平面折展機構(gòu)平面彈簧的設(shè)計與分析

劉　凱　曹　毅,2　丁　銳

1.江南大學，無錫，2141222.上海交通大學機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海，200240

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平面折展機構(gòu)平面彈簧的設(shè)計與分析

劉凱1曹毅1,2丁銳1

1.江南大學，無錫，2141222.上海交通大學機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海，200240

針對常規(guī)平面彈簧變形過程中運動端容易產(chǎn)生周向旋轉(zhuǎn)從而造成振動和磨損的問題，設(shè)計了一種基于LEMs的平面彈簧，該彈簧由平面薄板加工成形且能實現(xiàn)平面外運動，具有體積小、易加工，結(jié)構(gòu)簡單及變形過程中運動端不發(fā)生周向旋轉(zhuǎn)等優(yōu)點。首先，基于懸臂梁模型和偽剛體模型分別推導了LEMs平面彈簧的剛度計算公式。其次，為驗證所推導公式的正確性，建立了LEMs平面彈簧的ANSYS仿真模型，并將有限元分析結(jié)果與上述兩種理論模型的計算結(jié)果進行了對比。結(jié)果表明，在變形較小的情況下由懸臂梁模型所推導的公式計算精度更高，在變形較大的情況下使用由偽剛體模型所推導的公式更為合適。最后，通過大量實例分析推導了兩個公式的適用范圍，并用一組數(shù)值算例證明了其正確性。

平面折展機構(gòu)；平面彈簧；偽剛體模型；有限元分析

0　引言

LEMs是一種從平面材料中加工成形，且能實現(xiàn)平面外運動的新興柔順機構(gòu)[1]，它屬于平面正交機構(gòu)、變胞機構(gòu)及柔順機構(gòu)的范疇，因此也聚集了這三類機構(gòu)的優(yōu)勢：能以簡單的拓撲結(jié)構(gòu)實現(xiàn)復雜的機械運動；加工工藝簡單、經(jīng)濟；其平面特性能降低運輸及儲藏成本。

目前，對LEMs的研究主要集中于柔性機構(gòu)及其鉸鏈的設(shè)計。Wilding等[2]將球面機構(gòu)和LEMs簡潔緊湊的特性相結(jié)合，綜合出了21種球面LEMs四桿機構(gòu)；王濤[3]針對已有的LEMs四桿機構(gòu)，研究了各特征參數(shù)對LEMs四桿機構(gòu)性能的影響；邱麗芳等[4]設(shè)計了一種新型平面折展機構(gòu)柔性鉸鏈并分析了其等效剛度。通過諸多學者的努力，LEMs技術(shù)已經(jīng)發(fā)展成為能應(yīng)用于商業(yè)產(chǎn)品并實現(xiàn)特定功能的科學技術(shù)，尤其適用于MEMS(micro electro mechanical systems)設(shè)計，如投影機、顯示鏡的驅(qū)動系統(tǒng)，光調(diào)幅器。此外，LEMs的特性也使其能應(yīng)用于平面彈簧。

平面彈簧是能在平面中制造或能壓縮成平面的彈簧。目前較為常見的平面彈簧包括星架彈簧、渦卷彈簧、碟形彈簧以及S形和C形等平面微彈簧。平面彈簧的主要優(yōu)點是結(jié)構(gòu)簡單，且在初始狀態(tài)或被壓縮狀態(tài)占用的空間少。但平面彈簧也有不少缺點，如在受力變形過程中會產(chǎn)生周向旋轉(zhuǎn)，使固定于彈簧運動端上的構(gòu)件伴隨彈簧運動端轉(zhuǎn)動，若構(gòu)件未固定于運動端，則兩個部分會發(fā)生相對滑動，從而產(chǎn)生磨損、振動及噪聲。當前已有不少國內(nèi)外學者對平面彈簧作了大量研究。王超等[5]設(shè)計了一種基于平面矩形螺旋梁結(jié)構(gòu)的平面微彈簧；吳佳俊等[6]以非接觸式形狀記憶合金平面渦卷彈簧為例，通過研究動作原理，建立了彈簧的力學模型并用實驗證明了其正確性；周織建等[7]提出了一種MEMS平面S形錐形彈簧并對其進行了特性分析；李華等[8]建立了MEMS平面微彈簧的力學模型并對其進行了剛度分析；吳志亮等[9]對L形彈簧進行了分析計算，并得到理論計算公式；Kim等[10]將L形彈簧合理運用于抗屈服變形探針上，改善了其受壓穩(wěn)定性。綜上所述，目前大部分的平面彈簧只能用于承受平面內(nèi)的力的場合，而對于能承受面外力的平面彈簧，又存在變形過程中運動端容易產(chǎn)生周向旋轉(zhuǎn)，從而引起摩擦、磨損的問題。

