旋轉(zhuǎn)矢量在高動(dòng)態(tài)全姿態(tài)飛行器運(yùn)動(dòng)方程中的應(yīng)用

王紅輝，楊紹卿1，吳成富2，郝峰1，車曉濤1

（1.西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所，陜西西安710065；2.西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，陜西西安710072）

旋轉(zhuǎn)矢量在高動(dòng)態(tài)全姿態(tài)飛行器運(yùn)動(dòng)方程中的應(yīng)用

王紅輝1，2，楊紹卿1，吳成富2，郝峰1，車曉濤1

（1.西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所，陜西西安710065；2.西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，陜西西安710072）

基于旋轉(zhuǎn)矢量是表示角位置變化所對(duì)應(yīng)的等效旋轉(zhuǎn)而不是角位置本身這一基本思想，同時(shí)借鑒旋轉(zhuǎn)矢量在捷聯(lián)慣性導(dǎo)航算法中的應(yīng)用，建立了將旋轉(zhuǎn)矢量應(yīng)用于高動(dòng)態(tài)全姿態(tài)飛行器運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)學(xué)框架。既克服了歐拉角法不適于全姿態(tài)解算的缺點(diǎn)，同時(shí)，相比于四元數(shù)法又提高了高動(dòng)態(tài)角運(yùn)動(dòng)情況下姿態(tài)解算的效率。對(duì)旋轉(zhuǎn)矢量法、四元數(shù)法和歐拉角法在數(shù)值解算中的不可交換誤差進(jìn)行了分析。據(jù)此，針對(duì)單通道具有高動(dòng)態(tài)特性的軸對(duì)稱飛行器，建立了基于準(zhǔn)彈體系的旋轉(zhuǎn)矢量法，提高了解算效率?；谀承蜐L轉(zhuǎn)導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)字仿真表明了旋轉(zhuǎn)矢量法在姿態(tài)解算中的有效性和廣泛性。

飛行器控制、導(dǎo)航技術(shù)；旋轉(zhuǎn)矢量；歐拉角；四元數(shù)；高動(dòng)態(tài)；全姿態(tài)

0 引言

飛行器運(yùn)動(dòng)方程是表征飛行器運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。對(duì)飛行器運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行快速精確的數(shù)值解算，具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值。其中，姿態(tài)解算是整個(gè)運(yùn)動(dòng)方程解算中十分重要的一環(huán)。

在飛行器的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)解算中，常用的有歐拉角法和四元數(shù)法［1-2］。任意轉(zhuǎn)動(dòng)都可通過坐標(biāo)軸的連續(xù)3次旋轉(zhuǎn)來描述，這3個(gè)轉(zhuǎn)角就形成了一組歐拉角［3］。關(guān)于歐拉角的轉(zhuǎn)動(dòng)次序，科學(xué)界尚未達(dá)成統(tǒng)一，對(duì)3次連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的唯一約束為兩次相鄰轉(zhuǎn)動(dòng)軸不能是同一個(gè)坐標(biāo)軸。據(jù)此，歐拉角共有12種合法定義［4］。歐拉角在姿態(tài)描述中的優(yōu)點(diǎn)是物理意義明確，但是在某些角度會(huì)出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)奇點(diǎn)。對(duì)不同的歐拉角轉(zhuǎn)動(dòng)次序，出現(xiàn)的奇點(diǎn)會(huì)有所不同，因此，歐拉角不適于全姿態(tài)的解算。四元數(shù)是在19世紀(jì)中期由愛爾蘭數(shù)學(xué)家Hamilton引入數(shù)學(xué)中的，直到20世紀(jì)60年代才被應(yīng)用于姿態(tài)解算中［5］。四元數(shù)在姿態(tài)解算中的優(yōu)點(diǎn)是不會(huì)出現(xiàn)奇點(diǎn)，且四元數(shù)的運(yùn)算律適于進(jìn)行姿態(tài)解算。四元數(shù)的缺點(diǎn)是其4個(gè)參數(shù)的物理意義不明確，用于描述轉(zhuǎn)動(dòng)的4個(gè)參數(shù)必須滿足歸一化條件［6-7］。但是，在姿態(tài)數(shù)值解算過程中，這種歸一化條件將會(huì)喪失，從而需要重新進(jìn)行歸一化［8-9］。這說明四元數(shù)在姿態(tài)解算中存在明顯的歸一化誤差。同時(shí)，在剛體做有限轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的空間角位置與旋轉(zhuǎn)次序有關(guān)，即在姿態(tài)解算中存在旋轉(zhuǎn)的不可交換性誤差。龍格-庫塔法是飛行器運(yùn)動(dòng)微分方程比較常用的一種數(shù)值解法。四元數(shù)的龍格-庫塔法實(shí)際上相當(dāng)于四元數(shù)畢卡算法的有限階近似，本文將對(duì)此予以分析。但四元數(shù)的畢卡算法僅為單子樣算法，數(shù)值解算的不可交換性誤差較大，尤其在高動(dòng)態(tài)環(huán)境中，這種不可交換性誤差將更加嚴(yán)重［7］。為了提高四元數(shù)解算的精度，只能通過降低數(shù)值解算的步長(zhǎng)來減小算法誤差。

