時空對稱性與守恒律(上篇)
——牛頓力學(xué)

趙凱華

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京　100871)

?

時空對稱性與守恒律(上篇)
——牛頓力學(xué)

趙凱華

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京100871)

艾梅·內(nèi)特宣稱，每一對稱性對應(yīng)一守恒律.本文從時空平移和空間轉(zhuǎn)動對稱性導(dǎo)出牛頓力學(xué)中能量、動量、角動量三大守恒定律.

時空對稱性；參考系；守恒定律

在量子力學(xué)中對稱性與守恒律之間的一般關(guān)系是直截了當(dāng)?shù)?，?nèi)特(E.N?ther)早有論述.在經(jīng)典力學(xué)中有關(guān)時空對稱性與守恒律的關(guān)系，朗道(L.D.Landau)在他有名的理論物理系列教材的《力學(xué)》卷[1]中已有精辟的論證.該書是從作用量的變分出發(fā)的，根據(jù)慣性系時間平移、空間平移和空間轉(zhuǎn)動對稱性找出拉格朗日量函數(shù)的特點，對封閉系分別推演出能量、動量和角動量和三大守恒定律.用最小作用原理來論證不那么直觀，本文將從牛頓力學(xué)的通常表述形式來論證這一問題.

宏觀物體(包括可用牛頓力學(xué)處理的準(zhǔn)宏觀物體)之間的相互作用有彈性力、摩擦力、非理想氣體分子間的相互作用力(如范德瓦爾斯力)、凝聚態(tài)物體的內(nèi)應(yīng)力，以及萬有引力等.除萬有引力外，前面各項從微觀本質(zhì)上看，都不外乎是電磁相互作用.在非相對論近似的牛頓力學(xué)中這些力都可看作是超距力或接觸力，并表現(xiàn)在一個勢函數(shù)U中(下文將引入一個包含速度的廣義勢函數(shù)，可將摩擦力納入其中).本文將U中的外場部分U外視為系統(tǒng)所處時空性質(zhì)的表示，在相對理論中，外場反映在時空度規(guī)里.取牛頓近似時，時空平直，外場化為勢函數(shù).本文討論的是牛頓力學(xué)，外場的勢函數(shù)似乎應(yīng)不屬于時空的性質(zhì)，而時空總是平直的，即具有所有平移和轉(zhuǎn)動的對稱性，從而按照內(nèi)特定理，三大守恒定律都成立，本文就沒有什么可討論的了.然而這里討論的是非封閉系問題，所以才有外場.有外場時能量守恒定律的表現(xiàn)形式為：體系能量的增加等于外力的功.這一陳述通常稱為“功能原理”，認(rèn)為這里能量是不守恒的.狹義的“守恒”是能量不隨時間變化.要想回到“守恒”的狹義概念，則需把外場算到時空的性質(zhì)中，使時空成為不均勻的.這便是本文的作法.

一般說來，這個勢函數(shù)U不僅依賴于時空坐標(biāo)t,r1,r2,…,還會與質(zhì)點的速度v1,v2,…有關(guān).在非相對論情形下作用力與速度有關(guān)的情形有三：一是帶電粒子在磁場中受到的洛倫茲力，二是在旋轉(zhuǎn)參考系中的科里奧利力，三是摩擦力.運動電荷之間的洛倫茲相互作用力不是超距的，要通過與電磁場交換動量來實現(xiàn)，不能在牛頓力學(xué)中處理，我們留到本文下篇中討論.不過帶電粒子在外電磁場中受力的問題，可以在牛頓力學(xué)里討論.旋轉(zhuǎn)參考系可在考察之列.耗散力引起的能量轉(zhuǎn)化超出力學(xué)范圍，我們將不在這里討論.

按照Goldstein的經(jīng)典名著《Classical Mechanics》[2]中所說的，有些力與速度有關(guān)時，系統(tǒng)的總勢函數(shù)要用一種廣義勢函數(shù)U來表示.第i個質(zhì)點受的力Fi與U的關(guān)系是

(1)

現(xiàn)把U分為與速度無關(guān)部分U0和與速度有關(guān)部分ΔU，即U=U0+ΔU.對于在恒外磁場中的帶電粒子，

(2)

對于在旋轉(zhuǎn)參考系中的粒子，

(3)

U0包含外場勢和質(zhì)點間的相互作用勢，不僅通常的兩體作用勢，還有各種可能的多體作用勢.如果時間均勻，U與t無關(guān)；如果空間均勻，則系統(tǒng)等時地整體平移而各質(zhì)點的速度不變，函數(shù)U不變；如果空間對于某點各向同性，則系統(tǒng)等時地整體(包括各質(zhì)點的速度)繞該點旋轉(zhuǎn)任一角度，函數(shù)U不變.

