基于光學(xué)偏振試驗(yàn)的量子概念分析

栗　軍，許士才，王吉華

(德州學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院，山東 德州　253023)

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基于光學(xué)偏振試驗(yàn)的量子概念分析

栗軍，許士才，王吉華

(德州學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院，山東 德州253023)

量子力學(xué)主要描述微小尺度下事物的行為，許多量子現(xiàn)象與人們?nèi)粘Ｖ苯咏?jīng)驗(yàn)相悖，因而量子力學(xué)的基本概念在教學(xué)過(guò)程中不容易被學(xué)生接受.偏振光實(shí)驗(yàn)是一個(gè)學(xué)生熟知、且實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象直觀的普通物理實(shí)驗(yàn).本文著重從可觀測(cè)量和測(cè)量的角度，通過(guò)對(duì)光學(xué)偏振實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的解釋來(lái)闡述量子概念，使抽象的量子概念落實(shí)到對(duì)具體實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的歸納總結(jié)上來(lái)，有助于初學(xué)者認(rèn)識(shí)和理解量子力學(xué)基本原理.

量子力學(xué)；量子測(cè)量；偏振

量子力學(xué)是近代物理學(xué)的基礎(chǔ)，并且其應(yīng)用領(lǐng)域已延伸至化學(xué)、生物等許多交叉學(xué)科當(dāng)中，這一課程已成為當(dāng)今大學(xué)生物理教學(xué)中一個(gè)極為重要的組成部分.由于量子力學(xué)主要是描述微觀世界結(jié)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)與變化規(guī)律的學(xué)科，微小尺度下的許多自然現(xiàn)象與人們?nèi)粘Ｉ罱?jīng)驗(yàn)相距甚遠(yuǎn)，量子力學(xué)的概念有悖于人們的直覺(jué)，難以被初學(xué)者接受.如果在教學(xué)中能夠結(jié)合具體的物理實(shí)驗(yàn)，從現(xiàn)象到本質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生思考，就可以使抽象的量子概念落實(shí)到對(duì)具體實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的歸納總結(jié)上來(lái).

偏振光實(shí)驗(yàn)是一個(gè)現(xiàn)象直觀而且學(xué)生容易操作的普通物理實(shí)驗(yàn)，在學(xué)生掌握的已有知識(shí)基礎(chǔ)上，進(jìn)行新內(nèi)容的教學(xué)，符合初學(xué)者的認(rèn)知規(guī)律.利用光的偏振現(xiàn)象來(lái)闡述量子力學(xué)基本概念已被一些國(guó)內(nèi)外經(jīng)典教材采納，如物理學(xué)大師狄拉克所著的《量子力學(xué)原理》[1]，費(fèi)因曼所著的《費(fèi)因曼物理學(xué)講義》[2]，曾謹(jǐn)言教授所著的《量子力學(xué) 卷1》[3]，趙凱華、羅蔚茵教授合著的《量子物理》[4]等教材.在本文中，筆者結(jié)合自己的教學(xué)體驗(yàn)，著重從可觀測(cè)量和測(cè)量的角度來(lái)考慮問(wèn)題，在以上經(jīng)典教材的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步整理和挖掘光子偏振所能體現(xiàn)的量子力學(xué)基本概念.從量子力學(xué)的角度對(duì)偏振實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行分析，使同學(xué)們對(duì)態(tài)空間、量子力學(xué)表象、波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋、態(tài)疊加原理等量子力學(xué)概念有一個(gè)直觀形象的認(rèn)識(shí)，領(lǐng)會(huì)量子力學(xué)若干基本假定的內(nèi)涵思想.最后，從量子角度分析了一個(gè)有趣的偏振光實(shí)驗(yàn)，

加深學(xué)

生對(duì)量子力學(xué)基本概念的理解，并展示了量子力學(xué)的奇妙特性.