除了歐拉角法和四元數(shù)算法外，可用于姿態(tài)解算的還有方向余弦矩陣法、羅德里格參數(shù)（或稱為吉布斯矢量）法［10-12］、等效旋轉(zhuǎn)矢量法［13-15］等。方向余弦矩陣可以根據(jù)兩個(gè)坐標(biāo)系之間夾角的余弦定義，也可根據(jù)一個(gè)坐標(biāo)的基矢量在另一個(gè)坐標(biāo)的投影來定義［3，16］。因此，方向余弦矩陣的優(yōu)點(diǎn)是物理意義明確，但其缺點(diǎn)是在求解時(shí)待定參數(shù)較多，并且存在正交歸一化誤差。羅德里格參數(shù)實(shí)質(zhì)上是四元數(shù)在三維超平面上的投影，它去除了四元數(shù)的一個(gè)冗余度，因此存在和四元數(shù)同樣的誤差，同時(shí)在某些角度也會(huì)出現(xiàn)奇異性。等效旋轉(zhuǎn)矢量的概念由Bortz和Jordan于1971年提出［13，17-18］。Bortz根據(jù)方向余弦矩陣和旋轉(zhuǎn)矢量的解析關(guān)系，嚴(yán)格推導(dǎo)了旋轉(zhuǎn)矢量所滿足的微分方程，得出旋轉(zhuǎn)矢量的微分等于角速度加上非交換誤差項(xiàng)，從而將由旋轉(zhuǎn)的不可交換性引入的姿態(tài)誤差分離了出來。Bortz的工作為姿態(tài)解算的不可交換性誤差的分析和校正提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。

等效旋轉(zhuǎn)矢量可由坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)方向及坐標(biāo)系在該方向上的旋轉(zhuǎn)角度定義，它表征不同時(shí)刻角位置變化所對(duì)應(yīng)的一次性等效旋轉(zhuǎn)而不反映其中間過程。由于旋轉(zhuǎn)矢量對(duì)不可交換性誤差的分離，它在適于高動(dòng)態(tài)角運(yùn)動(dòng)的捷聯(lián)慣性導(dǎo)航算法中應(yīng)用廣泛［14，19-25］。旋轉(zhuǎn)矢量和歐拉角、羅德里格參數(shù)一樣，均為姿態(tài)的三維參數(shù)化表示，可表示任意姿態(tài)。Stuelpnagel從三維轉(zhuǎn)動(dòng)群的角度表明姿態(tài)的三維參數(shù)化表示無法同時(shí)滿足全局性和非奇異性［26］。因此，Bortz方程在某些角度同樣呈現(xiàn)出奇異性。這影響了它在全姿態(tài)飛行器運(yùn)動(dòng)方程中的直接應(yīng)用。目前，尚沒有公開的文獻(xiàn)對(duì)旋轉(zhuǎn)矢量在飛行器運(yùn)動(dòng)方程中的數(shù)值解算進(jìn)行過詳細(xì)的研究。

