豎直翅片間液橋體積計(jì)算模型

莊大偉，楊藝菲，胡海濤，丁國良

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豎直翅片間液橋體積計(jì)算模型

莊大偉，楊藝菲，胡海濤，丁國良

(上海交通大學(xué)制冷與低溫工程研究所，上海200240)

管翅式換熱器在析濕工況下會在翅片間形成大量液橋，液橋體積會影響換熱器中冷凝水的排出。提出一種將液面彎曲線沿液橋三相接觸線積分的方法計(jì)算豎直翅片間液橋體積，其中液橋三相接觸線采用橢圓方程描述，液面彎曲線模型基于Young-Laplace方程的計(jì)算結(jié)果擬合得到。通過液橋三相接觸線與液面彎曲線觀測實(shí)驗(yàn)對提出的液橋體積計(jì)算模型進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明，95%的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)的誤差范圍在±15%內(nèi)，平均誤差為7.12%。

液橋體積；豎直翅片；模型；數(shù)值分析；實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

引 言

翅片管式換熱器廣泛應(yīng)用于空調(diào)系統(tǒng)[1-3]，而且經(jīng)常運(yùn)行在濕工況下[4-6]。當(dāng)翅片溫度低于濕空氣的露點(diǎn)溫度時(shí)，濕空氣中的水蒸氣會冷凝析出，并在翅片表面形成小液滴[7-8]，小液滴會隨冷凝過程的不斷進(jìn)行進(jìn)一步生長并互相靠攏，從而在翅片間形成液橋。豎直翅片間的液橋會阻塞空氣流道，惡化換熱以及增大壓降[9-11]。因此，研究豎直翅片間的液橋很重要。

液橋的研究包括3個(gè)方面：接觸線、接觸角和體積。現(xiàn)有研究表明豎直翅片間液橋的接觸線為橢圓形[11-12]；接觸角可以通過與方位角有關(guān)的三次多項(xiàng)式表達(dá)[12]。液橋的體積決定液橋受到的重力，目前已有將液橋假設(shè)為雙曲線體的體積模型[13]。但觀察發(fā)現(xiàn)豎直翅片間液橋不能簡單地采用雙曲線體計(jì)算液橋的體積，因此需要建立一個(gè)能夠計(jì)算豎直翅片間液橋體積的模型，用于評價(jià)液橋的排水特性。

液橋體積模型可以通過對液固接觸面和氣液接觸面的積分求得，其中液固接觸面是由接觸線包圍而成，氣液接觸面是由彎曲液面沿接觸線旋轉(zhuǎn)而成，所以建立液橋體積模型的關(guān)鍵是彎曲液面曲線和接觸線方程。彎曲液面和橢圓接觸面會受到表面張力和重力的影響，導(dǎo)致液橋接觸角在不同方位下的不同，因此在計(jì)算液橋體積時(shí)需要考慮重力和表面張力對液橋形狀的影響。目前液橋接觸線方程已有研究成果[12-16]，包括水平液橋的圓形接觸線[13-14]和豎直的橢圓形接觸線[15-16]。對于本工作研究的豎直液橋，接觸線為橢圓形，橢圓方程與液橋尺寸、翅片間距和表面特性有關(guān)。目前接觸角的研究是針對水平板間液橋的[17-19]，當(dāng)液橋形成在豎直平板間時(shí)，在重力的作用下液橋?qū)l(fā)生形變，其接觸角會隨方位角變化而變化，因此不能用水平液橋接觸角模型計(jì)算豎直液橋的接觸角。

本工作考慮到在重力和表面張力作用下液橋的接觸角隨方位角的變化，建立了能夠計(jì)算豎直翅片間液橋體積的模型。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 建模對象

豎直翅片間形成的液橋如圖1所示。液橋由空氣-水交界面和水-翅片交界面兩部分包裹而成。通過已知的翅片表面潤濕性、翅片間距和液橋尺寸可以得到空氣-水彎曲線和水-翅片接觸線，然后分別得到空氣-水交界面和水-翅片交界面，最后通過積分的方法求得液橋的體積。

1.2 水-翅片交界面的接觸線方程

水-翅片交界面的形狀如圖2所示。其形狀可以表示為橢圓方程

式中，表示接觸線橢圓的半長軸，可以反映液橋的尺寸；表示接觸線橢圓的長短比[12]，可以通過式(2)求得

式中，表示Bond數(shù)，表示重力加速度，表示水的密度，表示翅片間距，表示水的表面張力系數(shù)。

1.3 空氣-水交界面的彎曲線方程

豎直平板間的彎曲線輪廓如圖3所示。彎曲線方程可以由Young-Laplace基本方程[式(4)]推導(dǎo)得到。方程左項(xiàng)是考慮重力作用下彎曲線液面的內(nèi)外壓差，可由式(5)求解得到；方程右項(xiàng)可以由曲率計(jì)算公式[式(6)]求解得到[20]。將式(5)和式(6)代入式(4)可以得到液橋彎曲線的曲率公式[式(7)]。

