特征之一是:“和”不小于“積”.剩下考慮的當(dāng)然就是讓字母“火并”.

      =(n-1)n,因此,原不等式成立.

      注6:n=3時(shí),本題即為2002年拉脫維亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題.

      將本題推廣,宋慶老師獲得并證明了下述結(jié)果:

      例7 (2016年日本數(shù)學(xué)奧林匹克)已知a,b,c,d是滿足ab+bc+cd=1的實(shí)數(shù),求(a2+ac+c2)(b2+bd+d2)的最小值.

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