1　偏振光實(shí)驗(yàn)的經(jīng)典解釋

如圖1(a)所示，沿著光線傳播的方向，順次擺放兩個(gè)偏振片P1、P2.光束經(jīng)過(guò)P1后變?yōu)榕c其透振方向一致且光強(qiáng)為I0的偏振光.兩偏振片P1和P2的透振方向之間夾角為θ，由馬呂斯定律可知，透過(guò)偏振片P2的光的強(qiáng)度為I0cos2θ.按照經(jīng)典的光學(xué)理論，此現(xiàn)象可理解如下：在一個(gè)與光傳播方向垂直的平面內(nèi)選定一個(gè)xy平面直角坐標(biāo)系，這里為了描述問(wèn)題的方便，選定x軸沿P2的透振方向.如圖1(b)所示，透過(guò)偏振片P1的光電場(chǎng)矢量E可分解為兩個(gè)分量：沿x方向振動(dòng)的電場(chǎng)矢量Ex和沿y方向振動(dòng)的電場(chǎng)矢量Ey.偏振光照射到P2偏振片時(shí)，投影到y(tǒng)方向的電場(chǎng)矢量被吸收，投影到x方向的電場(chǎng)矢量透過(guò)，振幅增加了一個(gè)常數(shù)因子cosθ，因而強(qiáng)度變?yōu)樵瓉?lái)的cos2θ倍，這正是馬呂斯定律所給出的結(jié)果.

圖1

2　偏振光實(shí)驗(yàn)體現(xiàn)的量子力學(xué)概念

下面我們由偏振光的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象出發(fā)，引出量子態(tài)、態(tài)空間等量子概念，并用量子力學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述單個(gè)光子與偏振片發(fā)生相互作用的過(guò)程，討論在多個(gè)光子情況下的量子行為與馬呂斯定律的一致性.

2.1量子態(tài)

從實(shí)驗(yàn)得知，當(dāng)線偏振光用于激發(fā)光電子時(shí)，激發(fā)出的光電子分布有一個(gè)優(yōu)越的方向(與光偏振方向有關(guān))，根據(jù)光電效應(yīng)，每個(gè)電子的發(fā)射對(duì)應(yīng)吸收一個(gè)光子，可見(jiàn)，光的偏振性質(zhì)是與它的粒子性質(zhì)緊密聯(lián)系的，人們必須把線偏振光看成是在同一方向上偏振的許多光子組成，這樣我們可以說(shuō)單個(gè)光子處在某個(gè)偏振態(tài)上.沿x方向偏振的光束里，每個(gè)光子處在|x〉偏振態(tài)，沿y方向偏振的光束中，每個(gè)光子處在|y〉偏振態(tài).假設(shè)我們?cè)趯?shí)驗(yàn)中把光的強(qiáng)度降到足夠低，以至于光子是一個(gè)一個(gè)到達(dá)偏振片的.在圖1所示的例子中，通過(guò)P1偏振片的光子處在沿P1透振方向的偏振態(tài)上，如果P2與P1透振方向一致(θ=0)，則此光子完全透過(guò)P2，如果P2與P1透振方向正交(θ=π/2)，則被完全吸收.如果P1與P2透振方向之間角度介于兩者之間，會(huì)是一種什么樣的情形，會(huì)不會(huì)有部分光子被吸收，部分光子透過(guò)的情況發(fā)生，但是實(shí)驗(yàn)上從來(lái)沒(méi)有觀察到部分光子的情形，只存在兩種可能的情況：光子變到量子態(tài)|y〉，被整個(gè)吸收；或變到量子態(tài)|x〉，完全透過(guò).下面我們用量子力學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述單個(gè)光子與偏振片發(fā)生相互作用的過(guò)程，引入量子測(cè)量、態(tài)空間、表象、態(tài)疊加原理、波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋等量子概念.

