基于磁場積分方程法的磁通門瞬態(tài)分析*

侯曉偉，李菊萍，郭俊杰

（寧波中車時(shí)代傳感技術(shù)有限公司，浙江寧波315021）

基于磁場積分方程法的磁通門瞬態(tài)分析*

侯曉偉*，李菊萍，郭俊杰

（寧波中車時(shí)代傳感技術(shù)有限公司，浙江寧波315021）

利用靜態(tài)積分方程法來分析設(shè)計(jì)磁通門，雖然能夠使計(jì)算時(shí)間大大減少，而且在精度方面也可以達(dá)到磁通門的要求，但是靜態(tài)積分方程法沒有準(zhǔn)確考慮頻率的影響，只能對(duì)磁通門進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)分析，而對(duì)磁通門進(jìn)行瞬態(tài)分析的問題未能得到解決。本文根據(jù)磁通門鐵芯特點(diǎn)，研究了基于磁場積分方程法的磁通門準(zhǔn)靜態(tài)分析模型，在此基礎(chǔ)上，對(duì)其數(shù)學(xué)模型改進(jìn)，建立了可以對(duì)磁通門進(jìn)行瞬態(tài)分析的數(shù)學(xué)模型。最后以長條形磁通門為例驗(yàn)證了模型，仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合良好。

磁通門；瞬態(tài)分析；積分方程法；準(zhǔn)靜態(tài)分析；鐵芯；頻率

EEACC:7230doi:10.3969/j.issn.1004-1699.2016.07.014

有限元方法作為一種成熟的方法，用其分析優(yōu)化磁通門探頭結(jié)構(gòu)是一種常用的方法。Baschirotto A等［1-3］采用有限元軟件分析設(shè)計(jì)了一系列的平面磁通門，并詳細(xì)介紹了有限元軟件分析磁通門的步驟以及剖分等關(guān)鍵步驟的處理。從中可以看出有限元方法需要大量的計(jì)算資源，計(jì)算時(shí)間長，例如文獻(xiàn)［3］中僅鐵芯的剖分單元就為288259，采用P4 2.4 GHz處理器進(jìn)行一次磁通門瞬態(tài)分析所需的時(shí)間約為120個(gè)小時(shí)。如果想知道磁通門線性范圍，最佳激勵(lì)條件等還要進(jìn)行多次瞬態(tài)分析，說明有限元法是非常費(fèi)時(shí)的。盡管積分方程法剖分簡單，待求解未知量少，但由于非對(duì)稱滿陣導(dǎo)致占用資源大，計(jì)算時(shí)間長，所以積分方程法一直被忽略，沒有限元應(yīng)用廣。隨著快速多極子方法在積分方程法中的應(yīng)用，非對(duì)稱滿陣問題得到解決［4-6］。采用積分方程法處理電磁問題的研究也越來越多。2010年Vuillermet Y等［7-9］提出采用靜態(tài)積分方程法分析磁通門，解決有限元法碰到的計(jì)算時(shí)間長問題。并將該方法與有限元法和傳統(tǒng)采用退磁系數(shù)考慮鐵芯形狀的方法進(jìn)行對(duì)比［7-8］，結(jié)果顯示采用退磁系數(shù)的方法計(jì)算時(shí)間短，但在精度方面遠(yuǎn)不能與積分方程法和有限元法相比；與有限元法相比，靜態(tài)積分方程法計(jì)算時(shí)間大大減少，而且在精度方面也可以達(dá)到磁通門的要求。靜態(tài)積分方程法在采用退磁系數(shù)法和有限元法之間提供了一個(gè)很好的折中。但是Vuillermet Y在其論文［8］結(jié)尾也指出了一個(gè)問題，靜態(tài)積分方程法只對(duì)磁通門進(jìn)行了準(zhǔn)靜態(tài)分析。研究積分方程法瞬態(tài)分析磁通門是一個(gè)待解決的問題。文獻(xiàn)［10］介紹的瞬態(tài)積分方程法雖然能夠?qū)﹄姶艈栴}進(jìn)行瞬態(tài)分析，然而這種方法涉及到磁場、磁化強(qiáng)度、渦流密度、磁矢量勢(shì)、電標(biāo)量勢(shì)等未知量，待求解的未知數(shù)較多，求解復(fù)雜。目前還沒有看到采用積分方程法解決磁通門瞬態(tài)問題的相關(guān)研究。針對(duì)此問題，本文根據(jù)磁通門鐵芯特點(diǎn)［11-12］，研究了基于積分方程法的磁通門準(zhǔn)靜態(tài)分析模型，在此基礎(chǔ)上，對(duì)其數(shù)學(xué)模型改進(jìn)，建立了可以對(duì)磁通門進(jìn)行瞬態(tài)分析的數(shù)學(xué)模型。最后以長條形磁通門為例進(jìn)行了驗(yàn)證分析。