基于旋轉(zhuǎn)矢量是表示角位置變化所對(duì)應(yīng)的等效旋轉(zhuǎn)而不是角位置本身這一基本思想，同時(shí)借鑒旋轉(zhuǎn)矢量在捷聯(lián)慣性導(dǎo)航算法中的應(yīng)用，本文建立了將旋轉(zhuǎn)矢量應(yīng)用于高動(dòng)態(tài)全姿態(tài)飛行器運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)學(xué)框架。其基本思想是把姿態(tài)信息以不具有奇異性的四元數(shù)的形式表示，把姿態(tài)變化信息以旋轉(zhuǎn)矢量的形式表示。在每次數(shù)值解算之后，把姿態(tài)變化信息從旋轉(zhuǎn)矢量的表示中轉(zhuǎn)移到四元數(shù)的表示中。如此，旋轉(zhuǎn)矢量在每次數(shù)值解算更新之前始終為0，而更新之后始終是一個(gè)小量，從而遠(yuǎn)離其運(yùn)動(dòng)學(xué)奇點(diǎn)。同時(shí)，由于旋轉(zhuǎn)矢量是姿態(tài)的無約束表示，在整個(gè)計(jì)算過程中，四元數(shù)能夠始終滿足歸一化條件。這樣，既克服了歐拉角和四元數(shù)算法的缺點(diǎn)，又保留了其優(yōu)點(diǎn)?；谀承蜐L轉(zhuǎn)導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)字仿真驗(yàn)證了該算法的有效性。對(duì)于非全姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的情況，本文詳細(xì)分析了歐拉角法和旋轉(zhuǎn)矢量算法的不可交換性誤差，指出了在某些特定情況下歐拉角法比旋轉(zhuǎn)矢量算法解算精度偏高的原因。據(jù)此，針對(duì)軸對(duì)稱飛行器（如滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈），建立了在單通道高動(dòng)態(tài)情況下應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量的數(shù)學(xué)框架，從而使得旋轉(zhuǎn)矢量法取得了和歐拉角法相當(dāng)?shù)慕馑憔取?/p>

1 坐標(biāo)系定義和符號(hào)約定

為便于分析，本文運(yùn)動(dòng)方程的建立采用平板地球假設(shè)，即不考慮地球曲率的影響。

地面坐標(biāo)系（g系）：地面坐標(biāo)系與地球固連，坐標(biāo)原點(diǎn)位于發(fā)射點(diǎn)，x軸與發(fā)射點(diǎn)和目標(biāo)連線重合，指向目標(biāo)為正；y軸沿地垂線，指天為正；z軸按右手定則來確定。

彈體坐標(biāo)系（b系）：坐標(biāo)原點(diǎn)位于導(dǎo)彈的質(zhì)心，x軸與彈縱軸方向一致，指向頭部為正；對(duì)于軸對(duì)稱型導(dǎo)彈，其余兩軸與彈體固聯(lián)。對(duì)于面對(duì)稱型，y軸位于彈體縱向?qū)ΨQ面內(nèi)與x軸垂直，指向上為正，z軸按右手定則來確定。

準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系（q系）：坐標(biāo)原點(diǎn)位于導(dǎo)彈的質(zhì)心，x軸與彈縱軸方向一致，指向頭部為正；y軸在鉛垂面內(nèi)，通過原點(diǎn)O垂直于x軸，指向上方為正；z軸按右手定則來確定。

