全變換半群T4到T5的同態(tài)

唐　慧, 楊秀良

(杭州師范大學理學院,浙江 杭州 310036)

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全變換半群T4到T5的同態(tài)

唐慧, 楊秀良

(杭州師范大學理學院,浙江 杭州 310036)

設n是一個大于等于1的正整數(shù),Tn是Xn={1,2,…,n}上的全變換半群,Tn+1是Xn+1={1,2,…,n+1}上的全變換半群,本文刻畫出當n=4時,T4到T5的所有同態(tài).

全變換半群;同態(tài);同余

1　引言和結論

設Tn是Xn上的全變換半群,在1998年Schein B M和Teclezghi B[1]刻畫出Tn的所有自同態(tài).接下來我們自然去研究兩個全變換半群Tn和Tm之間的同態(tài).當n>m時的同態(tài)已經(jīng)研究出來[2],且在不考慮n=4的情況下Tn到Tn+1的所有同態(tài)也已經(jīng)研究出來[3].在本文中將刻畫出當n=4時,T4到T5的所有同態(tài).

1) 令ε為T5中的一個冪等元.定義映射Φε:T4→T5為:對任意的α∈T4,Φε(α)=ε.

2) 令ε,δ為T5中兩個不同的冪等元,且滿足條件εδ=δε=δ.定義映射Ψε,δ:T4→T5如下:

我們的主要結果如下

定理1(i)取定i∈X5,定義Φi為T4到T5的一個映射如下:首先規(guī)定

其中k∈X4,{i1,i2,i3,i4}=X5{i},然后任取α∈T4{C1,C2,C3,C4},規(guī)定

則Φi為T4到T5的一個單同態(tài).

則Θk為T4到T5的一個單同態(tài).

反之,T4到T5的任一個單同態(tài)φ都具有形式(i)或者(ii).

(iii)當φ為非單時,則φ是同態(tài)當且僅當φ為如下形式之一:

(1)Φε,其中ε為T5中的一個冪等元;

(2)Ψε,δ,其中ε,δ為T5中兩個不同的冪等元,且滿足條件εδ=δε=δ;

C

2　結論的證明

為敘述方便,令α∈Tn,記im(α)={α(x)|x∈Xn},rank(α)=|im(α)|,ker(α)={(x,y)∈Tn×Tn|α(x)=α(y)}.于是全變換半群Tn上的Green[4-5]關系如下:任取α,β∈Tn,有

為證明我們的結論,需要引入如下兩個引理.

令α,β∈Tn,且α,β有如下形式:

(1)

1)若rank(α)

2)若rank(α)>k,則α≡Rβ當且僅當α=β;

則rankδ≤2.

若rankδ=5,則由δ為T5中的冪等元知δ有如下形式

其中{i1,i2,…,i5}=X5,從而由αδ1=δ1α=δ1可知

α(i1)=i1,α(i2)=i2,α(i3)=i3,α(i4)=i4,α(i5)=i5,

進而{α∈T5|αδ=δα=δ}={δ}沒有與S3同構的子群,矛盾.

若rankδ=4,則δ有如下形式

其中{i1,i2,…,i5}=X5,從而由αδ2=δ2α=δ2可得

α(i1)=i1,α(i2)=i3α(i3)=i3,α(i4)=i4,α(i5)∈{i4,i5},

若rankδ=3,則δ有如下兩種形式

其中{i1,i2,…,i5}=X5.若δ=δ3,則由αδ3=δ3α=δ3可得

α(i1)=i1,α(i2)=i2,α(i4)=i4,

α(i3)∈{i2,i3},α(i4)∈{i4,i5},

定理1的證明易證定理1中(iii)的映射都為T4到T5的同態(tài).下面驗證Φi和Θk都是T4到T5的單同態(tài).

任取α∈T4,β∈T4,且

從而

則由Φi的定義知

其中{i1,i2,i3,i4}=X5{i},從而

因此Φi(α)Φi(β)=Φi(αβ),所以Φi是T4到T5的一個同態(tài),又令Φi(α)=Φi(β),從而α(x)=β(x),其中x∈X4,進而Φi是單的,故Φi是T4到T5的一個單同態(tài).同理可證Θk是T4到T5的一個單同態(tài).

現(xiàn)令φ為T4到T5的任一個同態(tài),由于ker(φ)為T4上的一個同余,于是據(jù)引理1分兩種情況如下.

情況1ker(φ)是泛同余,則φ把T4映到T5中的某個冪等元,令這個冪等元為ε,從而φ為常量同態(tài),且φ為定理1中形式(iii)中的(1);

其中{i1,i2,…,i5}=X5.下面根據(jù)δ的形式先對ε1進行討論.

若δ為δ6這種形式,則

矛盾.又

矛盾.故ε不能為ε1這種形式.

若δ=δ6,則

矛盾.又

矛盾.故ε也不能為ε2這種形式.

其中{i1,i2,…,i5}=X5.下面對δ的形式進行討論.

則

故φ具有形式(4.1).

則

[1] SCHEIN B M, TECLEZGHI B. Endomorphisms of Finite Full Transformation Semigroups [J]. Proceedings of The American Mathematical Society,1998,126(9):2579-2587.

[2] 唐慧,楊秀良.兩個全變換半群之間的同態(tài)I[J].杭州師范大學學報(自然科學版),2015,14(5):527-530.

[3] 唐慧,楊秀良.兩個全變換半群之間的同態(tài)II[J].杭州師范大學學報(自然科學版),2016,15(2):67-72.

[4] GANYUSHKIN O, MAZORCHUK V. Classical Finite Transformation Semigroups [M]. London: Springer Verlag,2009.

[5] DOSS C. Certain equivalence relation in transformation semigroups [D]. Nashville: Univ of Tennessee,1955.

[6] Mal’tsev A I. Symmetric groupoids [J]. Mat Sbornik N S,1952,73(1):136-151.

The Homomorphisms of Full Transformation SemigroupT4toT5

TANG Hui, YANG Xiuliang

(College of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Letnbe a positive integer greater than or equal to 1,Tnbe the full transformation semigroup on a finite setXn= {1,2,…,n}. LetTn+1be the full transformation semigroup on a finite setXn+1={1,2,…,n+1}. This paper describes all homomorphisms fromT4toT5whenn=4.

full transformation semigroup; homomorphism; congruence

2015-11-22

楊秀良(1963—)，男，教授，主要從事半群代數(shù)研究.E-mail:yxl@hznu.edu.cn

10.3969/j.issn.1674-232X.2016.05.014

O152.7MSC2010:43A22

A

1674-232X(2016)05-0526-07