一類Rayleigh型平均曲率方程周期解存在與唯一性

陳文斌, 張　猛

(武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，福建 武夷山 354300)

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一類Rayleigh型平均曲率方程周期解存在與唯一性

陳文斌, 張猛

(武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，福建 武夷山 354300)

運(yùn)用重合度理論和一些新的分析方法探討了一類Rayleigh型平均曲率方程周期解存在性與唯一性問題,得到了一些相應(yīng)的新結(jié)果并舉例說明其結(jié)果的有效性.

周期解;平均曲率;重合度定理;Rayleigh

0　引　言

近年來,許多學(xué)者運(yùn)用Mawhin重合度拓展定理對平均曲率方程周期解存在性問題的研究獲得了很多結(jié)果[1-5].例如,在文獻(xiàn)[1]中,Li研究了一類具時滯Rayleigh型平均曲率方程

(1)

通過轉(zhuǎn)化,將(1)轉(zhuǎn)化等價方程組,

(2)

利用重合度理論,得到了方程組(2)至少存在一個T-周期解,從而解決了方程(1)的周期解問題.方程組(2)先驗界估計的過程中,需滿足條件|y|0<1.但文獻(xiàn)[1]中并沒有去驗證這個條件.梁在文獻(xiàn)[2]中研究了一類具有偏差變元的廣義平均曲率方程周期解問題,方程如下:

(3)

對于方程(3),如果下列條件成立:

則問題(3)至少存在一個T-周期解.很明顯,作者對于問題(3)的解決給了足夠復(fù)雜和較多的條件,尤其是條件(A3)非常強(qiáng),在該文章中,這個條件是用來驗證先驗界估計{Ω?{(x1,x2)T∈X:|x1|0

受到上述文獻(xiàn)研究問題的啟發(fā),我們通過使用Mawhin重合度理論和運(yùn)用一些技巧解決了下列一類具有時滯Rayleigh型平均曲率方程

(6)

周期解存在性問題,其中f,g,e∈C(R,R).此外,還證明了該方程周期解唯一性問題.最后，用一實例來說明所得結(jié)果的有效性.

1　主要引理

1)對任意的λ∈(0,1),x∈?Ω∩D(L),均有Lx≠λNx;

2)對任意的x∈KerL∩?Ω,均有QNx≠0;

引理2[7]如果u:R→R是在R上是連續(xù)可微的且a>0,則有下列不等式成立：

為了應(yīng)用引理1,研究下列方程組

(7)

X=Y={x|x=(x1(t),x2(t))Τ∈C(R,R2),x(t)=x(t+T)},

其中D(L)={x|x=(x1(t),x2(t))Τ∈C1(R,R2),x(t)=x(t+Τ)}.

又因為

令

其中

2　主要結(jié)果

首先,為了方便，我們給出下列條件

證明為了使用引理1,考慮下列方程組

(8)

其中λ∈(0,1),將方程組(8)的第一個式子代入到第二式,得到

(9)

(10)

即

(11)

從式(11),知道

(12)

在方程(9)兩邊同時乘以x1(t)且在[0，T]上積分得

(13)

由于

(14)

(15)

(16)

把式(14)(15)(16)代入式(13),有

(17)

式(17)這意味著必存在一個正常數(shù)d1使得

(18)

根據(jù)引理2,有下列等式

(19)

把式(12)(18)代入到式(19),很明顯存在一個正常數(shù)D,使得

|x1|0

(20)

下面,我們來證明|x2|0<1.

由于|x1|0

|-g(x(t-τ(t)))+e(t)|

下面,用反證法證明

(21)

f(x)≥cx,

若式(21)不成立,則總存在t2>t1這樣的時刻,使得

(22)

且對于任意的t∈(t1,t2),都有

(23)

這與式(22)矛盾,所以式(21)成立.類似地,可以證明第二種情況,當(dāng)x<0時

(24)

(25)

即

(26)

在式(26)的第二個式子,兩邊同時乘以c1,得

因此

H(v,μ):(Ω∩KerL)×[0,1]→R:H(v,μ)=μ(x,y)T+(1-μ)JQN(v),

deg{JQN,Ω∩KerL,0}=deg{H(v,0),Ω∩KerL,0}=deg{H(v,1),Ω∩KerL,0}≠0.

下面,我們來證明問題(6)周期解得唯一性.

y3(t)=φ-1(x3(t)),y4(t)=φ-1(x4(t)),

且

u(t)=x3(t)-x4(t),v(t)=y3(t)-y4(t).

現(xiàn)在用反證法證明u(t)≤0,?t∈[0,T]的情形,若不滿足u(t)≤0,?t∈[0,T],則存在一個t0∈[0,T]使得

所以u′(t0)=φ(y3(t0))-φ(y4(t0))=0,這表示y3(t0)=y4(t0)且u″(t0)≤0.但是

u″(t0)=

φ′(y3(t0))-φ′(y4(t0))=

(27)

知式(27)與假設(shè)相矛盾,所以u(t)≤0,?t∈[0,T].類似地,同樣可證明u(t)≥0,?t∈[0,T],所以u(t)≡0,即x3(t)=x4(t),

這樣唯一性證畢.

3　應(yīng)用舉例

(28)

[1] LI J, LUO J L, CAI Y. Periodic solutions for prescribed mean curvature Rayleigh equation with a deviating argument[J]. Adv Differ Equ,2013,2013(1):1-11.

[2] 梁載濤,魯世平.具偏差變元的廣義平均曲率方程周期解問題[J].四川大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2014,51(2):240-247.

[3] LI Z Y, AN T Q, GE W G. Existence of periodic solutions for a prescribed mean curvature Lienard p-Laplaceian equation with two delays[J]. Adv Differ Equ,2014,2014(1):1-10.

[4] WANG D S. Existence and uniqueness of periodic solutions for prescribed mean curvature Rayleigh type p-Laplaceian equation[J]. J Appl Math Comput,2014,46(1-2):181-200.

[5] FENG M Q. Periodic solutions for prescribed mean curvature Lienard equation with a deviating argument[J].Nonlinear Anal: Real Word Appl,2012,13(3):1216-1223.

[6] GAINES R E, MAWHIN J L. Coincidence degree and Nonlinear Differential equation[M]. Berlin: Springer,1977.

[7] TANG X H, XIAO L. Homoclinic solutions for ordinaryp-Laplacian systems with a coercive potential[J]. Nonlinear Anal: Theory, Methods and Applications,2009,71(3):1124-1132.

Existence and Uniqueness of Periodic Solutions for Rayleigh Mean Curvature Equation

CHEN Wenbin, ZHANG Meng

(College of Mathematics and Computer Science, Wuyi University, Wuyishan 354300, China)

In this paper, by using coincidence degree theory and some analysis methods, the existence and uniqueness of periodic solutions for Rayleigh mean curvature equation is studied. Some new results are obtained and demonstrated.

periodic solution; mean curvature; coincidence degree theory; Rayleigh

2015-11-15

福建省中青年教師教育科研項目(JA15524);武夷學(xué)院青年教師科研項目(XQ201305).

陳文斌(1986—)，男，助教，碩士，主要從事微分方程及其應(yīng)用研究.E-mail:cwb210168@126.com.

10.3969/j.issn.1674-232X.2016.05.016

O175.1;O177.92MSC2010:34K13

A

1674-232X(2016)05-0542-07