單擺的超大振幅振動(dòng)

王成會(huì)，莫潤(rùn)陽(yáng)，邊小兵

(陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安　710062)

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單擺的超大振幅振動(dòng)

王成會(huì)，莫潤(rùn)陽(yáng)，邊小兵

(陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安710062)

基于單擺的動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)初始條件對(duì)單擺的大振幅振動(dòng)進(jìn)行了近似分析，介紹了一種估計(jì)擺振幅接近π的振動(dòng)周期的解析方法. 結(jié)果表明，當(dāng)擺振幅小于2.8rad時(shí)估計(jì)值偏離精確值較多，產(chǎn)生誤差的原因在于采用了線性近似.

單擺；大振幅振動(dòng)；周期

在給定豎直面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的單擺作為一種簡(jiǎn)單的物理模型[1]，對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)振動(dòng)現(xiàn)象具有重要的意義. 首先，擺的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)生活中很常見，如秋千、鐘擺等. 學(xué)生熟悉擺的運(yùn)動(dòng)情景，從擺的運(yùn)動(dòng)入手構(gòu)建振動(dòng)物理模型有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)從生活到科學(xué)的抽象過程和方法，可幫助學(xué)生構(gòu)建科學(xué)思維. 正因?yàn)槿绱耍壳叭匀挥性S多從事物理教學(xué)和科研的同行們不斷深入分析擺的運(yùn)動(dòng)特征[2-7]. 實(shí)際生活中地面上擺的運(yùn)動(dòng)受到很多因素的影響，如地球自轉(zhuǎn)、地球公轉(zhuǎn)、空氣阻力、懸線彈性形變等，可是當(dāng)將擺的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化成物理問題時(shí)，通常忽略這些因素的影響，將生活中的擺抽象成“理想擺(單擺)”，即由一根長(zhǎng)度變化以及質(zhì)量可忽略不計(jì)的長(zhǎng)為l的細(xì)線(或輕桿)懸掛質(zhì)量為m的擺球(質(zhì)點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)，只考慮擺球受到懸線(或輕桿)拉力和重力作用的情形，此時(shí)擺球?qū)⒃谔囟ǖ呢Q直面內(nèi)沿圓弧運(yùn)動(dòng). 單擺的無阻尼振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為[1，2]

(1)

忽略單擺振動(dòng)過程中阻力的影響，系統(tǒng)機(jī)械能守恒. 若選取單擺平衡位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有

(2)

(3)

該式為一橢圓積分[2]，直接計(jì)算通常比較困難，需要借助數(shù)學(xué)軟件通過數(shù)值積分實(shí)現(xiàn). 為方便人們估計(jì)單擺在大振幅振動(dòng)時(shí)的周期，需要對(duì)式(1)和式(2)做近似分析，如將sinθ作泰勒展開保留角位移θ的高階項(xiàng)，利用逐級(jí)近似法可在一定精度上估計(jì)單擺振幅在(0，π/2)之間做大振幅振動(dòng)時(shí)的周期變化[8，9]. 譚志中等利用局部常化三倍角公式給出近似估計(jì)單擺振動(dòng)周期的修正方法[10]，并將結(jié)果同其他近似方法估計(jì)結(jié)果進(jìn)行了比較. 然而，當(dāng)振幅大于π/2時(shí)，前面的方法將不再適用.為此，我們需要發(fā)展更好的估計(jì)振幅大于π/2的擺周期的方法，而本文將介紹一種分析振幅θ0接近π時(shí)的單擺的運(yùn)動(dòng)和振動(dòng)周期的方法.

當(dāng)單擺振幅θ0無限趨近于π時(shí)，sin(θ0/2)≈1，故有

(4)

即為單擺運(yùn)動(dòng)角速度和角位移之間的關(guān)系. 當(dāng)t=0，單擺經(jīng)過平衡位置，則有θ=0，對(duì)式(4)取正號(hào)在初始條件t=0，θ=0下積分[2]，有

θ(t)≈π-4arctan(e-ω0t)

(5)

此式表明，當(dāng)t→-∞時(shí)，擺球角位移-π，而t→∞時(shí)，擺球角位移π. 從數(shù)學(xué)分析看，當(dāng)單擺振幅無限趨近于π時(shí)，周期似乎是無窮大.然而，數(shù)值結(jié)果告訴我們，當(dāng)ω0t=9時(shí)，arctan(e-ω0t)≈0.0001，隨著ω0t增加，arctan(e-ω0t)趨近于零，θ(t)無限趨近于π. 將式(4)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得

(6)

當(dāng)t=0時(shí)，單擺處在平衡位置，其角速度為2ω0，當(dāng)ω0t=π，即t=T0/2時(shí)，角速度約為0.17ω0，而當(dāng)ω0t=2π，即t=T0時(shí)，角速度約為0.0075ω0，可見角速度在T0/2時(shí)間間隔(從T0/2變化到T0)內(nèi)，角速度減小了約22/23，而角位移變化僅為0.17rad. 由此可見，當(dāng)單擺做振幅趨近于π的大振幅振動(dòng)時(shí)，單擺在從平衡位置向正最大角位移運(yùn)動(dòng)的過程中，在此過程后期的運(yùn)動(dòng)非常緩慢，故其周期為有限值，我們可借助于圖像分析技術(shù)研究角位移式(5)或角速度式(6)隨時(shí)間變化的趨勢(shì),在一定精度范圍內(nèi)估計(jì)單擺振幅無限趨近于π時(shí)的振動(dòng)周期. 除圖像分析技術(shù)外，基于式(5)或式(6)，本文將介紹一種很好的解析方法分析擺作振幅超過π/2的振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)行為和周期.

