三螺桿擠出機(jī)端面二維流場混沌混合拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)分析

佟瑩，朱向哲，高鶴，何延?xùn)|

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三螺桿擠出機(jī)端面二維流場混沌混合拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)分析

佟瑩，朱向哲，高鶴，何延?xùn)|

（遼寧石油化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧撫順 113001）

三螺桿擠出機(jī)是一種新型的聚合物流體加工設(shè)備，其獨(dú)有的中心區(qū)呈現(xiàn)出幾何結(jié)構(gòu)和受力狀態(tài)的周期性變化，混合機(jī)理非常復(fù)雜。區(qū)別于傳統(tǒng)的線性混合分析，從拉格朗日體系的新視角對三螺桿擠出機(jī)混沌混合進(jìn)行拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)分析，利用有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)（FTLE）、拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)（LCS），結(jié)合Poincaré截面和粒子可視化技術(shù)研究三螺桿擠出機(jī)二維流場的流體輸運(yùn)和混沌混合機(jī)理，討論了中心區(qū)動態(tài)結(jié)構(gòu)特性對FTLE和LCS分布的影響，并與單螺桿擠出機(jī)和雙螺桿擠出機(jī)進(jìn)行了對比分析。結(jié)果表明，LCS將三螺桿擠出機(jī)流域劃分為近螺桿區(qū)、遠(yuǎn)螺桿區(qū)和中心區(qū)3個(gè)具有不同運(yùn)動特性的區(qū)域，扭結(jié)是連接近螺桿區(qū)、遠(yuǎn)螺桿區(qū)和中心區(qū)物質(zhì)交換的橋梁。隨著混合時(shí)間的增加，扭結(jié)的彎曲和折疊程度逐漸增大，增強(qiáng)了3個(gè)區(qū)域的物質(zhì)交換，強(qiáng)化了三螺桿流場的混沌混合。三螺桿擠出機(jī)嚙合區(qū)附近存在3個(gè)雙曲固定點(diǎn)，混合能力較好。Poincaré截面中橢圓周期點(diǎn)的出現(xiàn)說明在流域中心有非混沌區(qū)存在，因此三螺桿擠出機(jī)的中心區(qū)混合能力相對較弱。

三螺桿擠出機(jī)；有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)；拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)；混沌混合；流動；計(jì)算流體力學(xué)；數(shù)值分析

引 言

三螺桿擠出機(jī)是在傳統(tǒng)的雙螺桿擠出機(jī)基礎(chǔ)上研發(fā)的一種新型高效聚合物加工設(shè)備，具有嚙合區(qū)數(shù)量多、擠壓面積大、混合效果好等優(yōu)點(diǎn)。三螺桿擠出機(jī)比雙螺桿擠出機(jī)增加了兩個(gè)嚙合區(qū)和一個(gè)中心區(qū)，幾何結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜。特別是三螺桿擠出機(jī)獨(dú)有的中心區(qū)，呈現(xiàn)幾何面積由大到小的周期性變化，其中心區(qū)的物料也呈現(xiàn)“拉伸-壓縮-折疊”的周期性受力狀態(tài)。三螺桿擠出機(jī)內(nèi)流體的流動和混合機(jī)理特別是中心區(qū)的動態(tài)循環(huán)特性對整個(gè)三螺桿擠出機(jī)流動和混合機(jī)理的影響一直是研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，也是研發(fā)新型高效螺桿擠出設(shè)備的關(guān)鍵。

目前，國內(nèi)外對于螺桿加工流體混合機(jī)理的研究主要集中在分布混合和分散表征。Connelly等[1]采用粒子簇分布指數(shù)、分離尺度、平均混合效率和瞬時(shí)混合效率等參數(shù)表征二維混合器的分布混合，采用剪切應(yīng)力和混合指數(shù)表征分散混合。Zhang等[2]采用停留時(shí)間分布（residence time distribution，RTD）表征聚合物流體分布混合。Domingues 等[3]采用Shannon熵和分布混合指數(shù)表征聚合物分布混合，采用毛細(xì)管數(shù)和液滴尺寸變形量表征分散混合強(qiáng)度。Nakayama[4]采用流體經(jīng)歷的平均應(yīng)力和最大應(yīng)力值衡量分散混合。在三螺桿流體方面，胡冬冬等[5]建立了三螺桿擠出機(jī)嚙合塊元件的三維等溫流動有限元模型，利用Polyflow軟件分析了三螺桿嚙合塊元件的物料流動和混合規(guī)律。Jiang等[6]采用有限元數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，驗(yàn)證了三螺桿擠出機(jī)中炭黑加工的高效物料輸運(yùn)能力和強(qiáng)烈剪切效率。Miao等[7]研究了三螺桿擠出機(jī)螺紋元件的溫度和能耗分布，分析了螺桿幾何參數(shù)對三螺桿擠出機(jī)溫度分布和能耗的影響。Wang等[8]采用混合指數(shù)、分離尺度、平均時(shí)間混合效率、瞬時(shí)混合效率、最大拉伸率和剪切速率等對三螺桿擠出機(jī)二維流場的分布混合和分散進(jìn)行表征，并與雙螺桿擠出機(jī)進(jìn)行了比較。目前，聚合物流體線性混合的表征方法已具有相對較高的成熟度，但很難從本質(zhì)上揭示三螺桿擠出機(jī)的復(fù)雜混合機(jī)理，因此分析結(jié)果存在一定的局限性。