2.2量子測(cè)量、態(tài)空間、表象

單個(gè)光子與偏振片發(fā)生相互作用的過(guò)程，可以看成是一個(gè)量子測(cè)量的過(guò)程，偏振片作為一個(gè)測(cè)量裝置，迫使光子的偏振態(tài)在透振方向和與其相垂直的方向上作出選擇，測(cè)量的結(jié)果只有兩個(gè)，透過(guò)或被吸收，透過(guò)光子的偏振方向與透振方向一致，被吸收光子的偏振方向與透振方向垂直，可見(jiàn)光子經(jīng)過(guò)測(cè)量后只可能處在兩種偏振狀態(tài)，這正是量子特性的反應(yīng).在量子力學(xué)中，針對(duì)一個(gè)具體的量子體系，對(duì)某一力學(xué)量進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量后得到的值是這一力學(xué)量的本征值，我們稱(chēng)它為本征結(jié)果，相應(yīng)的量子態(tài)坍縮到此本征結(jié)果所對(duì)應(yīng)的本征態(tài)上，所有可能的本征態(tài)則構(gòu)成一組正交、規(guī)一、完備的本征函數(shù)系，此本征函數(shù)系足以展開(kāi)這個(gè)量子體系的任何一個(gè)量子態(tài).很自然，我們?cè)谶@里把經(jīng)過(guò)偏振片測(cè)量后，所得到的兩種可能測(cè)量結(jié)果(透過(guò)或吸收)作為本征結(jié)果，它們分別對(duì)應(yīng)的兩種偏振狀態(tài)，此兩種偏振狀態(tài)可以作為正交、規(guī)一、完備的函數(shù)系，組成一個(gè)完備的態(tài)空間，任何偏振態(tài)都可以按照這兩種偏振態(tài)來(lái)展開(kāi)，展開(kāi)系數(shù)給出一個(gè)具體的表示，這就涉及到量子力學(xué)表象問(wèn)題.

在量子力學(xué)中，如果要具體描述一個(gè)量子態(tài)通常要選擇一個(gè)表象，表象的選取依據(jù)某一個(gè)力學(xué)量(或力學(xué)量完備集)的本征值(或各力學(xué)量本征值組合)所對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)系，本征函數(shù)系作為正交、規(guī)一、完備的基矢組可以用來(lái)展開(kāi)任何一個(gè)量子態(tài)，展開(kāi)系數(shù)的排列組合給出某一個(gè)量子態(tài)在具體表象中的表示.結(jié)合我們的例子，組成基矢組的兩種偏振狀態(tài)取決于和光子發(fā)生相互作用的偏振片，具體說(shuō)來(lái)是由偏振片的透振方向決定.在具體分析問(wèn)題時(shí)，為了處理問(wèn)題的方便，光子與哪一個(gè)偏振片發(fā)生相互作用，在數(shù)學(xué)形式上，就把光子的偏振狀態(tài)按照此偏振片所決定的基矢組展開(kāi)，這涉及到怎么合理選擇表象的問(wèn)題.

2.3態(tài)疊加原理、波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋

以上簡(jiǎn)單的試驗(yàn)也可以作為一個(gè)形象的例子來(lái)說(shuō)明量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理.態(tài)疊加原理的一種表述為[5]：設(shè)系統(tǒng)有一組完備集態(tài)函數(shù){φi},i=1,2,...,t，則系統(tǒng)中的任意態(tài)|ψ〉，可以由這組態(tài)函數(shù)線性組合( 疊加) 而成，即

(1)

另一種描述為：如果{φi},i=1,2,...,t是體系可以實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)( 波函數(shù))，則它們的任何線性疊加式總是表示體系可以實(shí)現(xiàn)的狀態(tài).在我們的例子中，任何一個(gè)偏振片所對(duì)應(yīng)的透振態(tài)和吸收態(tài)構(gòu)成完備集態(tài)函數(shù)，任何一個(gè)偏振態(tài)都能夠在以此偏振片透振方向所決定的基矢組中展開(kāi)，參照?qǐng)D1所示，通過(guò)偏振片P1的偏振態(tài)可以在以偏振片P2透振方向所決定的基矢組{|x〉,[y)}中表示為

|P1〉=cosθ|x〉+sinθ|y〉

(2)

相反， |x〉、|y〉基矢的任意疊加態(tài)也都是光子可能實(shí)現(xiàn)的偏振態(tài).

