時變線性系統(tǒng)的系統(tǒng)建模與虛擬仿真教學

楊宗長

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時變線性系統(tǒng)的系統(tǒng)建模與虛擬仿真教學

楊宗長[1]

（湖南科技大學 信息與電氣工程學院，湖南 湘潭 411201）

時變線性系統(tǒng)是信息處理相關(guān)課程教學的擴展內(nèi)容，而其解往往不能寫成解析解的形式，因而其數(shù)值解法是教學與科研中的一個基本問題．利用狀態(tài)空間分析法，以實現(xiàn)對時變線性系統(tǒng)的系統(tǒng)建模，利用計算機虛擬仿真技術(shù)，可直觀便捷地完成系統(tǒng)的虛擬仿真并得到其系統(tǒng)響應的數(shù)值解．在Matlab/Simulink圖形交互式之虛擬仿真環(huán)境中，進行了時變線性系統(tǒng)的系統(tǒng)建模與虛擬仿真設(shè)計與實驗．實驗結(jié)果表明，其仿真建模過程直觀明了，可操作性強，求解方法便捷可行．

計算機化教學；線性時變系統(tǒng)；虛擬仿真；Matlab/Simulink；數(shù)值求解

理想的線性時不變系統(tǒng)（Linear Time-invariant Systems，LTIS），是信號與系統(tǒng)課程教學內(nèi)容中一個核心概念[1-5]．而現(xiàn)實世界以及工程實踐中，時變線性系統(tǒng)或稱線性時變系統(tǒng)（Linear Time-variant Systems， LTVS）亦更為常見．因而在科學研究和工程應用中，求解時變線性系統(tǒng)（LTVS）非常重要．同時在信號與系統(tǒng)課程教學中，引入時變線性系統(tǒng)（LTVS）的相關(guān)教學內(nèi)容亦非常必要．而時變線性系統(tǒng)（LTVS）的解往往不能寫成解析解的形式，因而數(shù)值求解法對于線性時變系統(tǒng)（LTVS）非常重要．隨著計算機技術(shù)的快速發(fā)展和廣泛應用，計算機仿真（Computer-based simulation，CBS）[6-8]為科學研究以及工程應用領(lǐng)域中眾多問題的求解，提供了一種強有力的工具．利用狀態(tài)空間分析法和計算機虛擬仿真技術(shù)，可以便捷直觀地實現(xiàn)對時變線性系統(tǒng)建模及其系統(tǒng)響應之數(shù)值求解．

目前，由美國Mathworks公司發(fā)布的Matlab[9]成為了當今國際主流的科學計算與仿真軟件之一．在其Simulink的虛擬仿真環(huán)境中，它提供了面向眾多科學與工程領(lǐng)域的相關(guān)功能模塊，可對目標系統(tǒng)進行有效準確的系統(tǒng)建模以及虛擬仿真，并得到其數(shù)值解．設(shè)給定某時變連續(xù)時間系統(tǒng)，在任意輸入信號作用下，如何計算求解其系統(tǒng)響應是教學與科研中的一個基本問題．由于時變線性系統(tǒng)（LTVS）的解往往不能寫成解析解的形式，因而用于求解線性時不變系統(tǒng)（LTIS）之時域經(jīng)典和變換域之解析解方法，已不適用，且較繁瑣．因而非常適合在Matlab/Simulink虛擬仿真計算環(huán)境中，利用狀態(tài)空間分析法，首先實現(xiàn)對時變線性系統(tǒng)的系統(tǒng)建模，然后利用Simulink虛擬仿真模塊，可直觀便捷地完成系統(tǒng)的虛擬仿真并得到其系統(tǒng)響應的數(shù)值解．

1 時變線性系統(tǒng)的解

對于時變線性系統(tǒng)，設(shè)其狀態(tài)空間表達式為

可知其滿足普希茨（lipschitz）條件[10-11]，即

因而，時變線性系統(tǒng)的解存在且解唯一．

那么，由式（1）和式（3）可得

如此，即得到該時變線性系統(tǒng)之等價系統(tǒng)為

此時，由式（5）和式（6），可得

并可進一步得到

至此，可知時變系統(tǒng)之求解過程比較繁雜，且其解往往不能寫成解析解的形式．因而在教學與工程應用中，數(shù)值求解法對于時變系統(tǒng)非常重要．隨著信息技術(shù)的發(fā)展與應用，計算機仿真技術(shù)為時變系統(tǒng)的數(shù)值求解提供了一種高效便捷的途徑．

2 時變線性系統(tǒng)之建模方法

（1）將微分方程左端只保留輸出信號的最高階導數(shù)項，即可得

（2）基于狀態(tài)空間分析法，然后選擇一組簡單的狀態(tài)變量，即

（3）由式（11）~（13），可得該微分方程對應的一階微分方程組

（4）根據(jù)式（14），對于該時變線性系統(tǒng)，可得到其建模仿真實現(xiàn)框圖（見圖1）．

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同時，對于式（14）所列的一階微分方程組，可將其寫成矩陣向量表述方式

此即為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式．同理，更一般地，對于類似高階時變線性系統(tǒng)，亦用其狀態(tài)空間表達式來描述，并得到其系統(tǒng)仿真實現(xiàn)框圖（類似圖1）．

3 時變線性系統(tǒng)之仿真設(shè)計與分析

Matlab提供了功能齊備的集成計算環(huán)境．在其圖形交互式之模型輸入的計算仿真環(huán)境Simulink中，它提供了面向眾多科學與工程領(lǐng)域的相關(guān)功能模塊，允許用戶用框圖的形式進行系統(tǒng)建模和虛擬仿真，以得到系統(tǒng)的數(shù)值解．