混沌混合是強(qiáng)化聚合物加工流體層流混合的有效方法，傳統(tǒng)混沌混合動力學(xué)主要以Poincaré截面和Lyapunov指數(shù)等為研究工具。Lee等[9]采用Poincaré截面和修正的Lyaponuv指數(shù)對單螺桿擠出機(jī)混沌螺桿螺槽展開模型進(jìn)行了混沌混合研究。Hwang等[10]利用體積輸運(yùn)原理，采用Poincaré截面和粒子軌跡追蹤，研究了銷釘單螺桿擠出機(jī)折疊結(jié)構(gòu)和混沌混合過程。徐百平等[11]對副螺棱軸向往復(fù)運(yùn)動的單螺桿擠出機(jī)牛頓流體三維周期性流動和混沌混合進(jìn)行了數(shù)值模擬，采用4階Runge-Kutta方法實(shí)現(xiàn)流體追蹤，采用Poincaré 截面揭示混沌混合區(qū)域。程志飛等[12]采用Poincaré截面和Lyapunov指數(shù)對Roller轉(zhuǎn)子密煉機(jī)聚合物流體的混沌混合特性進(jìn)行了研究。

近年來，在傳統(tǒng)歐拉體系流動分析的基礎(chǔ)上提出了基于拉格朗日體系的流動結(jié)構(gòu)分析方法[13-15]。Haller等[16]利用有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)（finite-time Lyapunov exponent，F(xiàn)TLE）定義了拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)（Lagrangian coherent structure，LCS）。Shadden等[17]進(jìn)一步給出了LCS的精確定義，并證明了LCS與輸運(yùn)邊界之間的關(guān)聯(lián)性。Santitissadeekorn等[18]使用FTLE研究了單轉(zhuǎn)子混合器內(nèi)混沌混合機(jī)理，成功辨識了流場的LCS。Robinson等[19]采用光滑粒子流體動力學(xué)（smoothed particle hydrodynamics，SPH）方法計(jì)算了Cam轉(zhuǎn)子密煉機(jī)二維流體的FTLE和LCS，研究了轉(zhuǎn)子構(gòu)型對LCS的影響。近期，擬序結(jié)構(gòu)研究已有很大進(jìn)展[15]，使用拉格朗日方法分析二維流體混沌混合趨于成熟。

基于傳統(tǒng)歐拉方法的螺桿擠出機(jī)二維流場的可視化研究雖然可以直觀地了解聚合物流體的流動規(guī)律和粒子的運(yùn)動軌跡，一定程度上有助于理解聚合物流體的混合規(guī)律，但難以刻畫出螺桿流場中促進(jìn)和抑制流體輸運(yùn)的局部區(qū)域和邊界，很難捕捉到螺桿流場潛在的力學(xué)和幾何學(xué)特性。目前，使用LCS分析聚合物加工的研究十分有限，尤其對三螺桿擠出機(jī)內(nèi)流體混合的研究，未見基于LCS的三螺桿擠出機(jī)混沌混合分析的研究報(bào)道。本工作在三螺桿擠出機(jī)二維流場計(jì)算的基礎(chǔ)上，應(yīng)用拉格朗日方法擬序結(jié)構(gòu)的分析方法，采用Matlab軟件計(jì)算出流場的FTLE和LCS，并結(jié)合Poincaré截面和粒子可視化技術(shù)揭示三螺桿擠出機(jī)內(nèi)流體在二維流場中的輸運(yùn)和混沌混合機(jī)理，討論中心區(qū)動態(tài)結(jié)構(gòu)特性對FTLE和LCS分布的影響，分析三螺桿擠出機(jī)二維流場的潛在動力學(xué)和幾何特性，在此基礎(chǔ)上從拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)分析視角對比研究單螺桿、雙螺桿和三螺桿擠出機(jī)輸運(yùn)和混合機(jī)理的異同，為螺桿擠出機(jī)設(shè)計(jì)提供新的理論參考。

1 拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)

對于二維流場，其瞬時(shí)變化的速度場可表示為

式（3）說明流體粒子(流體質(zhì)點(diǎn))沿軌跡同時(shí)存在一個(gè)方向的拉伸和另一個(gè)方向的壓縮。這種依賴時(shí)間速度場的軌跡就是雙曲軌跡。其中，的譜范數(shù)代表有限時(shí)間Cauchy-Green張量的最大拉伸值，可表示為