針對上述問題，本文基于LEMs設(shè)計了一種結(jié)構(gòu)緊湊、加工方便的平面彈簧，該平面彈簧在變形過程中運動端無周向旋轉(zhuǎn)，能減少彈簧的摩擦、磨損；其次基于懸臂梁模型和偽剛體模型[11]分別推導了LEMs平面彈簧的剛度計算公式，并利用ANSYS驗證了兩種公式的正確性。最后，通過大量實例分析計算確定了兩種公式的適用范圍，并驗證了其有效性。

1　結(jié)構(gòu)設(shè)計

根據(jù)LEMs特性設(shè)計的LEMs平面彈簧的結(jié)構(gòu)如圖1所示。圓環(huán)基座與運動平臺通過4組片段連接形成整體，其中每組片段由三個柔性片段和兩個連接片段組成，它們依次呈90°度交替連接，形成圖2所示的“之”字形折返運動關(guān)節(jié)，4組“之”字形折返運動關(guān)節(jié)在圓環(huán)基座與運動平臺間放射式均勻分布，將圓環(huán)基座和運動平臺連接成整體，且4組片段間形成4塊鏤空區(qū)域。圖2中，L、b分別為柔性片段的長度和寬度，B為柔性片段間的間距，D為連接片段厚度，d為柔性片段厚度,它們的單位為mm。

圖1　LEMs平面彈簧結(jié)構(gòu)示意圖

(a) 運動關(guān)節(jié)俯視圖

(b) 運動關(guān)節(jié)剖視圖圖2　彈簧運動關(guān)節(jié)

LEMs平面彈簧的工作原理可以描述為：在工作過程中，圓環(huán)基座固定，運動平臺受垂直平面的均布力作用“浮出”制造平面，此時“之”字形折返運動關(guān)節(jié)發(fā)生變形并產(chǎn)生一個反作用力。由于柔性片段的剛度遠小于連接片段剛度，故平面彈簧的變形僅發(fā)生于柔性片段。此外，4組“之”字形折返運動關(guān)節(jié)在圓環(huán)基座與運動平臺間呈放射式均勻分布，使運動平臺所受的合力方向垂直于制造平面，故其動作過程必然為垂直平面的直線運動而無周向旋轉(zhuǎn)。

2　理論分析

2.1懸臂梁模型

若LEMs平面彈簧的變形在線性范圍之內(nèi)，可運用懸臂梁變形計算模型對彈簧的線性位移進行分析求解，進而根據(jù)線性彈性理論得到LEMs平面彈簧的剛度計算公式。

由于4組運動關(guān)節(jié)均勻分布，故僅對其中一組運動關(guān)節(jié)進行分析。假設(shè)均布載荷P垂直作用于運動平臺，則其中一組運動關(guān)節(jié)所受的力F=0.25P，受力后LEMs平面彈簧的運動關(guān)節(jié)主要產(chǎn)生彎曲變形及扭轉(zhuǎn)變形，其中彎曲變形量是柔性片段相對固定端的偏移量，可以表示為[12]

(1)

(2)

式中，δ為垂直方向的變形量；c為比例因子，由末端約束決定，此處固定-導向梁c取12；E為材料的彈性模量；Is為柔性片段的慣性矩[13]。

扭轉(zhuǎn)變形量是柔性片段的扭轉(zhuǎn)角度，可表示為[13]

(3)

Ip=βbd3

(4)

式中，M為柔性片段所受扭矩；G為切變模量，ν為泊松比；Ip為極慣性矩[13]；β為與柔性片段截面邊長比b/d相關(guān)的系數(shù)，可通過查表得到[13]。

LEMs平面彈簧的“之”字形折返運動關(guān)節(jié)受力模型可簡化為圖3所示模型。

圖3　運動關(guān)節(jié)受力簡化模型

運動關(guān)節(jié)中柔性片段AB、CD、EH的長度均相等，且它們的剛度遠小于連接片段BC、DE的剛度，因此連接片段可以視為剛體。點H處的總位移δ1由柔性片段的彎曲和扭轉(zhuǎn)傾斜造成，因此：

δ1=δAB+δCD+δEH+δ′

(5)

其中，δAB=δCD=δEH，由柔性片段彎曲形成，計算公式為

(6)

δ′為柔性片段扭轉(zhuǎn)導致連接片段傾斜所引起的H點位移，其中扭轉(zhuǎn)變形主要發(fā)生在柔性片段AB及EH，故根據(jù)式(3)得

(7)

總位移δ1為

(8)

根據(jù)線彈性理論[13]，LEMs平面彈簧的剛度為

(9)

2.2偽剛體模型

當LEMs平面彈簧的變形量較大時可以用固定-導向偽剛體模型分析其變形。

末端受載荷作用的固定-導向偽剛體模型如圖4所示，梁的一端被固定，而另一端被導向，即使該梁的末端角度保持水平不變。由于末端要保持一個固定角度，因此末端必有相應(yīng)的力矩(圖4中的M0)，故所得梁的變形形狀關(guān)于中心線反對稱。

