夫瑯禾費衍射的線性變換計算

張文玉，戴又善

(浙江大學 城市學院，浙江 杭州　310015)

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夫瑯禾費衍射的線性變換計算

張文玉，戴又善

(浙江大學 城市學院，浙江 杭州310015)

夫瑯禾費衍射在二維小孔的線性變換下具有簡單的變換特性，利用線性變換的方法簡便求得了位于坐標系中任何位置的任意三角形小孔和任意平行四邊形小孔夫瑯禾費衍射復振幅的一般解析表達式，從而提供了一種普遍的方法，無需通過積分計算而僅由代數(shù)運算來求得任意多邊形小孔夫瑯禾費衍射光強分布的解析表達式.作為應用例子討論了正六邊形小孔夫瑯禾費衍射的光強分布，并依據(jù)所得解析結果進行了計算機模擬.

夫瑯禾費衍射；線性變換；三角形小孔；平行四邊形小孔；正六邊形小孔

二維小孔的衍射問題通常是基于基爾霍夫衍射公式來討論[1]，但基爾霍夫衍射公式的數(shù)學運算比較復雜，在討論具體問題時也常需做各種計算近似，這導致對許多典型小孔的衍射通常并不能給出簡明的解析結果而是求助于近似數(shù)值計算[2,3].由于夫瑯禾費衍射是一種遠場衍射，其入射光和衍射光都為平行光，這使得夫瑯禾費衍射既能反映出衍射的一些基本特征，又具有特殊的簡單性. 研究夫瑯禾費衍射的復振幅(以下簡稱振幅)和光強分布通常需要進行二維復積分計算，特別是對于復雜幾何圖形的小孔衍射，計算將變得更為冗長.而利用小孔的幾何對稱性來討論二維小孔夫瑯禾費衍射問題將可以極大的簡化計算，對此我們在先前文獻中已討論過小孔的某些對稱變換特性[4,5].本文則將進一步通過一般線性變換的方法，利用統(tǒng)一的線性變換矩陣來討論小孔的幾何對稱變換，從而可以在避開復雜的基爾霍夫衍射公式計算的情況下，提供一種無需積分計算而僅通過代數(shù)運算來解析求得各種二維小孔夫瑯禾費衍射振幅和光強分布的普遍方法.

任何由直線構成的幾何小孔都可以分解為若干個三角形小孔，或者分解為若干個三角形小孔和平行四邊形小孔的組合(平行四邊形小孔和三角形小孔都具有3個獨立坐標頂點，由于平行四邊形小孔相比于三角形小孔更具有對稱性，因

而其衍射振幅的公式將更為簡單).雖然計算給定的三角形小孔和平行四邊形小孔的衍射振幅并不太難，但分解多邊形小孔則需要確定任何位置和任意形狀的三角形小孔和平行四邊形小孔，因此研究任意三角形小孔和任意平行四邊形小孔的衍射就構成了研究一般多邊形小孔衍射的基礎.利用二維小孔在線性變換下夫瑯禾費衍射振幅的變換特性，則無需再進行具體積分運算就可求得變換后相應小孔夫瑯禾費衍射的振幅和光強分布.為此本文首先計算了一個最簡單基本的等腰直角三角形小孔的夫瑯禾費衍射，然后通過對該小孔的適當線性變換，簡便求得了位于坐標系中任何位置的任意三角形小孔的夫瑯禾費衍射振幅公式；另外通過計算一個最簡單基本的正方形小孔的夫瑯禾費衍射，同樣通過對該正方形小孔的適當線性變換，簡便求得了位于坐標系中任何位置的任意平行四邊形小孔的夫瑯禾費衍射振幅公式.需要指出的是由于衍射振幅中三角函數(shù)的表達形式并不是唯一的，采用不同的積分過程得到的衍射振幅在表達形式上也將是不相同的，但通過選取適當線性變換的方法能夠非常簡便地尋求到衍射振幅最簡單的解析表達形式，從而利用本文提供的小孔線性變換的方法和計算結果，原則上無需再進行積分計算而僅由代數(shù)運算就能夠給出任意多邊形小孔夫瑯禾費衍射振幅和光強分布的一般解析表達式.

1　夫瑯禾費衍射振幅與線性變換

對于二維小孔的夫瑯禾費衍射，觀察屏上的任一點P，其衍射角可以用兩個參數(shù)來描寫，不妨取為θx和θy，如圖1所示(圖中省略未畫出起會聚平行光作用的凸透鏡).由圖2及文獻[5],給出了二維小孔的夫瑯禾費衍射復振幅(以下簡稱振幅)為

圖1　夫瑯禾費小孔衍射

圖2　夫瑯禾費衍射光程差

(1)

上式中

(2)

若對二維小孔S作一般的線性變換，變成新的小孔S′

(3)

令r′=x′i′+y′j′，r=xi+yj，r0=x0i+y0j，即有

(4)

小孔面積元的變換為

dS′=dx′dy′=|J|dxdy=|J|dS

(5)