由FTLE的定義可知FTLE表征相鄰流體粒子的運(yùn)動狀態(tài)，定義其“脊”結(jié)構(gòu)為拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)（LCS）。當(dāng)積分時(shí)間向前時(shí)（＞0），F(xiàn)TLE值越大，表明在該位置的物質(zhì)被拉伸得越長，此時(shí)“脊”結(jié)構(gòu)代表穩(wěn)定流型，成為排斥的LCS；相反，當(dāng)積分時(shí)間向后時(shí)（＜0），表明該處物質(zhì)將被壓縮，此時(shí)“脊”結(jié)構(gòu)代表非穩(wěn)定流型，成為吸引的LCS。基于FTLE的LCS是分析非定常流體的有利工具，可以捕捉到流場潛在的力學(xué)和幾何特性。

2 物理模型

同向嚙合三螺桿擠出機(jī)的三根螺桿呈正三角形排列，具有3個(gè)嚙合區(qū)和1個(gè)動態(tài)中心區(qū)，幾何模型如圖1(a)所示。其幾何尺寸如下：螺桿根徑13 mm，外徑17 mm，機(jī)筒內(nèi)徑18.5mm，兩螺桿中心距33 mm。使用Gambit軟件進(jìn)行幾何建模，采用Polyflow軟件中的網(wǎng)格重疊技術(shù)（mesh superposition technique，MST）。為捕捉流場中螺桿與筒壁間隙中流體的運(yùn)動，螺桿和筒壁采用4層邊界層網(wǎng)格，流道徑向劃分為40層網(wǎng)格，流道圓弧等距劃分為300份，流域中心3個(gè)嚙合區(qū)的相交部分劃分為75份，劃分后流道的網(wǎng)格單元數(shù)為54000個(gè)。網(wǎng)格劃分方法如圖1(b)、(c)所示。3根螺桿均為同向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，螺桿轉(zhuǎn)速為0.5 r·min-1。

圖1 幾何模型與流道有限元模型

為了便于求解，采用如下假設(shè)：①流動為層流且忽略慣性力的影響；②流動為等溫、不可壓縮流動；③邊界無滑移；④聚合物流體為非牛頓熔體，其黏度與剪切速率的關(guān)系可由Bird-Carreau模型表征。

計(jì)算中速度、位移采用quadratic插值，壓力采用線性插值，黏度采用相對穩(wěn)定的Picard迭代法。瞬態(tài)流場計(jì)算采用Crank-Nicolson法，收斂精度為1×10-4。根據(jù)三螺桿擠出機(jī)二維流場的計(jì)算結(jié)果，采用Matlab軟件編程得到三螺桿擠出機(jī)不同時(shí)刻的FTLE分布，對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行可視化研究。

為了驗(yàn)證求解精度，選取3種時(shí)間步長：一個(gè)時(shí)間周期離散為61個(gè)時(shí)間步長、121個(gè)時(shí)間步長和241個(gè)時(shí)間步長。選取3個(gè)監(jiān)測點(diǎn)：中心區(qū)P1（0，-1.28）、螺桿壁面P2（0，5.98）、筒壁邊緣P3（0, 36.99）。分別采用上述3種時(shí)間步長計(jì)算初始時(shí)刻位于3個(gè)監(jiān)測點(diǎn)的流體粒子的運(yùn)動軌跡坐標(biāo)隨時(shí)間變化曲線，如圖2所示。由圖2(a)、(b)可知，當(dāng)粒子位于流道中心P1和螺桿壁面P2時(shí)，3種時(shí)間步長的計(jì)算精度在兩個(gè)周期內(nèi)具有較好的一致性。而當(dāng)粒子位于筒壁邊緣P3時(shí)，從圖2(c)中可以看到，當(dāng)＞160 s時(shí)，一個(gè)時(shí)間周期離散為61個(gè)時(shí)間步長的計(jì)算結(jié)果與121個(gè)時(shí)間步長和241個(gè)時(shí)間步長的模擬結(jié)果出現(xiàn)了相對較大的偏差，但每個(gè)周期121個(gè)時(shí)間步長和241個(gè)時(shí)間步長的計(jì)算結(jié)果仍具有較好的一致性，故本工作選用一個(gè)時(shí)間周期離散為121個(gè)時(shí)間步長。

圖2 時(shí)間步長對位置分布的影響

3 模型驗(yàn)證

3.1 網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證

為驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的可靠性，首先進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證。將三螺桿擠出機(jī)二維幾何模型采用四方形結(jié)構(gòu)網(wǎng)格進(jìn)行網(wǎng)格劃分，采用3種網(wǎng)格劃分方法：模型1，流道劃分為40層，包含54000個(gè)單元；模型2，流道劃分為40層，包含108000個(gè)單元；模型3，流道劃分為75層，包含202500個(gè)單元。利用Polyflow軟件分求解上述3種模型的周期性速度場。圖3(b)所示為0 s時(shí)3種模型在檢測線上[圖3(a)]方向的速度分布，可以看到，3種模型在檢測線方向的速度分布曲線幾乎重合，這說明本工作選用的40層網(wǎng)格包含54000個(gè)單元網(wǎng)格的劃分方法可以保證模擬的準(zhǔn)確性。

