常數(shù)變易法求解常微分方程

李治遠，朱桂玲

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常數(shù)變易法求解常微分方程

李治遠，朱桂玲

（云南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南 昆明 650500）

深入探討了常數(shù)變易法求解一階非線性常微分方程和二階非線性常微分方程，并將所探討的結(jié)果進行系統(tǒng)地分析、比較、歸納和總結(jié)，給出了每種解法的特點和使用條件．

常微分方程；常數(shù)變易法；二階非線性

常數(shù)變易法是求解微分方程的一種特殊方法，常數(shù)變易法在解決某些方程特解時簡便易用[1-7]．本文主要分析了用常數(shù)變易法求解一階和二階非線性常微分方程，輔以典型的例題，指出了利用常數(shù)變易法求解這２類非線性常微分方程的條件，分析其中的原因并給出相應(yīng)的解決方法．

1常數(shù)變易法求一階非線性常微分方程

1.1基本類型I

一階非線性常微分方程的一般形式為

表示，則由于式（2）是可分離變量的常微分方程，可以用常數(shù)變異法來求解，因而可求出方程（1）的解．

1.2基本類型II

設(shè)方程（4）的通解為

將式（6）代入式（5）即可得方程（4）的通解．

1.3基本類型III

這是伯努利方程．

基本類型IV

1.5基本類型V

2常數(shù)變易法求二階非線性常微分方程

基本類型I

的一個不恒為零的解．

以下相應(yīng)推論均可用此方法得到，不再一一證明．

2.2基本類型II

的通積分為

2.3基本類型III

的通積分為

2.4基本類型IV

的通積分為

基本類型V

的通積分為

[1] 徐澄波，張光天．微積分（下冊）[M]．杭州：浙江大學出版社，1988

[2] 譚信民．一階非線性常微分的三種可積類型[J]．韶關(guān)大學學報：自然科學版，1996，17（4）：13-19

[3] 湯光榮．常微分方程專題研究[M]．武漢：華中理工大學出版社，1994：103-115，157-198

[4] 陳肖石，湯光榮．利用首次積分求解幾類二階非線性常微分方程[J]．西江大學學報，2000（2）：12-15

[5] 李廣民，于力．一類二階非線性微分方程的求積問題[J]．純粹數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學，1996，12（1）：73-77

[6] 王高雄，周之銘，朱思銘，等．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，1983

[7] 彭向陽．二階二次微分方程的解[J]．長沙大學學報，1999，13（2）：18-20

The method of constant variation for solving ordinary differential equation

LI Zhi-yuan，ZHU Gui-ling

（School of Machematic and Statistics，Yunnan University，Kunming 650500，China）

Discusses deeply the method of constant variation for solving the first order nonlinear ordinary differential equation and the second-order nonlinear ordinary differential equation，explores the results by systematically analyze，compare and summary，and gives the characteristics and conditions of each method finally．

ordinary differential equation；method of constant variation；second-order nonlinear

O175.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.002

2015-11-28

國家自然科學基金資助項目（11561075）

李治遠（1992-），男，河南信陽人，在讀碩士研究生，從事時間序列分析及其應(yīng)用研究．E-mail：534838410@qq.com

1007-9831（2016）04-0005-06