以變線性連續(xù)系統(tǒng)（式（16））為例，基于狀態(tài)空間分析法之建模方法，利用Matlab/Simulink模塊庫中的相關(guān)功能模塊：信號模塊、積分模塊、比例器（增益）模塊、時鐘模塊、Matlab函數(shù)模塊以及乘法器模塊、加法器模塊和示波器等，設(shè)計并搭建完成該系統(tǒng)的虛擬仿真模型，然后仿真運行以得到其系統(tǒng)響應的數(shù)值解．

使用Matlab/Simulink仿真環(huán)境選取合適相關(guān)功能模塊，搭建完成其系統(tǒng)仿真模型（見圖2）．

根據(jù)給定的時變線性系統(tǒng)及其初始條件，完成仿真模型的參數(shù)設(shè)置（見圖3）．仿真運行，求解其系統(tǒng)響應之數(shù)值解，結(jié)果見圖4．

在Simulink 中添加“輸出（Output）”模塊（見圖2），可輸出其系統(tǒng)響應的數(shù)值解到工作區(qū)或保存到文件，便于進一步應用或分析．更進一步，對于更一般的時變系統(tǒng)（注：時變線性系統(tǒng)屬于時變系統(tǒng)的子類），也進行類似的建模仿真以及求解其系統(tǒng)響應．

例如：著名的 Van der Pol 方程是典型數(shù)理表達式中的基本方程，代表了一類極為典型的非線性問題[12-13]

Van der Pol 方程亦無法精確求得其解析解，故研究者們一直在努力地尋找或改進其近似解的求解方法，諸如擾動法，KBM法，多尺度法，諧波平衡法，以及將擾動法和諧波平衡法相結(jié)合之等效小參量法等．文獻[12]給出其解的若干（）圖示（見圖5，注：圖5中其因變量為，自變量用表示，而本文中其自變量表示為）．

參照圖5可知，虛擬仿真所得的系統(tǒng)響應之數(shù)值解結(jié)果（見圖6~9）有效可行．同時，相比于其他方法諸如：擾動法，KBM法，多尺度法，諧波平衡法以及等效小參量法等，本文提出的基于計算機仿真技術(shù)的系統(tǒng)建模與虛擬仿真過程（見圖6）直觀明了，人機交互性更強，實現(xiàn)方法便捷直觀．由此可見，在諸如Matlab/Simulink圖形交互式仿真環(huán)境中，可以很便捷地構(gòu)建完成時變系統(tǒng)的虛擬仿真模型，然后仿真運行以得到其系統(tǒng)響應的數(shù)值求解，并可對結(jié)果進行保存或供進一步分析．

4 結(jié)束語

在電子信息類專業(yè)基礎(chǔ)課程信號與系統(tǒng)的教學過程中，相對于經(jīng)典的線性時不變系統(tǒng)（LTIS），時變線性系統(tǒng)或稱線性時變系統(tǒng)（LTVS），是課程教學的一個重要拓展內(nèi)容．因為在現(xiàn)實世界以及工程實踐中，時變線性系統(tǒng)更為常見．由于時變線性系統(tǒng)（LTVS）的解，往往不能寫成解析解的形式，因而傳統(tǒng)用于求解線性時不變系統(tǒng)（LTIS）之時域經(jīng)典和變換域之解析解方法，對于時變線性系統(tǒng)（LTVS）而言，顯然已不適用，且其求解過程比較繁雜．圖形交互式的計算仿真環(huán)境如Matlab/Simulink的出現(xiàn)，為LTVS系統(tǒng)以及更一般的時變系統(tǒng)的仿真建模及其系統(tǒng)響應的數(shù)值求解提供了便捷直觀的途徑．

根據(jù)給定的時變系統(tǒng)以及初始條件和輸入信號，基于狀態(tài)空間分析法，以實現(xiàn)對時變線性系統(tǒng)的系統(tǒng)建模，然后利用計算機虛擬仿真技術(shù)，來完成系統(tǒng)的虛擬仿真以得到系統(tǒng)響應的數(shù)值解．同時，在諸如Matlab/Simulink科學計算與虛擬仿真環(huán)境中，可以很便捷直觀地完成系統(tǒng)建模與虛擬仿真，并得到系統(tǒng)響應的數(shù)值解．由此可見，計算機仿真技術(shù)在時變系統(tǒng)分析中的必要性、輔助性以及便捷性．虛擬仿真實驗及其系統(tǒng)響應的數(shù)值結(jié)果表明，基于計算機仿真技術(shù)的時變線性系統(tǒng)的系統(tǒng)建模與虛擬仿真過程直觀明了，可操作性強，實現(xiàn)方法便捷有效，值得在教學與科研中進行推廣和應用．

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Teaching study on simulation-based numerical solution for system response of the linear time-variant system

YANG Zong-chang

（School of Information and Electrical Engineering，Hunan University of Science and Technology，Xiangtan 411201，China）

It is usually difficult to obtain analytical solutions for the linear time-variant system（LTVS）which is an extended content in signal processing courses，and then numerical methods of the LTVS is one basic issue in science and teaching．Based on the state space analysis，modeling and virtual simulation for a LTVS as well as its numerical solution for system response can be achieved in one convenient and vivid way by employing the basic blocks in the Matlab-Simulink．The Simulink-based simulations show workability of the presented method.

CAI；LTVS；virtual simulation；Matlab/Simulink；numerical solution

G434

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.018

2016-01-05

湖南省科技廳計劃項目（2013GK3090，2015JC3111）；湖南省教育廳科研項目（11A036）

楊宗長（1972-），湖南懷化人，副教授，博士，主要從事信息處理與應用數(shù)學建模，通信與信息系統(tǒng)研究．E-mail：yzc233@163.com

1007-9831（2016）04-0065-06