1　基于磁場積分方程的磁通門分析

考慮如下問題：磁通門鐵芯置于外磁場（被測(cè)磁場和線圈電流產(chǎn)生的激勵(lì)磁場）中。已知鐵芯的形狀參數(shù)和鐵芯材料的磁化曲線，求解在外磁場中鐵芯內(nèi)部的磁場和磁化強(qiáng)度分布。這里考慮采用積分方程法來解決此問題。磁通門鐵芯通常為薄片，考慮到激勵(lì)磁場和被測(cè)磁場沿著鐵芯表面，磁通門鐵芯的厚度遠(yuǎn)小于其它尺寸，因此垂直鐵芯表面方向的磁化強(qiáng)度可以忽略不計(jì)，可近似認(rèn)為鐵芯薄片內(nèi)部的磁場主要平行于其表面［13］。另外磁通門接收線圈中感應(yīng)到的是沿鐵芯平面的磁場分量產(chǎn)生的磁通，而與之垂直的鐵芯橫截面內(nèi)的磁場分量不會(huì)對(duì)接收線圈輸出電壓產(chǎn)生影響，因此磁通門鐵芯的數(shù)學(xué)模型可以簡化為平面二維模型。

1.1基于磁場積分方程的磁通門準(zhǔn)靜態(tài)分析

根據(jù)磁場疊加原理，對(duì)于上述問題，磁通門鐵芯任意一點(diǎn)的總磁場可以分為三部分：

其中He和Hm為源場，He為激勵(lì)電流產(chǎn)生的磁場，Hm為被測(cè)外磁場，Hd為鐵芯材料產(chǎn)生的退磁場，旋度為零。

將磁通門鐵芯剖分為n個(gè)單元，分析時(shí)的假設(shè)條件為：①每個(gè)單元內(nèi)的磁化強(qiáng)度是均勻的；②磁荷只在單元之間的交界面以及鐵芯與空氣的邊界出現(xiàn)。可得：

其中hi為第i個(gè)單元的總磁場強(qiáng)度，為激勵(lì)電流在第i個(gè)單元產(chǎn)生的磁場，為被測(cè)外磁場在第i個(gè)單元產(chǎn)生的磁場，為鐵芯材料在第i個(gè)單元產(chǎn)生的退磁場，mi為第i個(gè)單元的磁化強(qiáng)度，下標(biāo)x和y分別表示在鐵芯平面x軸和y軸方向的磁場分量。

1.1.1激勵(lì)磁場計(jì)算

根據(jù)畢奧-薩伐定律，可以求得激勵(lì)電流在場點(diǎn)r處產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度為：