圖4　固定-導向偽剛體模型

在固定-導向偽剛體模型中，扭簧剛度系數(shù)Kfg可采用下式表示[11]：

(10)

式(10)中，γ和Kθ通常采用近似值，γ=0.85，Kθ=2.68。

固定-導向梁在垂直力作用下的位移可以表示為

δv=γLsinθ

(11)

偽剛體角θ與扭簧所受轉(zhuǎn)矩有關(guān)，即

γFLcosθ=2Kfgθ

(12)

將cosθ的泰勒展開公式代入式(12)得

γFLθ2+4Kfgθ-2γFL=0

(13)

求解式(13)中的θ：

(14)

由柔性片段扭轉(zhuǎn)造成的H點位移為

(15)

其中，Ki為扭轉(zhuǎn)變形處的截面形狀相關(guān)參數(shù)，可由文獻[14]提出的精度較高且不受寬厚比影響的公式求解：

(16)

聯(lián)立式(11)、式(14)和式(15)可得關(guān)節(jié)H點的總位移δ2：

(17)

故根據(jù)偽剛體模型推導的LEMs平面彈簧的剛度為

(18)

由上式分析可知，LEMs平面彈簧的剛度與受力之間成非線性關(guān)系。

3　仿真驗證與適用范圍

為驗證上述懸臂梁理論模型與偽剛體理論模型所推導剛度計算公式的正確性，設(shè)計了LEMs平面彈簧實例。由于該LEMs平面彈簧結(jié)構(gòu)對稱，為了減小ANSYS軟件的分析計算量，取LEMs平面彈簧的其中一個運動關(guān)節(jié)進行建模分析，然后將有限元分析結(jié)果與上述兩種理論模型的計算結(jié)果進行對比。

所設(shè)計實例的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：L=10mm， B=1mm，b=1mm，d=0.4mm。本例中選擇強度與彈性模量之比較高的ABS工程塑料作為LEMs平面彈簧的材料，其彈性模量E=2.2GPa，泊松比ν=0.34，屈服極限σmax=70MPa?？紤]彈簧變形需在彈性范圍之內(nèi)，故施加的力P不超過Pmax=1.5N，即每個運動關(guān)節(jié)受力不超過0.375N，其中Pmax可由下式求得

(19)

如圖5a所示，仿真模型包含2392個六面體單元，其一端添加固定約束，另一端添加“導向”約束，并施加一個垂直平面的力。當加載的力為0.01N，即平面彈簧受力P=0.04N時，由ANSYS分析所得的LEMs平面彈簧運動關(guān)節(jié)的受力變形，如圖5b所示，由圖可知彈簧的變形量δ0=0.291mm，而利用懸臂梁模型推導的式(9)求得的彈簧變形量δ1=0.274mm，基于偽剛體模型推導的式(18)求得彈簧的變形量δ2= 0.266mm。選則大小不同的力，可以得到如表1

(a)運動關(guān)節(jié)網(wǎng)格劃分圖

(b)運動關(guān)節(jié)變形云圖圖5　運動關(guān)節(jié)有限元仿真模型

所示的計算分析結(jié)果。為了更加直觀地表示LEMs平面彈簧受力與變形量之間的關(guān)系，用MATLAB軟件繪制得到如圖6所示的變形曲線及如圖7所示的相對誤差曲線。

表1　有限元、懸臂梁模型及偽剛體模型的計算值

圖6　LEMs平面彈簧三個變形量計算值隨力的變化曲線

圖7　懸臂梁模型與偽剛體模型計算值相對誤差

由圖6和圖7分析發(fā)現(xiàn)：偽剛體模型計算值和懸臂梁模型計算值基本與有限元分析結(jié)果相吻合；在作用力較小，即變形相對較小的情況下懸臂梁模型的計算值更精確，LEMs平面彈簧的剛度用懸臂梁模型推導的式(9)表示更準確；在作用力較大的情況下，偽剛體模型的計算值精確度要高一些，LEMs平面彈簧的剛度用偽剛體模型推導的式(18)表示更精確。綜上所述，為提高LEMs平面彈簧的剛度理論計算精度，需進一步研究兩種剛度計算公式的適用范圍。

進一步的研究表明，當加載的力P與最大可加載力Pmax之比達到某個值后(如圖7所示黑點)，偽剛體模型的計算值精度將開始高于懸臂梁模型計算值，而該比值與L/b成正比，與d/b的平方成反比。其中，Pmax可用式(19)計算。