在上述坐標(biāo)系定義下，彈體姿態(tài)歐拉角（ψ，?，γ）采用yzx的轉(zhuǎn)動(dòng)次序。單位四元數(shù)q記為q= （q0，q1，q2，q3）T，qv=（q1，q2，q3）T為矢量部分，q0為標(biāo)量部分。q的共軛為q*=（q0，-q1，-q2，-q3）T，其逆為q-1=q*.四元數(shù)p和q的乘法滿足

或

對(duì)于任一矢量u，定義p=（0，u），則有

在上述定義下，歐拉角（ψ，?，γ）可根據(jù)姿態(tài)四元數(shù)q計(jì)算如下：

矢量u和v的叉乘可寫為

式中：（u×）為矢量u的斜對(duì)稱矩陣。

任意兩個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換可以看做是經(jīng)過無中間過程的一次性等效旋轉(zhuǎn)形成，可表示為旋轉(zhuǎn)矢量的形式：

式中：ua為在任意坐標(biāo)系a系下的旋轉(zhuǎn)瞬軸；φ為旋轉(zhuǎn)角度。旋轉(zhuǎn)矢量Φ對(duì)應(yīng)的姿態(tài)變化四元數(shù)為

2 基于旋轉(zhuǎn)矢量法的姿態(tài)解算

2.1數(shù)學(xué)框架

旋轉(zhuǎn)矢量Φ的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，即Bortz方程［13-15］為

旋轉(zhuǎn)矢量雖然不具有全局非奇異性，卻滿足局域非奇異性?；诖?，可以采用旋轉(zhuǎn)矢量的小量形式進(jìn)行姿態(tài)解算，即把Φ看成是彈體坐標(biāo)系從tk時(shí)刻到tk+1時(shí)刻角位置變化所對(duì)應(yīng)的等效旋轉(zhuǎn)矢量，而不是看成g系到b系的等效旋轉(zhuǎn)矢量。這樣，把每次數(shù)值解算之后以旋轉(zhuǎn)矢量形式表示的姿態(tài)變化轉(zhuǎn)移到姿態(tài)四元數(shù)當(dāng)中，從而使得旋轉(zhuǎn)矢量始終保持為小量。具體解算流程如下：

初值：已知初始姿態(tài)角（ψ0，?0，γ0），則初始姿態(tài)四元數(shù)可表示為

式中：ψ0=（0，ψ0，0）；?0=（0，0，?0）；γ0=（γ0，0，0）.旋轉(zhuǎn)矢量的初值為Φ0=（0，0，0）.

龍格-庫塔法解算：對(duì)于φ≠0，直接根據(jù)（7）式和（8）式計(jì)算姿態(tài)變化四元數(shù)和旋轉(zhuǎn)矢量。對(duì)于φ=0，無法直接代入（7）式和（8）式進(jìn)行計(jì)算。這時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量的定義，（7）式取為

（8）式求極限可得

龍格-庫塔法每次解算之后得到新的旋轉(zhuǎn)矢量Φ，然后按（12）式計(jì)算姿態(tài)四元數(shù)：

式中：q+為更新后的姿態(tài)四元數(shù)；q-為更新前的姿態(tài)四元數(shù)。由更新后的姿態(tài)四元數(shù)按（4）式可計(jì)算姿態(tài)角。當(dāng)一個(gè)完整積分步長(zhǎng)的計(jì)算完畢并且姿態(tài)四元數(shù)更新之后，置Φ=Φ0.

Bortz方程和其他關(guān)于位置、速度等變量的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程構(gòu)成了一組描述飛行器運(yùn)動(dòng)的、完備的常微分方程組［1-2］。整個(gè)運(yùn)動(dòng)方程中基于旋轉(zhuǎn)矢量法的姿態(tài)計(jì)算流程如圖1所示。

圖1　基于旋轉(zhuǎn)矢量法的姿態(tài)計(jì)算流程圖Fig.1 Flow chart of attitude solution based on rotating vector