其中J為相應線性變換的雅可比行列式，對于線性變換其值為常數(shù)

(6)

則小孔面積變換為

S′=∫dS′=∫|J|dS=|J|∫dS=|J|S

(7)

設原小孔S的衍射振幅為E(α,β)，經(jīng)線性變換后的小孔S′的衍射振幅為E′(α,β)，則有

(8)

即有

(9)而對于r0=0的齊次線性變換，則有E′(α,β)=E(α′,β′)=E(aα+cβ,bα+dβ).以上我們給出了二維小孔在一般線性變換下夫瑯禾費衍射振幅的變換特性公式，下面討論幾種常見的線性變換特例.1) 旋轉變換

(10)

引進旋轉變換矩陣

(11)

E(αcosφ-βsinφ,αsinφ+βcosφ)

(12)

2) 平移變換

對小孔S的位置整體進行平移r0=x0i+y0j，平移變換后的小孔矢徑為r′=r+r0，則U=I；平移后小孔S′的衍射振幅為

E′(α,β)=ei2(x0α+y0β)E(α,β)

(13)

由于光強正比于振幅模的平方，因此對小孔的整體平移并不改變衍射的光強分布|E′(α,β)|2=|E(α,β)|2.

3) 拉伸變換

(14)

拉伸變換后小孔S′的衍射振幅為

(15)

若考慮拉伸方向與x軸的夾角為φ，拉伸幅度為k0(為常數(shù))，相應的拉伸變換矩陣為

Uφ(k0)=UR(-φ)Ux(k0)UR(φ)=

(16)

則拉伸變換后小孔S′的衍射振幅

(17)

其中

(19)

4) 放大(縮小)變換

(20)

放大(縮小)變換后小孔S′的衍射振幅為

(21)放大(縮小)變換相當于同時對x方向和y方向進行相同比例的拉伸變換，k0=-1則為空間反演變換.

2　任意三角形小孔的夫瑯禾費衍射

(22)

圖3　等腰直角三角形小孔的衍射

對于處在坐標系中任何位置和任意形狀的三角形小孔，設其3個頂點的坐標分別為A(x0,y0)、B(x1,y1)、C(x2,y2)，其衍射振幅記為E△(α,β)；先將頂點A(x0,y0)平移到坐標原點，則三角形3個頂點的坐標將分別變?yōu)锳′(0,0)、B′(x1-x0,y1-y0)、C′(x2-x0,y2-y0)，見圖4.設其衍射振幅為E′(α,β)，則有

圖4　任意三角形小孔的衍射

(23)

選擇線性變換矩陣U，滿足

(24)

(25)

即可具體確定相應的線性變換矩陣為

(26)

則有

(27)

上式中

(28)

由式(23)、(27)和基本等腰直角三角形小孔的衍射振幅式(22)可得任意三角形小孔的夫瑯禾費衍射振幅為

(29)

(30)

(31)

圖6　等腰和等邊三角形小孔的夫瑯禾費衍射計算機模擬

3　任意平行四邊形小孔的夫瑯禾費衍射

首先計算一個最簡單的基本平行四邊形小孔即正方形小孔的衍射振幅E0(α,β)，設正方形小孔的邊長都為單位長度1，小孔的面積為S=1，如圖7所示，則有

圖7　正方形小孔的衍射

(32)

對于處在坐標系中任意位置和任意形狀的平行四邊形小孔，設其四個頂點的坐標分別為A(x0,y0)、B(x1,y1)、C(x2,y2)、D(x3,y3)，其衍射振幅為E?(α,β)；先將頂點A(x0,y0)平移到坐標原點，則平行四邊形四個頂點的坐標將分別變?yōu)锳′(0,0)、B′(x1-x0,y1-y0)、C′(x2-x0,y2-y0)、D′(x3-x0,y3-y0)，見圖8.設其衍射振幅為E′(α,β)，則有

圖8　任意平行四邊形小孔的衍射

(33)

選擇線性變換矩陣U，滿足

(34)

(35)

即可具體確定相應的線性變換矩陣為

(36)

因為對于平行四邊形有關系式x3+x0=x1+x2, y3+y0=y1+y2, 即平行四邊形4個頂點只有3個頂點的坐標是獨立的，則有

(37)

由此可知，線性變換矩陣U可將方孔變換到所求的平行四邊形小孔，則有

(38)

由式(33)、(38)和基本正方形小孔的衍射振幅式(32)，可得任意平行四邊形小孔的夫瑯禾費衍射振幅為

E?(α,β)=ei2(x0α+y0β)E0(α′,β′)=

(39)

代入α′、β′的表達式

(40)

可得

E?(α,β)=Emei[(x1+x2)α+(y1+y2)β]·

(41)

(42)

圖9　菱形小孔的衍射

(43)

(44)

圖10為旁軸近似條件下相應于式(44)的菱形小孔夫瑯禾費衍射的計算機模擬圖像.其中圖10(a)為b=3a的菱形小孔衍射圖像；圖10(b)為b=a的正菱形小孔衍射圖像，即為旋轉了45°的方孔衍射圖像.