為了推導兩種公式的適用范圍，設(shè)計了32組實例，其結(jié)構(gòu)尺寸比例如下：L/b=7，9，11，13，15，17，19，21；d/b=0.25，0.40，0.50，0.67。選出偽剛體模型計算值精度開始高于懸臂梁模型計算值的力Pa，將Pa/Pmax的比值a記錄于表2。

表2　Pa/Pmax比值

將表2中的數(shù)據(jù)導入MATLAB，以L/b、d2/b2為自變量，a為因變量得到如圖8所示的圖形，從圖8中可以發(fā)現(xiàn)在L/b、d2/b2不同的情況下，a的值都近似在同一個空間平面內(nèi)。利用OriginPro軟件求得上述近似空間平面的多元線性回方程：

圖8　Pa/Pmax比值分布

(20)其中，多元線性回歸方程的R2值為0.9507，F(xiàn)值為299.9279，P值為0。上述分析表明，表2中的數(shù)據(jù)與多元線性回歸方程的擬合度較高，且兩種模型推得的剛度計算公式在力為Pa附近通常計算精度都較高，Pa/Pmax可以用式(20)表示。故當施加在彈簧上的力小于Pa時，LEMs平面彈簧的剛度可以用懸臂梁模型推得的式(9)表示；當施加在彈簧上的力大于Pa時，彈簧的剛度可以用偽剛體模型推得的式(18)表示。

將上述結(jié)論總結(jié)如下：

由于在Pa附近兩個模型推得的剛度計算公式精度都較高，故上述公式的區(qū)間都取了等號。

為證明上述結(jié)論的正確性，以第3節(jié)實例為例，此時a=0.4682，Pmax=1.5 N，當P≤Pa=0.7 N時，k=k1，誤差在0與5.84%之間；當P≥Pa=0.7 N時，k=k2，誤差在0.153%與5.02%之間，總體誤差在0到5.84%之間。但只用懸臂梁模型推得的計算公式k=k1，最大誤差將達12.15%；而僅用偽剛體模型推得的計算公式k=k2，誤差在0.153%到8.59%范圍內(nèi)，如表3所示。顯然區(qū)分兩個公式的適用范圍，可以提高LEMs平面彈簧剛度的計算精度。上述分析進一步驗證了公式適用范圍的正確性。

表3 誤差對比　%

4　結(jié)論

(1) 本文設(shè)計了一種LEMs平面彈簧，解決了傳統(tǒng)平面彈簧在變形過程中運動端產(chǎn)生周向旋轉(zhuǎn)從而造成磨損和振動的問題。

(2) 基于懸臂梁模型與偽剛體模型，分別推導了LEMs平面彈簧的剛度計算公式。

(3) 通過ANSYS有限元分析實例驗證了兩種剛度計算公式的正確性，然后基于大量分析計算，總結(jié)了兩種公式的適用范圍，并證明了其有效性。

(4)在此基礎(chǔ)上，后續(xù)工作將推導非對稱載荷作用下LEMs平面彈簧的理論計算模型并加工實物進行實驗分析。

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(編輯袁興玲)

Design and Analysis of LEMs Planar Springs

Liu Kai1Cao Yi1,2Ding Rui1

1. Jiangnan University, Wuxi, Jiangsu,214122 2.State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration,Shanghai Jiao Tong University, Shanghai, 200240

To avoid vibrations and abrasions caused by the rotation of a planar spring in the deformation processes, a new planar spring was proposed based on LEMs. The planar spring with advantages including a small volume, easy to fabricate, a simple structure and no revolution during the deformation, etc. might be fabricated from planar materials and might emerge out of the fabricated planar materials. Firstly, the stiffness of the planar spring was deduced based on the flexural cantilever model and the pseudo-rigid-body model respectively. In order to verify the correctness of the theoretical stiffness formulations, the ANSYS model for this planar spring was established and the FEA was compared with theoretical results calculated by the flexural cantilever model and the pseudo-rigid-body model, respectively. The results indicate that the formula derived from model of cantilever leads to the calculation with higher accuracy when the deformation is small. In contrary, the formula derived from pseudo-rigid-body model applying to large deformation is better. Finally, the applicable ranges for the two above mentioned models were analyzed separately and a numerical example was given to demonstrate their correctness.

lamina emergent mechanisms(LEMs); planar spring; pseudo-rigid-body model; finite element analysis(FEA)

2016-11-30

國家自然科學基金資助項目(50905075);江蘇省“六大人才高峰”資助項目(ZBZZ-012);機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室開放課題資助項目(MSV201407);江蘇省食品先進制造裝備技術(shù)重點實驗室開放課題資助項目(FM-201402)

TH122

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.19.018

劉凱，男，1991年生。江南大學機械工程學院碩士研究生。主要研究方向為柔順機構(gòu)學。曹毅，男，1974年生。江南大學機械工程學院副教授，上海交通大學機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室訪問學者。丁銳，男，1992年生。江南大學機械工程學院碩士研究生。