2.2旋轉(zhuǎn)矢量法和四元數(shù)法

姿態(tài)四元數(shù)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

該方程的解［6］為

式中：

在采用龍格-庫塔法進(jìn)行數(shù)值解算時(shí)，旋轉(zhuǎn)矢量Φ相當(dāng)于采用（16）式近似計(jì)算：

式中：Δθ為由角速度直接積分得到的角增量。這相當(dāng)于Bortz方程只保留了第一項(xiàng)。此時(shí)，（14）式即為四元數(shù)的畢卡算法。

置Φ=Δθ，對(duì)（14）式以Δθ為變量進(jìn)行級(jí)數(shù)展開，可得四元數(shù)的有限階近似算法。如對(duì)于4階近似算法，有

已知4階龍格-庫塔法的截?cái)嗾`差為O（h5），h為計(jì)算步長(zhǎng)［27］。由于每一步長(zhǎng)h對(duì)應(yīng)的角增量為Δθ，因此4階龍格-庫塔法的截?cái)嗾`差相當(dāng)于O（Δθ5），即4階龍格-庫塔法等價(jià)于（17）式。類似分析可得，各階龍格-庫塔法等價(jià)于四元數(shù)畢卡算法相應(yīng)階次的近似算法。

由于四元數(shù)的畢卡算法只相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)矢量的單子樣算法［7］，對(duì)有限轉(zhuǎn)動(dòng)引起的不可交換誤差的補(bǔ)償程度不夠，所以不適合高動(dòng)態(tài)飛行器運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的解算。

另外，在對(duì)（13）式采用龍格-庫塔法進(jìn)行數(shù)值解算時(shí)，四元數(shù)會(huì)喪失其歸一化特性，在每次數(shù)值更新之后需重新進(jìn)行歸一化。因此，基于四元數(shù)的姿態(tài)解算存在著歸一化誤差。由于旋轉(zhuǎn)矢量是姿態(tài)的無約束表示，在由（7）式和（12）式計(jì)算姿態(tài)四元數(shù)時(shí)，整個(gè)過程歸一化自動(dòng)滿足，只存在計(jì)算機(jī)的舍入誤差。

2.3旋轉(zhuǎn)矢量法和歐拉角法

由（18）式可見，如果ωx?ωy，ωz≈0，即滾轉(zhuǎn)通道是高動(dòng)態(tài)的，另外兩個(gè)通道是低動(dòng)態(tài)的，那么由數(shù)值計(jì)算得到的Φy和Φz(mì)的不可交換誤差將大于Φx的不可交換誤差。但考慮到姿態(tài)角還需要按照（12）式進(jìn)行計(jì)算，因此，基于旋轉(zhuǎn)矢量算法的數(shù)值解算產(chǎn)生的不可交換誤差對(duì)3個(gè)姿態(tài)角均有相當(dāng)程度的影響。

另一方面，歐拉角的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

由（19）式可看出，3個(gè)歐拉角和角速度各分量之間相互耦合。對(duì)于面對(duì)稱型飛行器來說，歐拉角法和旋轉(zhuǎn)矢量法精度相當(dāng)。對(duì)于軸對(duì)稱飛行器（如滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈）來說，一般采用準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系來描述飛行器的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，（19）式變?yōu)?/p>

式中：ωqx、ωqy、ωqz為彈體坐標(biāo)系b相對(duì)于地面坐標(biāo)系g的角速度在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系q下的投影，它直接由描述轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程產(chǎn)生，不經(jīng)過中間過程［1］。由（20）式可看出，對(duì)于滾轉(zhuǎn)通道具有高動(dòng)態(tài)的軸對(duì)稱飛行器來說，滾轉(zhuǎn)角的解算對(duì)另外兩個(gè)姿態(tài)角解算沒有直接影響，它只以滾轉(zhuǎn)角速度的形式參與到描述轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程中［1］。偏航角ψ雖然受不可交換誤差的影響，但由于偏航和俯仰通道都是低動(dòng)態(tài)的，因此解算精度也比較高。俯仰通道不存在不可交換項(xiàng)。這樣，就通過準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系的建立，把低動(dòng)態(tài)的俯仰/偏航通道和高動(dòng)態(tài)的滾轉(zhuǎn)通道相對(duì)隔離開來。因此，基于準(zhǔn)彈體系的歐拉角法的解算精度要比直接利用基于彈體系的旋轉(zhuǎn)矢量法解算精度高。

