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    常數(shù)變易法求解常微分方程

    2016-10-14 12:37:48李治遠朱桂玲
    高師理科學刊 2016年4期

    李治遠,朱桂玲

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    常數(shù)變易法求解常微分方程

    李治遠,朱桂玲

    (云南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,云南 昆明 650500)

    深入探討了常數(shù)變易法求解一階非線性常微分方程和二階非線性常微分方程,并將所探討的結(jié)果進行系統(tǒng)地分析、比較、歸納和總結(jié),給出了每種解法的特點和使用條件.

    常微分方程;常數(shù)變易法;二階非線性

    常數(shù)變易法是求解微分方程的一種特殊方法,常數(shù)變易法在解決某些方程特解時簡便易用[1-7].本文主要分析了用常數(shù)變易法求解一階和二階非線性常微分方程,輔以典型的例題,指出了利用常數(shù)變易法求解這2類非線性常微分方程的條件,分析其中的原因并給出相應(yīng)的解決方法.

    1常數(shù)變易法求一階非線性常微分方程

    1.1基本類型I

    一階非線性常微分方程的一般形式為

    表示,則由于式(2)是可分離變量的常微分方程,可以用常數(shù)變異法來求解,因而可求出方程(1)的解.

    1.2基本類型II

    設(shè)方程(4)的通解為

    將式(6)代入式(5)即可得方程(4)的通解.

    1.3基本類型III

    這是伯努利方程.

    基本類型IV

    1.5基本類型V

    2常數(shù)變易法求二階非線性常微分方程

    基本類型I

    的一個不恒為零的解.

    以下相應(yīng)推論均可用此方法得到,不再一一證明.

    2.2基本類型II

    的通積分為

    2.3基本類型III

    的通積分為

    2.4基本類型IV

    的通積分為

    基本類型V

    的通積分為

    [1] 徐澄波,張光天.微積分(下冊)[M].杭州:浙江大學出版社,1988

    [2] 譚信民.一階非線性常微分的三種可積類型[J].韶關(guān)大學學報:自然科學版,1996,17(4):13-19

    [3] 湯光榮.常微分方程專題研究[M].武漢:華中理工大學出版社,1994:103-115,157-198

    [4] 陳肖石,湯光榮.利用首次積分求解幾類二階非線性常微分方程[J].西江大學學報,2000(2):12-15

    [5] 李廣民,于力.一類二階非線性微分方程的求積問題[J].純粹數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學,1996,12(1):73-77

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    [7] 彭向陽.二階二次微分方程的解[J].長沙大學學報,1999,13(2):18-20


    The method of constant variation for solving ordinary differential equation

    LI Zhi-yuan,ZHU Gui-ling

    (School of Machematic and Statistics,Yunnan University,Kunming 650500,China)

    Discusses deeply the method of constant variation for solving the first order nonlinear ordinary differential equation and the second-order nonlinear ordinary differential equation,explores the results by systematically analyze,compare and summary,and gives the characteristics and conditions of each method finally.

    ordinary differential equation;method of constant variation;second-order nonlinear

    O175.1

    A

    10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.002

    2015-11-28

    國家自然科學基金資助項目(11561075)

    李治遠(1992-),男,河南信陽人,在讀碩士研究生,從事時間序列分析及其應(yīng)用研究.E-mail:534838410@qq.com

    1007-9831(2016)04-0005-06

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