其中nJ為激勵(lì)電流方向，J為激勵(lì)電流密度，r為磁場的坐標(biāo)，r′為電流的坐標(biāo)，dV為激勵(lì)電流體積微元。

1.1.2退磁場計(jì)算

由鐵芯材料產(chǎn)生的退磁場所滿足的方程為：

退磁場旋度為零，存在一個(gè)標(biāo)量滿足：Hd=-??。而標(biāo)量所滿足的方程為：

鐵芯材料所有剖分單元在第i個(gè)單元產(chǎn)生的磁場為：

其中?j為第j個(gè)單元對(duì)應(yīng)的磁標(biāo)勢(shì)，r為源點(diǎn)和場點(diǎn)之間的距離，mj為第j個(gè)單元的磁化強(qiáng)度，sj為第j個(gè)單元的外表面，其中dsj=dsjn，n為第j個(gè)單元沿外表面法線單位矢量。將式（3）和式（6）代入式（2）可得：

退磁矩陣wij的計(jì)算詳見文獻(xiàn)［14］。聯(lián)立式（7）與鐵芯材料的磁化曲線，建立磁通門準(zhǔn)靜態(tài)分析模型，即可求解被測(cè)磁場和激勵(lì)電流產(chǎn)生的激勵(lì)磁場中鐵芯內(nèi)部的磁場和磁化強(qiáng)度分布，從而求得磁通門準(zhǔn)靜態(tài)輸出信號(hào)。

1.2基于磁場積分方程的磁通門瞬態(tài)分析

1.1節(jié)所研究的方法由于沒有考慮頻率對(duì)電磁場計(jì)算結(jié)果的影響，僅限于對(duì)電磁場進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)分析，無法對(duì)磁通門進(jìn)行瞬態(tài)分析。本節(jié)在1.1.1節(jié)的磁通門準(zhǔn)靜態(tài)分析方法基礎(chǔ)上，研究引入頻率的影響，建立磁通門瞬態(tài)分析模型，對(duì)磁通門輸出信號(hào)進(jìn)行瞬態(tài)分析。

在低頻情況下可以忽略位移電流［10］，電流密度i可分解為渦流ie和給定的激勵(lì)電流密度i0，即i=ie+io。根據(jù)磁場疊加原理，考慮渦流的影響后，磁通門鐵芯內(nèi)磁場強(qiáng)度Hs（與前面采用H表示鐵芯內(nèi)磁場不同，這里為方便起見，用Hs表示鐵芯內(nèi)磁場）可以分解成：

H0是源磁場，包括給定的電流產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度和被測(cè)外磁場，Heddy是渦流產(chǎn)生的寄生磁場，Hd是鐵芯材料產(chǎn)生的退磁場。

將渦流產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度移項(xiàng)到左端，并記H=H0+Hd，可得 Hs=H+Heddy，鐵芯內(nèi)磁場方程組為：

其中鐵芯材料數(shù)學(xué)模型M（H）為：

對(duì)于一些特殊形狀的鐵芯，如薄片狀，圓柱狀等，可以用鐵芯形狀參數(shù)和磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)變率表示渦流產(chǎn)生的寄生磁場［15-17］。

以分析長條形磁通門為例，忽略橫向磁場影響，采用文獻(xiàn)［18］介紹的鐵芯材料的數(shù)學(xué)模型。在外磁場H中，鐵芯材料內(nèi)的磁場Hs與磁化強(qiáng)度M的關(guān)系由以下方程組描述：

以上研究了采用靜態(tài)磁場積分方程怎樣分析瞬態(tài)問題，瞬態(tài)磁場積分方程組與靜態(tài)磁場積分方程組形式相同，頻率的影響可以歸結(jié)為調(diào)用考慮頻率的鐵芯材料數(shù)學(xué)模型。

