李治遠,朱桂玲
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常數(shù)變易法求解常微分方程
李治遠,朱桂玲
(云南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,云南 昆明 650500)
深入探討了常數(shù)變易法求解一階非線性常微分方程和二階非線性常微分方程,并將所探討的結(jié)果進行系統(tǒng)地分析、比較、歸納和總結(jié),給出了每種解法的特點和使用條件.
常微分方程;常數(shù)變易法;二階非線性
常數(shù)變易法是求解微分方程的一種特殊方法,常數(shù)變易法在解決某些方程特解時簡便易用[1-7].本文主要分析了用常數(shù)變易法求解一階和二階非線性常微分方程,輔以典型的例題,指出了利用常數(shù)變易法求解這2類非線性常微分方程的條件,分析其中的原因并給出相應的解決方法.
1常數(shù)變易法求一階非線性常微分方程
1.1基本類型I
一階非線性常微分方程的一般形式為
表示,則由于式(2)是可分離變量的常微分方程,可以用常數(shù)變異法來求解,因而可求出方程(1)的解.
1.2基本類型II
設(shè)方程(4)的通解為
將式(6)代入式(5)即可得方程(4)的通解.
1.3基本類型III
這是伯努利方程.
基本類型IV
1.5基本類型V
2常數(shù)變易法求二階非線性常微分方程
基本類型I
的一個不恒為零的解.
以下相應推論均可用此方法得到,不再一一證明.
2.2基本類型II
的通積分為
2.3基本類型III
的通積分為
2.4基本類型IV
的通積分為
基本類型V
的通積分為
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The method of constant variation for solving ordinary differential equation
LI Zhi-yuan,ZHU Gui-ling
(School of Machematic and Statistics,Yunnan University,Kunming 650500,China)
Discusses deeply the method of constant variation for solving the first order nonlinear ordinary differential equation and the second-order nonlinear ordinary differential equation,explores the results by systematically analyze,compare and summary,and gives the characteristics and conditions of each method finally.
ordinary differential equation;method of constant variation;second-order nonlinear
O175.1
A
10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.002
2015-11-28
國家自然科學基金資助項目(11561075)
李治遠(1992-),男,河南信陽人,在讀碩士研究生,從事時間序列分析及其應用研究.E-mail:534838410@qq.com
1007-9831(2016)04-0005-06