圖3 網(wǎng)格密度對速度分布的影響

3.2 網(wǎng)格密度對FTLE的影響

基于拉格朗日體系的FTLE準(zhǔn)確性與網(wǎng)格密度密切相關(guān)。分別采用上述3種網(wǎng)格劃分模型計(jì)算三螺桿擠出機(jī)的FTLE進(jìn)行比較，如圖4所示。從圖中可以看到3種網(wǎng)格劃分模型計(jì)算的三螺桿擠出機(jī)FTLE的“脊”結(jié)構(gòu)（LCS）基本相同，為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間，選取40層網(wǎng)格包含54000單元，可以確保三螺桿擠出機(jī)的FTLE的計(jì)算精度。

圖4 網(wǎng)格密度對FTLE的影響

4 計(jì)算結(jié)果與分析

4.1 積分時(shí)間對LCS的影響

初始時(shí)刻0和積分時(shí)間是兩個(gè)直接影響三螺桿擠出機(jī)的FTLE分布的重要參數(shù)。其中，積分時(shí)間是影響FTLE場中“脊”結(jié)構(gòu)（LCS）完整性的核心要素，選取優(yōu)質(zhì)的積分時(shí)間可使“脊”完整地出現(xiàn)在FTLE中。由式（5）可知，當(dāng)時(shí)，會導(dǎo)致，即較長的積分時(shí)間使FTLE各點(diǎn)的數(shù)值相差較小，引起“脊”結(jié)構(gòu)顯示不清晰，不易捕捉到LCS。因此，本工作首先分析了積分時(shí)間對三螺桿擠出機(jī)的LCS的影響。

圖5 t00 s時(shí)不同積分時(shí)間三螺桿擠出機(jī)的FTLE

圖6所示為三螺桿擠出機(jī)時(shí)間向前的FTLE中提取的LCS分布。由圖可見，當(dāng)積分時(shí)間＜120 s時(shí)，隨著的增加，LCS趨于完整；當(dāng)＞120 s時(shí)，隨著的增加，難以分辨出三螺桿擠出機(jī)的LCS的主次。當(dāng)120 s時(shí)，LCS的幾何特征已完全顯現(xiàn)出來，而且容易捕捉。因此，選用120 s作為三螺桿擠出機(jī)內(nèi)動力系統(tǒng)的FTLE計(jì)算的最佳積分時(shí)間。

圖6 不同積分時(shí)間的三螺桿擠出機(jī)的LCS分布（t00 s）

4.2 螺桿相位角對LCS的影響

LCS作為物質(zhì)線的近似，其結(jié)構(gòu)會隨螺桿的相位不同發(fā)生變化。為了詳細(xì)分析三螺桿擠出機(jī)不同時(shí)刻相角下的LCS分布，給出了積分時(shí)間120 s時(shí)，不同初始時(shí)刻、時(shí)間向前的三螺桿擠出機(jī)的LCS分布，如圖7所示。三螺桿擠出機(jī)排斥的LCS隨螺桿相位角的不同呈現(xiàn)出不同的形狀，但無論LCS如何變化，其主要部分總是將三螺桿流域區(qū)劃分為3個(gè)具有不同混合特性的區(qū)域，具體將在4.4節(jié)中詳細(xì)分析。此外，從圖7中還可以看到LCS中存在多處類似“扭結(jié)”的結(jié)構(gòu)。圖7(a)中，螺槽中心附近出現(xiàn)了“扭結(jié)”，經(jīng)過1/4周期的轉(zhuǎn)動，“扭結(jié)”被逐漸拉伸，同時(shí)在圖7(d)中螺槽另一側(cè)的中心附近出現(xiàn)了新的“扭結(jié)”，這說明螺桿的周期性運(yùn)動引起物質(zhì)線產(chǎn)生周期性變化，并隨時(shí)間循環(huán)往復(fù)。

圖7 不同相位角的排斥的LCS分布（T120 s）

此外，在三螺桿擠出機(jī)的中心區(qū)也產(chǎn)生了較為復(fù)雜的“扭結(jié)”，如圖8所示。轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動帶動中心區(qū)“扭結(jié)”不斷重復(fù)“產(chǎn)生-拉伸-捏合”的周期性過程?！芭そY(jié)”引起的流體粒子折疊加強(qiáng)了周圍流體的混合。根據(jù)動力學(xué)理論可知，混沌混合狀態(tài)下流體粒子的拉伸程度會隨時(shí)間呈指數(shù)增長，而周期性混合狀態(tài)下流體粒子的拉伸程度僅隨時(shí)間呈線性增長。拉伸和折疊是產(chǎn)生高效混合的關(guān)鍵，也是混沌產(chǎn)生的必要條件[20]，可見三螺桿擠出機(jī)內(nèi)流體的混合具有明顯的混沌混合特征。