2　磁通門瞬態(tài)分析模型驗(yàn)證分析

以長條形磁通門（圖1所示）為例對(duì)1.2節(jié)提出的磁通門瞬態(tài)分析模型進(jìn)行驗(yàn)證分析。激勵(lì)線圈和接收線圈都采用均勻繞線的方式。激勵(lì)線圈匝數(shù)為330，接收線圈匝數(shù)為1 100。鐵芯材料是長度、寬度和厚度分別為30 mm、1 mm和0.1 mm的坡莫合金。鐵芯材料模型由式（11）描述，其模型參數(shù)為 a=1.069 4×10-6，c=0.3，k=1.714 3，MS=5.98×105，Ru=0.399 7，H0=0.000 1，H1=1.1263×10-20，a0=0.082 7，a1=0.020 1，N=0.001 4。圖2為正弦電壓激勵(lì)的長條形磁通門等效電路。其中鐵芯材料由式（11）所示的模型描述。AC為交流激勵(lì)電流源，R是值為13.3 Ω的激勵(lì)線圈電阻，Hx為沿著鐵芯表面x軸方向的被測(cè)磁場，Vout為磁通門的輸出信號(hào)。

圖1　長條鐵芯磁通門

圖2　長條鐵芯磁通門等效電路

采用正弦電壓信號(hào)對(duì)磁通門進(jìn)行激勵(lì)，比較了考慮三種不同頻率條件下（1 kHz、3 kHz和5 kHz）的基于磁場積分方程的磁通門瞬態(tài)分析模型的仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。圖3、圖7和圖11分別表示在三種不同頻率和激勵(lì)信號(hào)幅值條件下，激勵(lì)線圈電流的仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較。圖4、圖8和圖12分別表示在三種不同頻率和激勵(lì)信號(hào)幅值條件下，接收線圈輸出電壓的仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較。圖5、圖9和圖13分別表示在三種不同激勵(lì)頻率條件下，磁通門鐵芯的仿真磁滯回線和實(shí)驗(yàn)磁滯回線的比較。圖6、圖10和圖14分別表示被測(cè)磁場為30 μT時(shí)及三種不同的頻率條件下，隨著激勵(lì)電壓增大，輸出二次諧波電壓幅值與激勵(lì)線圈電流幅值的關(guān)系。

圖3　激勵(lì)線圈電流的仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

圖4　接收線圈兩端輸出電壓的仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

圖5　激勵(lì)頻率為1 kHz時(shí)的磁通門鐵芯的磁滯回線的仿真和實(shí)驗(yàn)比較

圖6　激勵(lì)頻率為1 kHz時(shí)二次諧波幅值與激勵(lì)線圈電流幅值的關(guān)系

圖7　激勵(lì)線圈電流的仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

圖8　接收線圈兩端輸出電壓的仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

圖9　激勵(lì)頻率為3 kHz時(shí)的磁通門鐵芯的磁滯回線的仿真和實(shí)驗(yàn)比較

圖10　激勵(lì)頻率為3 kHz時(shí)二次諧波幅值與激勵(lì)線圈電流幅值的關(guān)系

圖11　激勵(lì)線圈電流的仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

圖12　接收線圈兩端輸出電壓的仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

圖13　激勵(lì)頻率為5 kHz時(shí)的磁通門鐵芯的磁滯回線的仿真和實(shí)驗(yàn)比較

圖14　激勵(lì)頻率為5 kHz時(shí)二次諧波幅值與激勵(lì)線圈電流幅值的關(guān)系

由圖3、圖4、圖7、圖8、圖11和圖12可以看出，因?yàn)閷?shí)際中的激勵(lì)電流需要一定的響應(yīng)時(shí)間，在開始的一段時(shí)間內(nèi)，激勵(lì)電流和輸出信號(hào)的實(shí)驗(yàn)值滯后于仿真模型中的激勵(lì)電流和輸出信號(hào)。在后續(xù)的時(shí)間條件下，仿真中的激勵(lì)電流和輸出信號(hào)與實(shí)驗(yàn)中的激勵(lì)電流和輸出信號(hào)吻合良好。從圖5、圖9和圖13可以看出，仿真磁滯回線與實(shí)驗(yàn)得到的磁滯回線幾乎一致。從圖6可以看出，在小于95 mA的激勵(lì)電流條件下，由仿真模型得到磁通門二次諧波幅值略低于實(shí)驗(yàn)測(cè)得的磁通門二次諧波幅值；在大于95 mA的激勵(lì)電流條件下，由仿真模型得到的磁通門二次諧波幅值高于實(shí)驗(yàn)測(cè)得的磁通門二次諧波幅值。而圖10和圖14中隨著激勵(lì)電流的增大，二次諧波的仿真值略低于實(shí)驗(yàn)值。表1給出了在被測(cè)磁場為30 μT時(shí)及三種不同的頻率條件下，二次諧波最大值的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比。