為適于對(duì)滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈這類飛行器進(jìn)行姿態(tài)解算，同樣可以建立基于準(zhǔn)彈體系的旋轉(zhuǎn)矢量算法。準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系相對(duì)于地面坐標(biāo)系只需要兩個(gè)歐拉角（ψ，?）即可描述。設(shè)Φ表示準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系的角位置變化，則Bortz方程變?yōu)?/p>

（21）式和（22）式構(gòu)成了滾轉(zhuǎn)通道具有高動(dòng)態(tài)的軸對(duì)稱飛行器的姿態(tài)解算方程。

3 仿真驗(yàn)證

基于某型滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)方程對(duì)本文所提算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。基準(zhǔn)彈道基于歐拉角法解算，步長(zhǎng)為0.1 ms.不同的姿態(tài)角算法只要步長(zhǎng)足夠小，都可以作為基準(zhǔn)彈道的解算方法。數(shù)值計(jì)算方法采用4階龍格-庫塔法。下面對(duì)不同步長(zhǎng)不同姿態(tài)角算法下的數(shù)值計(jì)算和基準(zhǔn)彈道進(jìn)行比較分析。

3.1旋轉(zhuǎn)矢量法和四元數(shù)法

旋轉(zhuǎn)矢量法和四元數(shù)法分別采用（8）式和（13）式進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算步長(zhǎng)均為5 ms，時(shí)長(zhǎng)為60 s.仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。

由圖2～圖4可見，相比于旋轉(zhuǎn)矢量法，采用四元數(shù)法計(jì)算時(shí)，不可交換誤差和歸一化誤差影響十分明顯。由于滾轉(zhuǎn)通道動(dòng)態(tài)比較大，因此，滾轉(zhuǎn)角解算誤差也較大。

3.2旋轉(zhuǎn)矢量法和準(zhǔn)彈體系下的歐拉角法

旋轉(zhuǎn)矢量法和歐拉角法分別采用（8）式和（20）式進(jìn)行計(jì)算。為對(duì)比明顯，計(jì)算步長(zhǎng)取為10 ms，時(shí)長(zhǎng)為60 s.仿真結(jié)果如圖5～圖7所示。

由圖5～圖7可見，同樣步長(zhǎng)下，基于彈體系的旋轉(zhuǎn)矢量法比基于準(zhǔn)彈體系的歐拉角法解算精度要低。同時(shí)，由于步長(zhǎng)的增大，旋轉(zhuǎn)矢量法由于各通道耦合比較嚴(yán)重，低動(dòng)態(tài)的俯仰和偏航通道由于受到滾轉(zhuǎn)通道的影響，出現(xiàn)了明顯的振蕩現(xiàn)象，并有發(fā)散的趨勢(shì)。

3.3準(zhǔn)彈體系下的旋轉(zhuǎn)矢量法和歐拉角法

旋轉(zhuǎn)矢量法采用（21）式和（22）式，歐拉角法采用（20）式，計(jì)算步長(zhǎng)取20 ms，時(shí)長(zhǎng)60 s.仿真結(jié)果如圖8～圖10所示。

由圖8～圖10可看出，基于準(zhǔn)彈體系的旋轉(zhuǎn)矢量算法和歐拉角法解算精度幾乎完全一樣。這說明了旋轉(zhuǎn)矢量算法應(yīng)用的廣泛性。