圖10　菱形小孔的夫瑯禾費衍射計算機模擬

4　 正六邊形小孔的夫瑯禾費衍射

一個任意的多邊形小孔總可以分解為若干個三角形小孔，而在某些情況下則可分解為若干個三角形小孔和平行四邊形小孔的組合.因此求得了任意三角形小孔和任意平行四邊形小孔的衍射振幅公式，原則上無需再進行積分計算僅通過代數(shù)運算就可以得到任意多邊形小孔衍射振幅的解析表達式.作為一個簡單的典型應用例子，本小節(jié)將討論邊長為a的正六邊形小孔的夫瑯禾費衍射振幅和光強分布.

利用前面已給出的衍射振幅公式，首先計算一個等腰三角形小孔(Ⅰ)和一個平行四邊形小孔(Ⅱ)的夫瑯禾費衍射振幅，見圖11. 所選取的小孔(Ⅰ)和(Ⅱ)都是以坐標原點為頂點，且等腰三角形小孔(Ⅰ)具有相對y軸的對稱性，而平行四邊形小孔(Ⅱ)具有相對x軸的對稱性，這樣充分利用了小孔的對稱性能夠進一步簡化衍射振幅的計算和表達式.

圖11　正六邊形小孔的衍射

(45)

上式的實部為

(46)

(47)

(49)

圖12　正六邊形小孔的夫瑯禾費衍射計算機模擬

對于復雜小孔的衍射通常是通過計算機編程利用數(shù)值計算的方法來近似求解，本文則提供了一種無需積分計算的解析求解方法，而對于小孔衍射的計算機模擬由于是基于光強分布的解析表達式，因而無需特別編程就可利用Mathematica等通用數(shù)學軟件對光強分布的解析公式直接進行亮度模擬，相比于完全數(shù)值求解的計算機模擬具有模擬速度快、計算精度高以及便于參數(shù)調(diào)節(jié)等顯著優(yōu)點，從而能夠更好地直觀了解各種小孔夫瑯禾費衍射的光強分布特點.

本文利用二維小孔在一般線性變換下夫瑯禾費衍射振幅的變換特性[見公式(9)]，通過小孔線性變換的方法，給出了坐標系中處于任何位置的任意三角形小孔和任意平行四邊形小孔的夫瑯禾費衍射振幅公式.由于三角形和平行四邊形是幾何圖形的構成基礎，一個由直線構成的任意幾何圖形總可以分解為若干個三角形，或者分解為若干個三角形加平行四邊形的組合(由于平行四邊形小孔相比于三角形小孔具有更為簡單的衍射振幅表達式)，因而利用本文給出的小孔線性變換的方法和結果，提供了一種普遍的解析計算方法，原則上已無需再作積分計算而僅由代數(shù)運算就能夠給出任意多邊形小孔夫瑯禾費衍射光強分布的一般解析表達式.而充分利用小孔的對稱特性則能夠進一步簡化衍射振幅的計算,本文在最后小節(jié)中給出了一個正六邊形小孔夫瑯禾費衍射的計算應用舉例，限于篇幅更多的應用將在另文中討論.

[1]葉玉堂，繞建珍，肖峻，等. 光學教程[M].北京：清華大學出版社, 2005.

[2]戴兵，賀安之，等.一類與橢圓和矩形相關的孔徑的夫瑯禾費衍射研究[J].大學物理，2003，22(3) : 5-8.

[3]謝嘉寧，趙建林，陳偉成，等.夫瑯禾費衍射的計算機仿真[J].大學物理，2004，23(3) : 51-54.

[4]戴又善，戴亮.推導圓孔夫瑯禾費衍射光強分布的一種簡便方法[J].大學物理，2009，28(4) : 29-32.

[5]戴又善.二維小孔的對稱變換與夫瑯禾費衍射光強分布[J].大學物理，2011，30(11) : 22-27.

Calculate of Fraunhofer diffraction by linear transformation

ZHANG Wen-yu, DAI You-shan

(Zhejiang University City College, Hangzhou, Zhejiang 310015, China)

Fraunhofer diffraction transforms in a simple way under a linear deformation of the shape of the two-dimensional aperture. Based on simple linear transformation, we derive general analytic expressions for the diffraction amplitude in the case of triangular and rhomboidal apertures of arbitrary shape at any given position in a coordinate system. Without performing integration, we solve the Fraunhofer diffraction by any polygon aperture of any shape, through purely algebraic operations. As an example, we apply the present method to find the diffraction intensity distribution for a regular hexagon aperture, and simulate it on a computer based on our analytical results.

Fraunhofer diffraction；linear transformation；triangle aperture；parallelogram aperture；regular hexagon aperture

2015-07-15；

2016-03-24

浙江大學城市學院大學生科研課題(X2016521006)資助

張文玉(1994—)，女，四川成都人，浙江大學城市學院計算分院2013級本科生.

O 436.1

A

1000- 0712(2016)07- 0047- 09