量子力學(xué)還假定，當(dāng)物理體系處于疊加態(tài)式(1)時(shí)，可以認(rèn)為體系處于φi量子態(tài)的概率為|ci|2.從前面的分析我們知道，當(dāng)用偏振片P2對(duì)偏振態(tài)|P1〉進(jìn)行測(cè)量時(shí)，此狀態(tài)隨機(jī)地坍縮到|x〉偏振態(tài)或|y〉偏振態(tài)，坍縮到|x〉偏振態(tài)的概率為cos2θ，也就是單個(gè)光子透過(guò)偏振片的概率，多次統(tǒng)計(jì)的結(jié)果恰好與馬呂斯定律相對(duì)應(yīng)，這充分體現(xiàn)了波函數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)解釋.

3　典型例子

在教學(xué)中我們可以引入一個(gè)有趣形象的例子，進(jìn)一步加深對(duì)量子力學(xué)基本概念的理解.如圖2(a)所示，一束光入射到兩個(gè)順序排列的偏振片上，偏振片P3的透振方向相對(duì)于偏振片P1的透振方向順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)90°角，我們不妨在一個(gè)與光傳播方向垂直的平面內(nèi)選定一個(gè)xy平面直角坐標(biāo)系，P1的透振方向沿x軸，P3的透振方向沿y軸.光通過(guò)偏振片P1后變成光強(qiáng)為I0的偏振光，偏振方向與偏振片P1透振方向平行，但與P3的透振方向垂直，則光完全被偏振片P3吸收，不能透過(guò).下面我們將看到一個(gè)有趣的現(xiàn)象，在偏振片P1和偏振片P3間插入一個(gè)偏振片P2，其透振方向在P1和P3之間，這時(shí)光竟可以透過(guò)P3偏振片.對(duì)此試驗(yàn)，我們可由馬呂斯定律給出經(jīng)典的解釋.我們不妨設(shè)P2的透振方向相對(duì)于P1順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)45°角，通過(guò)偏振片P1后，變?yōu)楣鈴?qiáng)是I0的偏振光，且偏振方向與P1透振方向一致；再通過(guò)偏振片P2后，光強(qiáng)變?yōu)镮0/2，偏振方向沿順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)45°角，與偏振片P2透振方向一致；最后通過(guò)偏振片P3后，光強(qiáng)進(jìn)一步減弱為I0/4，偏振方向又沿順時(shí)針改變45°角，與偏振片P3透振方向一致.可以看到一個(gè)有趣的現(xiàn)象，雖然介于偏振片P1和P2間的光束其偏振方向與偏振片P3的透振方向正交，但最后透過(guò)偏振片P3的光束其偏振方向卻恰恰沿偏振片P3的透振方向，這正是中間偏振片P2所起的作用.

圖2　裝置示意圖

下面用我們前面分析偏振光與偏振片相互作用過(guò)程中，所建立起來(lái)的量子概念給出具體解釋.取直角坐標(biāo)系xy，x軸沿偏振片P1的透振方向，基矢組為{|x〉,[y)}；由偏振片P2的透振方向所決定的基矢組為{|x′〉,[y′)}，其透振方向沿x′方向，如圖3所示，兩組基矢之間的關(guān)系可表示為

(3)

由偏振片P3所決定的基矢組仍為{|x〉,|y〉}，不過(guò)透過(guò)的光子處在|y〉基矢態(tài).