(4)

1　能量守恒定律

(5)

是整個質(zhì)點系統(tǒng)總動能的變化率.勢函數(shù)U的時間變化率為

式(5)化為

(6)

(7)

(8)

2　動量守恒定律

將式(4)移項后再對i求和

(9)

設(shè)想所有質(zhì)點作任何同一位移δl，將上式點乘以δl，

(10)

另外，整個質(zhì)點系統(tǒng)平移δl時引起U的變化為

(11)

而

δri=δl，δvi=0

故

式(10)化為

(12)

如果空間均勻，則δU=0，于是

由于δl是任意的，故有

(13)

如果我們把

(14)

定義為質(zhì)點i的廣義動量，則式(13)可寫成

(15)

這就是質(zhì)點系統(tǒng)的動量守恒定律.對于對磁場中的帶電粒子， pi=mivi+qiA，這就是在磁場中的哈密頓正則動量.只有磁場B均勻時，ΔU才具有空間均勻性，這時系統(tǒng)的總正則動量守恒.對于在旋轉(zhuǎn)參考系中的質(zhì)點，由于存在離心勢，空間明顯不均勻，動量不可能守恒.

3　角動量守恒定律

現(xiàn)在要考慮的是空間各向同性但不一定具有平移不變性的情形，假設(shè)空間對于某個不動點O各向同性.我們?nèi)為坐標(biāo)原點，所有矢徑都是從這里出發(fā)的，所有角動量也是相對這點而言的.空間繞某個不動點的任何微轉(zhuǎn)動，都可看作圍繞某一瞬時軸的轉(zhuǎn)動.(在理論力學(xué)教科書中，討論剛體繞固定點轉(zhuǎn)動時都證明了這一結(jié)論.)用矢量δΩ來表示這個角位移，矢量的方向就是瞬時軸的方向.微轉(zhuǎn)動引起矢徑的增量為

δr=δΩ×r

(16)

這公式對所有質(zhì)點的位矢ri均適用，即δri=δΩ×ri

對于勢函數(shù)U與速度有關(guān)的情況，式(4)移項后點乘以δri，

(17)

對所有質(zhì)點求和，按式(11)，右端等于-δU

(18)

式(18)左端第一項

(19)

(20)

將式(19)、式(20)代入式(18)，我們得到

(21)

式中pi即式(14)中定義的廣義動量.

(22)

這就是整個質(zhì)點系統(tǒng)相對于O點的角動量守恒定律.

若U與速度有關(guān)，譬如有均勻恒定外磁場B，或者在恒定角速度ω的轉(zhuǎn)動參考系中，空間不可能相對于一點球?qū)ΨQ，但繞B或ω的方向軸對稱，這時對于沿此軸方向的任何轉(zhuǎn)動δΩ來說δU=0，從而式(21)化為

(23)

致謝：作者特別感謝陳熙謀教授和朱如曾教授在本文寫作過程中提供的寶貴意見.

[1]朗道，栗弗席茲.力學(xué)[M].5版.北京：高等教育出版社，2007：第二章.

[2]Goldstein H. Classical Mechanics[M].2 ed. Addison-Wesley Pub Co,1980:1-5.

[3]A.P.弗倫奇.牛頓力學(xué)·第二冊[M].郭敦仁、何成鈞，譯.北京：人民教育出版社，1982:147.

[4]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程·力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1995:第二章，2.1節(jié).

Spacetime symmetries and conservation laws (Ⅰ)——Newtonian mechanics

ZHAO Kai-hua

(School of Physics, Peking University，Beijing 100871, China)

Emmy N?ther declared that to every kind of symmetry there is a corresponding conservation law. In the present paper, the conservation laws of energy, momentum and angular momentum in Newtonian mechanics are derived from the translational and rotational spacetime symmetries.

spacetime symmetries; frame of reference; conservation laws

2015-10-09

趙凱華(1930—)，男，浙江杭州人，北京大學(xué)物理學(xué)院教授，2008年獲教育部物理基礎(chǔ)教學(xué)指導(dǎo)委員會和中國物理學(xué)會教學(xué)委員會頒發(fā)的“物理教學(xué)杰出成就獎”.

教學(xué)研究

O 31

A

1000- 0712(2016)01- 0001- 03