圖8 三螺桿中心區(qū)排斥的LCS分布

4.3 混合動力學(xué)分析

為了便于在有限時(shí)間動力系統(tǒng)中分析三螺桿流場的全局混合特性，將三螺桿擠出機(jī)積分時(shí)間±120 s時(shí)排斥（紅色）和吸引（綠色）的LCS繪制于同一流場中，如圖9所示。螺桿的轉(zhuǎn)動引起流道幾何形狀改變，導(dǎo)致LCS也隨之變化，特別在流域的中心區(qū)，隨著中心區(qū)面積的逐漸減小，LCS所圍成的封閉區(qū)域的面積也逐漸減小。圖9中，穩(wěn)定流型與非穩(wěn)定流型相交出現(xiàn)多個(gè)交點(diǎn)，中心區(qū)附近的交點(diǎn)中包含了雙曲固定點(diǎn)，表明三螺桿擠出機(jī)流體混合存在混沌混合特性。

圖9 三螺桿流場排斥的LCS和吸引的LCS

流體粒子經(jīng)過雙曲固定點(diǎn)，沿穩(wěn)定流型的法線方向受到強(qiáng)拉伸作用，使得穩(wěn)定流型兩側(cè)的粒子以指數(shù)速率發(fā)生分離，有利于流體在三螺桿擠出機(jī)的混合腔內(nèi)充分混合。為清晰地顯示中心區(qū)相交的LCS結(jié)構(gòu)，圖10給出了中心區(qū)LCS局部放大圖。

圖10 中心區(qū)排斥的LCS和吸引的LCS

結(jié)合圖10中LCS的相交結(jié)構(gòu)與中心區(qū)的流線分布可以判斷，在三螺桿擠出機(jī)混合腔的中心區(qū)附近存在3個(gè)雙曲固定點(diǎn)。中心區(qū)面積改變，固定點(diǎn)的位置隨之改變。

周期點(diǎn)是混沌混合的標(biāo)志。雙曲固定點(diǎn)和橢圓周期點(diǎn)作為周期點(diǎn)的兩種表現(xiàn)形式，雙曲固定點(diǎn)與流型的性質(zhì)有關(guān)，橢圓周期點(diǎn)則出現(xiàn)在非混沌混合區(qū)[21-22]，因此橢圓周期點(diǎn)出現(xiàn)的位置混合效果相對較差。由多周期回歸點(diǎn)的集合構(gòu)成的Poincaré截面可直觀地表現(xiàn)封閉軌線和固定點(diǎn)的周期特性。

通過排斥的LCS和吸引的LCS的相交圖可大致推斷橢圓周期點(diǎn)所在。取初始時(shí)刻位于流場中心區(qū)（避開周期點(diǎn)可能出現(xiàn)的區(qū)域）的粒子團(tuán)，跟蹤粒子團(tuán)中400個(gè)粒子在550個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動軌跡，記錄每個(gè)（）時(shí)刻粒子的位置坐標(biāo)，合并這些粒子點(diǎn)的位置繪制如圖11(a)所示的Poincaré截面。從圖11(a)中可以看出在三螺桿中心區(qū)的中心區(qū)出現(xiàn)了KAM“島”。將中心區(qū)的Poincaré截面放大，如圖11（b）所示，出現(xiàn)了橢圓周期點(diǎn)結(jié)構(gòu)。橢圓周期點(diǎn)是非混沌區(qū)的標(biāo)志，因此三螺桿中心區(qū)存在非混沌混合區(qū)域，該區(qū)內(nèi)混合效果相對較差。需要說明的是，由于粒子的隨機(jī)運(yùn)動，三螺桿擠出機(jī)的大部分混沌結(jié)構(gòu)被眾多粒子的運(yùn)動掩蓋，對于混沌區(qū)內(nèi)部的混合狀態(tài)仍不易看出。

圖11 三螺桿擠出機(jī)的Poincaré截面

4.4 三螺桿擠出機(jī)粒子可視化結(jié)果

根據(jù)LCS具有的流型性質(zhì)，初始時(shí)刻位于其兩側(cè)的粒子經(jīng)過雙曲固定點(diǎn)會沿非穩(wěn)定流型方向以指數(shù)速率相互分離，沿著吸引的LCS輸送，因此LCS成為系統(tǒng)中無形的邊界。作為輸送的準(zhǔn)邊界，在運(yùn)動過程中穿過這個(gè)邊界的物質(zhì)非常少，在一定程度上可以忽略[13]。根據(jù)LCS的準(zhǔn)邊界特性，三螺桿擠出機(jī)流道可分為3個(gè)具有不同混合特性的區(qū)域，如圖12所示，黃色部分區(qū)域?yàn)長CS包圍的遠(yuǎn)螺桿區(qū)，橙色部分區(qū)域?yàn)長CS包圍的近螺桿區(qū)，藍(lán)色部分區(qū)域?yàn)榉忾]的LCS包圍的中心區(qū)。

圖12 三螺桿擠出機(jī)流域分區(qū)

為進(jìn)一步理解三螺桿擠出機(jī)的局部混合特性，在3個(gè)分割區(qū)內(nèi)分別釋放粒子進(jìn)行可視化分析，計(jì)算結(jié)果如圖13所示。