圖1給出了單擺振幅分別為3.1和3.0的振動(dòng)相圖，如實(shí)a和虛線b所示. 比較曲線a和b發(fā)現(xiàn)當(dāng)角位移|θ|<θC時(shí)兩曲線幾乎重合，此處θC為兩曲線重合區(qū)域角位移絕對(duì)值的最大值. 這表明當(dāng)單擺作振幅趨近于π的大振幅振動(dòng)時(shí)振幅變化對(duì)其振動(dòng)周期的影響主要發(fā)生在角位移|θ|≥θC的范圍之內(nèi).

圖1　單擺大振幅振動(dòng)的相軌跡曲線a:θ0=3.1，　曲線b: θ0=3.0

(7)

當(dāng)θ20≈π時(shí)，近似有

(7a)

(8)

根據(jù)無阻尼擺振動(dòng)的對(duì)稱性知，若能估計(jì)單擺從θC變化至θ10所用時(shí)間t2，則此時(shí)單擺周期為T=4(t2+t1). 設(shè)α=π-θ，當(dāng)有α<<1時(shí)，代入式(1)，有[2]

(9)

(10)

(11)

(12)

故

(13)

利用角速度變化關(guān)系，結(jié)合式(6)和式(11)可同樣得到式(13)給出的周期表達(dá)式. 從式(10)和式(11)可以看出，在一級(jí)近似條件下，單擺在其振動(dòng)正負(fù)最大位移附近角位移和角速度隨時(shí)間成指數(shù)增加或減小，但π-θ10越小，形成較大角位移變化所耗時(shí)間就越長(zhǎng)，因此θ10越大，單擺的周期越長(zhǎng).

圖2給出了分別用式(3)和式(13)計(jì)算得到的單擺大振幅振動(dòng)周期變化趨勢(shì)圖.周期計(jì)算式(3)為一橢圓積分，由于在推導(dǎo)過程中沒有引入任何近似處理，故本文將式(3)數(shù)值積分后得到的周期值作為精確值和近似計(jì)算式(13)進(jìn)行比較.圖2中符號(hào)‘◆’代表由式(3)得到的周期值，曲線代表式(13)計(jì)算得到周期值.結(jié)果表明，若單擺振幅大于2.8rad，可用式(13)在一定精度范圍內(nèi)估算單擺大振幅振動(dòng)周期. 可是，當(dāng)單擺振幅小于2.8rad時(shí)，式(13)估算得到的單擺大振幅振動(dòng)期小于式(3)計(jì)算所得周期，估計(jì)值偏小包含兩個(gè)方面的原因:1) 隨著θ10減小，cos(θ10/2)增大，因此采用式(8)估計(jì)得到的t1值偏??；2) 隨著θ10減小，α增大，此時(shí)sinα≈α-α3/6，代入式(1)，可得

(14)

利用逐級(jí)近似法，設(shè)α=α1+α2，有一級(jí)近似解為α1=(π-θ10)coshωt，式中ω=ω0+Δω，代入式(14)，得二級(jí)近似解滿足的方程為

(15)

上式coshωt系數(shù)為零，得

(16)

(17)

因此，當(dāng)θ10減小時(shí)，近似有

(18)

式中k<1，故式(18)估算的t2值大于式(12)估算得到的t2值，即當(dāng)θ10減小時(shí)，由線性近似得到的式(12)估計(jì)值t2偏小.

圖2　單擺大振幅周期變化趨勢(shì)圖.

結(jié)論:本文對(duì)單擺做振幅大于π/2的振動(dòng)做了近似分析，介紹了一種估計(jì)大振幅振動(dòng)周期的方法，并對(duì)此方法的可靠性進(jìn)行了理論分析.結(jié)果表明，本文給出的周期估算式(13)在單擺振幅大于2.8rad時(shí)給出振動(dòng)周期值和式(3)給出的擺周期值相比，相差較小，且振幅越接近π，估計(jì)值越接近(3)式給出的擺周期值; 而當(dāng)單擺振幅小于2.8rad時(shí)估計(jì)值小于(3)式給出的擺周期值，差別形成原因在于分析過程中采用了線性近似.

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Oscillationofasimplependulumwithextremelylargeamplitude

WANGCheng-hui,MORun-yang,BIANXiao-bin

(SchoolofPhysics&InformationTechnology,ShaanxiNormalUniversity,Xi’an,Shaanxi710062,China)

Basedonthedynamicalequationsandtheinitialconditions,theoscillationofasimplependulumwithlargeamplitudeisanalyzedapproximately.Amethodisintroducedtoestimatetheperiodofasimplependulumwithanextremelylargeamplitudewhosevalueisapproachingπ.Theresultsshowthatthedeviationbetweentheexactvalueandestimatedvalueoftheperiodincreaseswiththedecreaseoftheoscillationamplitude.Thelinearapproximationleadstotheincrementoftheerrors.

simplependulum;largeamplitudeoscillation;period

2015-05-26；

2015-08-05

陜西師范大學(xué)教學(xué)改革項(xiàng)目資助

王成會(huì)(1974—)，女，重慶萬州人，陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院副教授，博士，主要從事力學(xué)和理論力學(xué)教學(xué)研究工作，碩士生導(dǎo)師.

O313

A

1000- 0712(2016)01- 0011- 04