表1　二次諧波最大值的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

從仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比可以看出，隨著激勵(lì)電壓和激勵(lì)頻率的改變，仿真結(jié)果準(zhǔn)確的反應(yīng)了線圈電流、輸出電壓等參數(shù)的變化。表明磁通門瞬態(tài)分析模型準(zhǔn)確地綜合考慮了探頭結(jié)構(gòu)、鐵芯材料、激勵(lì)電壓、激勵(lì)頻率等因素的影響，準(zhǔn)確地考慮了隨著頻率增大而增強(qiáng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度滯后現(xiàn)象。如果采用文獻(xiàn)［8-9］的方法，鐵芯材料由磁化曲線描述，無法考慮頻率引起的磁感應(yīng)強(qiáng)度滯后現(xiàn)象，只能對(duì)磁通門進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)分析。

3　小結(jié)

采用靜態(tài)積分方程法對(duì)磁通門準(zhǔn)靜態(tài)分析不能準(zhǔn)確考慮頻率的影響，瞬態(tài)積分方程法雖然能夠?qū)Υ磐ㄩT進(jìn)行瞬態(tài)分析，然而這種方法中的未知量磁矢勢(shì)為靜態(tài)積分方程法未知量磁標(biāo)勢(shì)的3倍，使求解麻煩。針對(duì)這個(gè)問題，本文根據(jù)磁通門鐵芯特點(diǎn)，分析了解決靜磁問題的磁場積分方程，在此基礎(chǔ)上考慮了渦流對(duì)積分方程的影響，對(duì)解決靜磁問題的靜態(tài)積分方程改進(jìn)，建立了可以對(duì)磁通門進(jìn)行瞬態(tài)分析的數(shù)學(xué)模型。最后以長條形磁通門為例進(jìn)行模型驗(yàn)證，仿真了激勵(lì)電壓、激勵(lì)頻率改變時(shí)的接收線圈輸出電壓、輸出二次諧波電壓幅值與激勵(lì)線圈電流幅值的關(guān)系和磁滯回線，這些仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合良好。改進(jìn)了的模型可以準(zhǔn)確地反應(yīng)頻率的影響，并對(duì)磁通門進(jìn)行瞬態(tài)分析。

［1］ Baschirotto A，Dallago E，Malcovati P，et al.An Integrated Micro-Fluxgate Magnetic Sensor with Front-End Circuitry［J］.IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，2009，58（9）：3269-3275.

［2］ Baschirotto A，Dallago E，F(xiàn)erri M，et al.A 2D Micro-Fluxgate Earth Magnetic Field Measurement Systems with Fully Automated Acquisition Setup［J］.Measurement，2010，43（1）：46-53.

［3］ Baschirotto A，Dallago E，Malcovati P，et al.Fluxgate Magnetic Sensor in PCB Technology［C］//IEEE Instrumentantion on and Measurement Technology Conference Proceedings，2004（2）：808-812.

［4］ Mayergoyz I，Andrei P，Dimian M.Nonlinear Magnetostatic Calculations Based on Fast Multipole Method［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2003，39（3）：1103-1106.

［5］ Balasubramanian S，Lalgudi S，Shanker B.Fast-Integral-Equation Scheme for Computing Magnetostatic Fields in Nonlinear Media［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2002，38（5）：3426-3432.

［6］ Hafla W，Buchau A，Groh F，et al.Efficient Integral Equation Method for the Solution of 3-D Magnetostatic Problems［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2005，41（5）：1408-1411.