圖13(a)為遠(yuǎn)螺桿區(qū)筒壁相交處流體粒子軌跡的可視化結(jié)果，圖中位于筒壁尖端的3個(gè)粒子團(tuán)在經(jīng)過2個(gè)周期運(yùn)動后基本沒有離開遠(yuǎn)螺桿區(qū)，這些粒子團(tuán)在該區(qū)域中僅僅被拉伸，沒有出現(xiàn)折疊現(xiàn)象，此時(shí)的混合為常規(guī)的層流混合。因此，遠(yuǎn)螺桿區(qū)混合效果相對較差。

圖13 不同LCS分割區(qū)釋放粒子可視化結(jié)果

其次討論近螺桿區(qū)。在中心區(qū)附近的近螺桿區(qū)被LCS分成3個(gè)區(qū)域，在3個(gè)子區(qū)中分別釋放紅色、粉色和藍(lán)色的粒子團(tuán)，如圖13(b)所示。從圖中可以看到，隨著螺桿的轉(zhuǎn)動，3個(gè)粒子團(tuán)沿吸引的LCS分別進(jìn)入3根螺桿流道。當(dāng)60 s時(shí)，在“扭結(jié)”的作用下，一部分處于近螺桿區(qū)的流體粒子進(jìn)入到遠(yuǎn)螺桿區(qū)，并在遠(yuǎn)螺桿區(qū)內(nèi)隨準(zhǔn)周期軌道運(yùn)動。因此，“扭結(jié)”結(jié)構(gòu)成為遠(yuǎn)、近螺桿區(qū)流體粒子交換的媒介，增強(qiáng)了流體混合的均勻性。由于扭結(jié)結(jié)構(gòu)循環(huán)產(chǎn)生（圖7），其在混沌混合中具有重要的強(qiáng)化作用。當(dāng)120 s時(shí)，粒子團(tuán)經(jīng)過一個(gè)周期后重新回到初始位置，經(jīng)過嚙合區(qū)附近，在非穩(wěn)定流形的作用下粒子團(tuán)產(chǎn)生背離LCS的運(yùn)動，并隨螺桿轉(zhuǎn)動而逐漸被拉長，而且在螺桿嚙合區(qū)發(fā)生折疊。說明在流域中心，螺桿嚙合區(qū)附近有雙曲固定點(diǎn)的存在。發(fā)生背離的粒子團(tuán)隨螺桿轉(zhuǎn)動進(jìn)入不同的螺桿流道內(nèi)。在=150 s時(shí)，部分回到中心區(qū)的流體粒子再次經(jīng)過雙曲固定點(diǎn)，再次被拉伸，并在流道內(nèi)重新排列，使混合效率進(jìn)一步增強(qiáng)?？梢婋p曲固定點(diǎn)的存在極大地提高了三螺桿擠出機(jī)的混合效率，使得近螺桿區(qū)具有相對較高的混合效率。

最后討論三螺桿擠出機(jī)的特殊區(qū)域——中心區(qū)。中心區(qū)是由封閉的LCS結(jié)構(gòu)包圍的區(qū)域。在封閉中心區(qū)釋放粒子，可視化結(jié)果如圖13(c) 所示。隨著螺桿的轉(zhuǎn)動，中心區(qū)面積呈現(xiàn)大-小-大的變化規(guī)律，LCS封閉的中心區(qū)面積也隨之變化。當(dāng)80 s時(shí)，一部分流體粒子開始從封閉的中心區(qū)分離出來。當(dāng)160 s時(shí)，中心區(qū)面積和LCS封閉面積均為最小，從封閉的中心區(qū)分離出來的大量流體粒子在非穩(wěn)定流形的作用下沿著吸引的LCS流出中心區(qū)，另一部分粒子受LCS的邊界特性影響仍被封閉在中心區(qū)內(nèi)，僅在中心區(qū)內(nèi)進(jìn)行混合。結(jié)合圖11中Poincaré截面中心區(qū)粒子回歸點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律以及圖5中FTLE顯示的中心區(qū)藍(lán)色較小值，可知LCS封閉的中心區(qū)混合能力相對較弱。

4.5 單螺桿、雙螺桿和三螺桿混合機(jī)理對比

將拉格朗日分析方法應(yīng)用于單螺桿擠出機(jī)與雙螺桿擠出機(jī)內(nèi)流體的混合機(jī)理分析。如圖14所示，隨著積分時(shí)間的增加，單螺桿擠出機(jī)流道內(nèi)的LCS除螺旋程度增加外，沒有固定點(diǎn)和“扭結(jié)”結(jié)構(gòu)產(chǎn)生。FTLE場圖中螺桿周圍的藍(lán)色區(qū)域混合較差，即為混合的“死區(qū)”。流道內(nèi)的流體僅依靠層流流動實(shí)現(xiàn)混合[20,23]，混合效率相對較低。

