關(guān)于分裂凸可行性問(wèn)題的粘性迭代算法

楊遠(yuǎn)志，楊海元，李春，何振華

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關(guān)于分裂凸可行性問(wèn)題的粘性迭代算法

楊遠(yuǎn)志，楊海元，李春，何振華

（紅河學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 蒙自 661199）

研究了分裂凸可行性問(wèn)題，給出了該問(wèn)題的一個(gè)新的近似解算法，并證明該算法具有強(qiáng)收斂性，所獲得的結(jié)果改進(jìn)了前人的工作．

分裂凸可行性問(wèn)題；近似解；強(qiáng)收斂；粘性迭代方法

1引言及預(yù)備知識(shí)

找出一點(diǎn)，使得（1）

該問(wèn)題在許多實(shí)際問(wèn)題都有應(yīng)用，如圖像恢復(fù)（重建）和信號(hào)處理等．當(dāng)問(wèn)題（1）解存在時(shí)，那么其解滿(mǎn)足一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)方程，其中：表示度量投影算子；表示的伴隨算子；是一常數(shù)．

為求解問(wèn)題（1），Byrne在文獻(xiàn)[2]中建立了近似解算法：，其中：和分別表示投影算子；表示的共軛算子；是一個(gè)常數(shù)，，是的譜半徑．Byrne證明了該序列收斂到問(wèn)題（1）的一個(gè)解．

找出，，使得（2）

文獻(xiàn)[3]的算法僅僅是弱收斂算法，在實(shí)際應(yīng)用中，強(qiáng)收斂算法更為方便，而且，算法中僅僅簡(jiǎn)單地使用投影方法計(jì)算問(wèn)題的近似解，這有可能使得算法的收斂速度比較慢．針對(duì)這些問(wèn)題，本文建立了粘性迭代算法，證明在適當(dāng)?shù)臈l件下，新算法強(qiáng)收斂到問(wèn)題（2）的一個(gè)解．

定義1[4]107設(shè)是域上的線性空間，若對(duì)于任意，有一個(gè)中的數(shù)與之對(duì)應(yīng)（用表示該數(shù)），使得對(duì)于任意，，有

定義2[4]59（1）設(shè)是內(nèi)積空間，，如果對(duì)于任意，，，有，則稱(chēng)是中的線性算子．若還滿(mǎn)足（），是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，則稱(chēng)是有界線性算子．

引理1[5]3310設(shè)為實(shí)Hilbert空間，則對(duì)于任意，有．

引理2[6]設(shè)是非負(fù)實(shí)數(shù)列，滿(mǎn)足，．若，，且，則．

引理3（半閉原理）[7]設(shè)為實(shí)Hilbert空間，，：是非擴(kuò)張映射，若弱收斂到，并且，則．

引理4[5]3318設(shè)為實(shí)Hilbert空間，則對(duì)于任意，有．

2主要結(jié)果及證明

又

于是

雖然推論2是定理的特例，但是由于定理中包含的壓縮映射的值是隨著迭代過(guò)程一起變化的，因此其收斂速度會(huì)跟著受到影響．

本文討論了分裂可行性問(wèn)題，給出了該問(wèn)題近似解的一個(gè)新算法，并證明了該算法具有強(qiáng)收斂性，推廣了已有文獻(xiàn)的結(jié)果．與文獻(xiàn)[3]中的算法比較，雖然本文迭代算法也包含了投影算子，但是引入了壓縮映射．因此，建立的新算法可以通過(guò)壓縮映射調(diào)節(jié)其收斂速度，這樣可以實(shí)現(xiàn)更快速度的收斂．

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A viscosity iteration algorithm for the split convex feasibility problem

YANG Yuan-zhi，YANG Hai-yuan，LI Chun，HE Zhen-hua

（School of Mathematics，Honghe University，Mengzi 661199，China）

Studied the split convex feasibility problem，a new approximate solution algorithm for this problem was given，and show that the algorithm converges strongly to a solution of this problem．The results obtained in this paper improved previous works．

split convex feasibility problem；approximate solution；strong convergence；viscosity iteration method

1007-9831（2016）04-0022-06

O177.19

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.006

2015-12-10

紅河學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目（DCXL1315）；紅河學(xué)院后備人才項(xiàng)目（2014HB0206）

楊遠(yuǎn)志（1993-），男，云南保山人，在讀本科生．E-mail：1740993919@qq.com

何振華（1979-），男，廣西藤縣人，教授，在讀博士研究生，從事非線性分析研究．E-mail：zhenhuehe@126.com