［7］ Vuillermet Y.About the Use of Numerical Integral Methods to Simulate a Fluxgate Magnetometer：The Ring-Core Example［J］. Sensors&Actuators A：Physical，2010，163（1）：48-53.

［8］ Vuillermet Y，Audoin M，Cuchet R.et al.Application of a Non-linear Method of Moments to Predict Microfluxgates Output［J］.Sensors&Actuators A：Physical，2010，158（2）：212-216.

［9］ Vuillermet Y，Audoin M.Application of a Non-Linear Numerical Integral Method to Predict Micro Fluxgate Output［C］//14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation（CEFC），2010：1-1.

［10］Koizumi M，Onizawa M.Computational Method of Three Dimensional Eddy Current by Using Volume Integral Equation Method［J］.IEEE Transactions on Magnetics，1991，27（5）：4077-4080.

［11］楊尚林，劉詩斌，郭博，等.鐵芯參數(shù)對(duì)磁通門輸入輸出特性影響分析［J］.傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2014，27（1）：40-47.

［12］郭博，劉詩斌，楊尚林，等.微型正交激勵(lì)磁通門結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)［J］.傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2014，27（7）：910-915.

［13］Canova A，Repetto M.Integral Solution of Nonlinear Magnetostatic Field Problems［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2001，37（3）：1070-1077.

［14］周國華，肖昌漢，劉勝道，等.基于六面體單元表面磁場積分法求解三維靜磁場［J］.電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2009（3）：1-7.

［15］Mandache L，Topan D.Managing Eddy Current Losses and Ferromagn/Etic Material Nonlinearities in Distorting Regimes［C］// Electric Machines and Drives Conference，2009.IEMDC'09. IEEE International，2009：1449-1454.

［16］Jiles D.Frequency Dependence of Hysteresis Curves in‘Non-Conducting'Magnetic Materials［J］.IEEE Transactions on Magnetics，1993，29（6）：3490-3492.

［17］Chikazumi S，Charap S H.Physics of Magnetism［M］.RE Krieger Publishing Company Malabar，F(xiàn)L：1978.

［18］Mandache L，Topan D.Managing Eddy Current Losses and Ferromagnetic Material Nonlinearities in Distorting Regimes［C］//IEEE International Electric Machines and Drives Conference，2009：1449-1454.

侯曉偉（1985-），河南洛陽人，工程師。研究方向?yàn)槲㈦娮优c固體電子學(xué)，主要致力于微型磁通門傳感器、專用集成電路 ASIC等方面的研究，xwhou2009@ 126.com；

李菊萍（1982-），山西運(yùn)城人，工程師。研究方向?yàn)槲㈦娮优c固體電子學(xué)，主要從事微型磁通門傳感器等方面的仿真研究，li2008100096@mail.nwpu.edu.cn。

Transient Analysis of Fluxgate Based on Magnetic Field Integral Equation Method*

HOU Xiaowei*，LI Juping，GUO Junjie
（Ningbo CRRC Times Transducer Technique Co，Ltd，Ningbo Zhejiang 315021，China）

The static integral equation method can be used to simulate and design the fluxgate，which reduces the computation time and shows a satisfactory accuracy.However，the effect of frequency on fluxgate was not considered accurately based on static integral equation method，so it applies only to the quasi static analysis and can't be used to carry out the transient analysis of fluxgate.In order to solve this problem，the paper firstly studied the quasi static analysis of fluxgate with integral equation method according to the characteristics of fluxgate core.Based on the above work，the mathematical model was modified for fluxgate transient analysis.Finally a rod core fluxgate as an example was analyzed to validate the modified model.The simulation results agree well with experimental results.

fluxgate；transient analysis；integral equation method；quasi static analysis；core；frequency

TP212.1

A

1004-1699（2016）07-1026-06

項(xiàng)目來源：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（F040508）；高等學(xué)校博士點(diǎn)專項(xiàng)基金項(xiàng)目（20126102110031）

2015-12-23修改日期：2016-02-27