圖14 單螺桿擠出機(jī)不同積分時(shí)間的FTLE場

在螺桿周圍（除去死區(qū)部分）釋放粒子團(tuán)，其可視化結(jié)果如圖15所示。由圖可見，240 s內(nèi)流體粒子均沒有離開釋放區(qū)，而且未與釋放區(qū)以外的流體發(fā)生混合。在釋放區(qū)內(nèi)部，兩種顏色粒子團(tuán)之間混合呈現(xiàn)螺旋形分層結(jié)構(gòu)，與LCS的形狀一致，因此可說明單螺桿擠出機(jī)內(nèi)的流體沿著LCS準(zhǔn)邊界進(jìn)行流體輸運(yùn)。

圖15 單螺桿擠出機(jī)粒子可視化結(jié)果

合并雙螺桿擠出機(jī)流道內(nèi)排斥的LCS（紅色）和吸引的LCS（藍(lán)色），如圖16所示。雙螺桿擠出機(jī)流道被LCS分為近螺桿區(qū)（Ⅰ，Ⅱ）和遠(yuǎn)螺桿區(qū)兩個(gè)部分，并且兩種LCS在流道中心出現(xiàn)一處雙曲固定點(diǎn)，流道的兩側(cè)出現(xiàn)了“扭結(jié)”。因此雙螺桿擠出機(jī)內(nèi)同樣存在混沌混合。

圖16 雙螺桿擠出機(jī)內(nèi)（T±120 s）排斥的LCS和吸引的LCS

在排斥的LCS兩側(cè)，遠(yuǎn)螺桿區(qū)和近螺桿區(qū)Ⅱ中分別放置一個(gè)粒子團(tuán)，追蹤兩個(gè)粒子團(tuán)的運(yùn)動軌跡，比較兩個(gè)區(qū)域中流體的不同混合特性，其可視化結(jié)果如圖17所示。圖中近螺桿區(qū)中的紅色粒子團(tuán)在150 s時(shí)經(jīng)過雙曲固定點(diǎn)，沿非穩(wěn)定流形（圖16中藍(lán)色LCS）發(fā)生分離，分別進(jìn)入左、右兩側(cè)的近螺桿區(qū)（Ⅰ，Ⅱ），受到了較好的拉伸作用，說明該區(qū)中的粒子發(fā)生了較好的混合。遠(yuǎn)螺桿區(qū)中的藍(lán)色粒子團(tuán)，由于物質(zhì)線的封閉導(dǎo)致流體的輸運(yùn)受阻，經(jīng)過150 s后依然附于筒腔內(nèi)壁，未與紅色的粒子發(fā)生混合，即該區(qū)中的混合僅為常規(guī)的層流混合，混合效果相對較差。總體上，兩個(gè)粒子團(tuán)始終在各自區(qū)域內(nèi)運(yùn)動而沒有發(fā)生混合。通過以上兩個(gè)粒子團(tuán)運(yùn)動軌跡的追蹤可以說明，即使初始時(shí)刻兩個(gè)粒子團(tuán)距離較近，如果位于兩個(gè)不同的LCS分割區(qū)，其混合效果也會具有明顯的差異。

圖17 雙螺桿擠出機(jī)粒子可視化結(jié)果

圖18為單螺桿、雙螺桿和三螺桿擠出機(jī)流道內(nèi)整體對數(shù)拉伸曲線的比較（單螺桿擠出機(jī)和雙螺桿擠出機(jī)端面尺寸、幾何結(jié)構(gòu)以及網(wǎng)格密度等參數(shù)均與三螺桿擠出機(jī)各項(xiàng)參數(shù)一致）。圖中，三螺桿擠出機(jī)的對數(shù)拉伸最大，其次是雙螺桿擠出機(jī)，單螺桿擠出機(jī)的對數(shù)拉伸最小。這是因?yàn)槿輻U擠出機(jī)的雙曲固定點(diǎn)數(shù)量最大。當(dāng)流體經(jīng)過雙曲固定點(diǎn)時(shí)，在流型作用下，流體沿非穩(wěn)定流型的法線方向受到強(qiáng)拉伸作用，因此三螺桿擠出機(jī)的平均對數(shù)拉伸最大。而單螺桿擠出機(jī)無雙曲固定點(diǎn)存在，因此其對數(shù)拉伸相對較小。

圖18 三種螺桿擠出機(jī)對數(shù)拉伸比較

5 結(jié) 論

采用FTLE和LCS并結(jié)合Poincaré截面和粒子可視化技術(shù)對三螺桿擠出機(jī)流體的混沌混合特性進(jìn)行了分析，討論了中心區(qū)動態(tài)結(jié)構(gòu)特性對FTLE和LCS分布的影響，并與單螺桿擠出機(jī)和雙螺桿擠出機(jī)進(jìn)行了對比分析，得到以下結(jié)論。