圖2　偏航角誤差曲線Fig.2 Curves of yaw angle error

圖3　俯仰角誤差曲線Fig.3 Curves of pitch angle error

圖4　滾轉(zhuǎn)角誤差曲線Fig.4 Curves of roll angle error

圖5　偏航角誤差曲線Fig.5 Curves of yaw angle error

圖6　俯仰角誤差曲線Fig.6 Curves of pitch angle error

圖7　滾轉(zhuǎn)角誤差曲線Fig.7 Curves of roll angle error

圖8　偏航角誤差曲線Fig.8 Curves of yaw angle error

圖9　俯仰角誤差曲線Fig.9 Curves of pitch angle error

圖10　滾轉(zhuǎn)角誤差曲線Fig.10 Curves of roll angle error

4 結(jié)論

1）基于旋轉(zhuǎn)矢量是表示角位置變化所對(duì)應(yīng)的等效旋轉(zhuǎn)而不是角位置本身這一基本思想，同時(shí)借鑒旋轉(zhuǎn)矢量在捷聯(lián)慣性導(dǎo)航中的應(yīng)用，本文建立了將旋轉(zhuǎn)矢量應(yīng)用于高動(dòng)態(tài)全姿態(tài)飛行器運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)學(xué)框架。既克服了歐拉角法不適于全姿態(tài)解算的缺點(diǎn)，同時(shí)，相比于四元數(shù)法又提高了高動(dòng)態(tài)角運(yùn)動(dòng)情況下進(jìn)行姿態(tài)解算的效率。

2）分析了不可交換誤差和歸一化誤差對(duì)四元數(shù)法的影響，表明了旋轉(zhuǎn)矢量算法的優(yōu)越性。

3）比較分析了不可交換誤差對(duì)旋轉(zhuǎn)矢量法和歐拉角法在姿態(tài)解算中的影響。指出了在某些特定情況下歐拉角法解算精度優(yōu)于旋轉(zhuǎn)矢量法的原因，并據(jù)此建立了在單通道高動(dòng)態(tài)情況下應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法的數(shù)學(xué)框架，從而使得旋轉(zhuǎn)矢量法在這種情況下取得了和歐拉角法相當(dāng)?shù)慕馑憔取?/p>

4）數(shù)值仿真結(jié)果表明，本文提出的旋轉(zhuǎn)矢量法不僅特別適用于高動(dòng)態(tài)全姿態(tài)飛行器運(yùn)動(dòng)方程的解算，而且具有應(yīng)用的廣泛性。

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Application of Rotating Vector in Equations of Motion for All-attitude Aircrafts

WANG Hong-hui1，2，YANG Shao-qing1，WU Cheng-fu2，HAO Feng1，CHE Xiao-tao1
（1.Xi’an Modern Control Technology Research Institute，Xi’an 710065，Shaanxi，China；2.School of Automation，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，Shaanxi，China）

A mathematical framework to apply a rotation vector in the equations of motion for all-attitude aircrafts is established based on the basic idea of that the rotation vector is to express an equivalent rotation corresponding to the change in angular position rather than the angular position.This idea is stimulated by the rotating vector in the strapdown attitude algorithm.The rotation vector method is available for all-attitude solution while the Euler angle method is not.Meanwhile，compared with the quaternion method，the rotation vector method can improve the efficiency of attitude solution.The non-commutative errors in the rotation vector method，the quaternion method and the Euler angle method are analyzed in detail. A rotation vector method based on the quasi-body frame is developed to improve the efficiency of attitude solution for axial-symmetry aircrafts of which a single channel has high dynamic characteristics.The digital simulations based on the equations of motion for some rolling missile show the effectiveness and generality of the rotation vector method.

control and navigation technoogy of aerocraft；rotation vector；Euler angle；quaternion；high-dynamic；all-attitude

TJ765.1

A

1000-1093（2016）03-0439-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.03.008

2015-07-02

總裝備部預(yù)先研究項(xiàng)目（1020702）；陜西省博士后科研項(xiàng)目（2015年）

王紅輝（1985—），男，博士后。E-mail：wanggh06@outlook.com；楊紹卿（1941—），男，中國工程院院士。E-mail：bq203rjc@163.com