圖3　兩組基矢之間的關(guān)系示意圖

光子透過(guò)偏振片P1后，其偏振狀態(tài)處在|x〉態(tài)，由式(3)，此狀態(tài)可以按P2的基矢組展開(kāi)為

(4)

根據(jù)式(4)，經(jīng)過(guò)P2偏振片的測(cè)量，光子有1/2的概率坍縮到|x′〉態(tài)，光子透過(guò)P2，有1/2的概率坍縮到|y′〉態(tài)，光子被吸收.由式(3)，|x′〉態(tài)在由偏振片P3所決定的基矢組同樣展開(kāi)為

(5)

針對(duì)式(5)描述的光子偏振態(tài)，在偏振片P3的測(cè)量下，偏振狀態(tài)發(fā)生改變，有1/2的概率坍縮到|y〉態(tài)，透過(guò)偏振片，有1/2的概率坍縮到|x〉態(tài)，被偏振片吸收，總體來(lái)說(shuō)透過(guò)偏振片P1的光子有1/4的概率透過(guò)偏振片P3，與經(jīng)典的馬呂斯定律相一致.特別注意到光子透過(guò)偏振片P1后，狀態(tài)為|x〉態(tài)，與|y〉態(tài)正交，沒(méi)有|y〉態(tài)的組分，但光子透過(guò)偏振片P3后卻正處在|y〉態(tài)，這充分體現(xiàn)了測(cè)量可以使量子態(tài)改變的量子假定，展示了量子測(cè)量的奇妙特性.

4　總結(jié)

結(jié)合對(duì)偏振光實(shí)驗(yàn)的量子解釋?zhuān)?/p>

我們分析了若

干重要的量子力學(xué)概念.但嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，光子的問(wèn)題不屬于量子力學(xué)問(wèn)題，只有在量子場(chǎng)論中才能處理. 采用光子的偏振情形來(lái)討論某些量子概念，理論上雖稍欠嚴(yán)謹(jǐn)，但如上文所述，確實(shí)能夠直觀形象地反映量子力學(xué)中的若干基本假定，使抽象的量子力學(xué)概念落實(shí)到對(duì)具體實(shí)驗(yàn)的分析中來(lái)，易于被初學(xué)者接受，我們不妨在學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)量子力學(xué)時(shí)引入此例，有助于學(xué)生理解抽象的量子概念，領(lǐng)會(huì)量子力學(xué)的思維方式.

[1]狄拉克. 量子力學(xué)原理[M].北京:科學(xué)出版社，1966.

[2]費(fèi)因曼.費(fèi)因曼物理學(xué)講義[M].上海:上?？茖W(xué)出版社，2005.

[3]曾謹(jǐn)言.量子力學(xué) 卷1. [M].北京:科學(xué)出版社，2006.

[4]趙凱華,羅蔚茵.量子物理[M].北京:高等教育出版社，2001.

[5]錢(qián)伯初.量子力學(xué)[M].北京:高等教育出版社，2006.

Analysis of quantum concept based on optical polarization experiment

LI Jun, XU Shi-cai, WANG Ji-hua

(College of Physics and Electronic Information，Dezhou University，Dezhou，Shandong 253023，China)

Quantum mechanics mainly describes the behavior of things at the micro scale. Many quantum phenomena are contrary to daily direct experience, so the basic concept of quantum mechanics is not easy to be understood by students in the course of teaching. Polarized light experiment is a common physical experiment, which is familiar to students, and the experimental phenomenon is intuitive. Focusing on the perspective of observable and measurement, this paper illustrates quantum concepts through the explanation of the phenomenon of optical polarization experiment. In this way, the abstract quantum concepts can be embodied in the analysis of the concrete experimental phenomenon, which will help students understand the basic principles of quantum mechanics.

quantum mechanics; quantum measurement; polarization

2015-07-28；

2015-11-04

國(guó)家自然科學(xué)基金(11304031)資助

栗軍(1978—)，男，山東禹城人，德州學(xué)院物理與電子信息學(xué)院副教授，博士，主要從事量子力學(xué)教學(xué)及量子輸運(yùn)方向的研究工作.

O 413.1

A

1000- 0712(2016)03- 0005- 03