（1）LCS將三螺桿擠出機(jī)流域劃分為3個(gè)具有不同運(yùn)動特性的區(qū)域：近螺桿區(qū)、遠(yuǎn)螺桿區(qū)和中心區(qū)。其中，中心區(qū)封閉的LCS導(dǎo)致中心流體粒子的輸送受到阻礙；在LCS的近螺桿區(qū)，由于流域中心雙曲固定點(diǎn)的存在，該區(qū)域的流體粒子出現(xiàn)明顯的拉伸和折疊現(xiàn)象，并在流形作用下重組，產(chǎn)生了高效的混沌混合；在LCS的遠(yuǎn)螺桿區(qū)，在流形的阻礙作用下該區(qū)中的粒子僅在區(qū)域內(nèi)發(fā)生拉伸和較小的折疊，混合效果相對較弱。因此，遠(yuǎn)螺桿區(qū)是三螺桿擠出機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)重點(diǎn)考慮的流動區(qū)域。

（2）在三螺桿擠出機(jī)中心區(qū)附近存在3個(gè)雙曲固定點(diǎn)，隨著中心區(qū)形狀的變化，雙曲固定點(diǎn)的位置隨之改變。Poincaré截面的中心區(qū)粒子群沿著準(zhǔn)周期軌跡運(yùn)動，出現(xiàn)了橢圓周期點(diǎn)，粒子的流動受到了阻礙。因此，中心區(qū)局部混合能力相對較弱。

（3）三螺桿擠出機(jī)中LCS循環(huán)產(chǎn)生的扭結(jié)是近螺桿區(qū)、遠(yuǎn)螺桿區(qū)和中心區(qū)進(jìn)行物質(zhì)交換的橋梁。隨著混合時(shí)間的增加，扭結(jié)的彎曲和折疊程度逐漸增大，增強(qiáng)了近螺桿區(qū)、遠(yuǎn)螺桿區(qū)和中心區(qū)的物質(zhì)交換，強(qiáng)化了流場的混沌混合。因此，使三螺桿擠出機(jī)流場產(chǎn)生更多的扭結(jié)是進(jìn)行螺桿優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。此外，中心區(qū)LCS封閉結(jié)構(gòu)“小→大→小”的周期性變化也是增強(qiáng)中心區(qū)和近螺桿區(qū)的物質(zhì)交換的主要方式。

（4）單螺桿擠出機(jī)的LCS呈現(xiàn)出無扭結(jié)的螺旋形結(jié)構(gòu)，不存在混沌混合。雙螺桿擠出機(jī)的LCS在嚙合區(qū)附近出現(xiàn)1個(gè)雙曲固定點(diǎn)，并將其流域劃分為近螺桿區(qū)和遠(yuǎn)螺桿區(qū)兩部分。但由于雙曲固定點(diǎn)的個(gè)數(shù)和扭結(jié)的折疊程度均不及三螺桿擠出機(jī)，雙螺桿擠出機(jī)混沌混合能力相比三螺桿擠出機(jī)較弱。

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Analysis of 2D flow chaotic mixing at cross section of tri-screw extruder by Lagrangian coherent structure

TONG Ying, ZHU Xiangzhe, GAO He, HE Yandong

(School of Mechanical Engineering, Liaoning Shihua University, Fushun 113001, Liaoning, China)

As a novel equipment for polymer fluid processing, the tri-screw extruder has very complex mixing mechanism due to periodic change in geometrical structures and stresses at its unique center region. Chaotic mixing in tri-screw extruder was analyzed by Lagrangian system, which is much different from the traditional linear mixing analysis technique. With the finite-time Lyapunov exponent (FTLE), Lagrangian coherent structure (LCS), Poincaré section and particle visualization technology, mechanism of fluid transfer and chaotic mixing in 2D flow field as well as influence of dynamic structure characteristics at the center region to the FTLE’s and LCS’s distributions were studied in tri-screw extruder and compared to those in single- and twin-screw extruders. The results show that LCS divided the flow field in tri-screw extruder into three regions of different flow characteristics, namely, the near screw region, the far screw region and the center region, where a snarl is mass transfer bridge connecting these three regions. With the increase of mixing time, the degree of bending and folding in the snarls increased gradually, that enhanced chaotic mixing in flow field of tri-screw extruder by increasing transportation of polymer melt across three regions. Three hyperbolic fixing points near the kneading block indicated good mixing capability. The existence of elliptical cycle points in the Poincaré cross-sections implied the presence of non-chaotic spots in the center of flow field. Thus, mixing in the center region of tri-screw extruder was relatively poor.

tri-screw extruder; finite-time Lyapunov exponent; Lagrangian coherent structure; chaotic mixing; flow; CFD; numerical analysis

2016-02-17.

Prof. ZHU Xiangzhe, xzzhu@126.com

10.11949/j.issn.0438-1157.20160178

TQ 320.5

A

0438—1157（2016）10—4378—11

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51473073，51303075）；遼寧省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2015020142）。

2016-02-17收到初稿，2016-07-05收到修改稿。

聯(lián)系人：朱向哲。第一作者：佟瑩（1991—），女，碩士研究生。

supported by the National Natural Science Foundation of China (51473073, 51303075) and the Natural Science Foundation of Liaoning Province (2015020142).