式中，Δ是交界面壓差，1和2是主曲率半徑，Δ是水和濕空氣密度差，是重力加速度，是彎曲線上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是表面張力系數(shù)。

對式(7)左右兩側(cè)同時(shí)進(jìn)行積分，如式(8)所示，即可以得到彎曲線的斜率公式[式(9)]，式(9)中的系數(shù)可以通過式(10)計(jì)算。

式(9)是彎曲線的斜率方程，但該方程并沒有封閉解析解。因此，為了更方便地求解，本工作引入四次方程[式(11)]擬合彎曲線，并通過式(12)和式(13)所示的邊界條件確定四次方程的待定系數(shù)。

式中，1、2和3是待定系數(shù)，0表示彎曲線最低點(diǎn)0的縱坐標(biāo)。

因此，最終的彎曲線形狀的四次方程可以表示如下

圖4是解析方程與四次擬合方程關(guān)于彎曲線在軸右半部分的對比，由圖可知四次曲線與解析曲線吻合較好，因此可以用四次曲線表示液橋的彎曲線的形狀，從而為進(jìn)一步積分求解液橋體積提供方便。

1.4 液橋體積模型

式(14)中的參數(shù)和是與方位角有關(guān)的變量，具體關(guān)系如下所示[12]

式中，()表示隨方位角變化的橢圓接觸線弦長；0表示方位角為0時(shí)的橢圓弦長，即橢圓長半軸；()表示隨方位角變化的液橋接觸角。

液橋體積可以通過積分求得。對于的積分從–/2到/2，對于的積分從0到2π，如圖5所示。液橋的體積可以用積分的形式表達(dá)為

2 模型驗(yàn)證

2.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

通過可視化實(shí)驗(yàn)觀測液橋輪廓，并對比實(shí)驗(yàn)中液橋體積與模型計(jì)算得到的液橋體積結(jié)果，進(jìn)而達(dá)到驗(yàn)證模型的目的。

2.2 實(shí)驗(yàn)原理與裝置

本實(shí)驗(yàn)的工作原理是在豎直平板間滴注液體形成液橋，通過CCD相機(jī)拍攝液橋輪廓，并采用圖像處理技術(shù)進(jìn)行分析。

實(shí)驗(yàn)需要測量的量包括平板的前進(jìn)接觸角A、液橋長度和平板間距。通過這3個(gè)實(shí)驗(yàn)量作為輸入量代入計(jì)算模型中計(jì)算液橋體積，并對比液橋體積的模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)滴注的液橋體積值，從而得到模型預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)值的誤差。

液橋體積的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證裝置包括液體注射系統(tǒng)、翅片樣件系統(tǒng)、拍攝系統(tǒng)和旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，如圖6所示。

2.3 實(shí)驗(yàn)步驟

本實(shí)驗(yàn)包括兩個(gè)步驟。

（1）在豎直翅片間注射蒸餾水，形成液橋。

豎直翅片由兩個(gè)平板組成，通過調(diào)節(jié)墊片厚度可以調(diào)節(jié)翅片間距。翅片樣件通過螺絲與接觸角測量儀測試平臺進(jìn)行固定。通過注射器向翅片間注射蒸餾水，從而形成液橋。

（2）拍攝液橋輪廓，并獲得液橋體積數(shù)據(jù)。

通過旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)可以使拍攝角度達(dá)到0°～90°。CCD照相機(jī)可以在0°時(shí)拍攝液橋的正視圖，在90°時(shí)拍攝液橋的側(cè)視圖，從而獲得液橋的基本參數(shù)。通過接觸角測量儀自帶的液體注射系統(tǒng)可以控制滴入液橋的體積，從而與模型預(yù)測值進(jìn)行對比。

2.4 驗(yàn)證結(jié)果與討論

圖7顯示了模型預(yù)測與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)關(guān)于液橋體積的誤差，其中符號×表示無重力計(jì)算模型與實(shí)驗(yàn)的誤差，符號○表示有重力計(jì)算模型與實(shí)驗(yàn)的誤差。無重力計(jì)算模型可以在±40%的誤差范圍內(nèi)描述100%的點(diǎn)，平均誤差為20.15%；有重力計(jì)算模型可以在±15%的誤差范圍內(nèi)描述95%的點(diǎn)，平均誤差為7.12%。

對于考慮了重力作用的計(jì)算模型，預(yù)測結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差是由于對固體表面的前進(jìn)接觸角和后退接觸角描述的不準(zhǔn)確引起的。在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)樣件中，固體平板是表面特性不均勻的，在平板上的各點(diǎn)其前進(jìn)接觸角和后退接觸角不一致，通過實(shí)驗(yàn)對平板上、下、左、右、中5個(gè)不同位置點(diǎn)進(jìn)行測量，取平均值作為實(shí)驗(yàn)的測量值，見表1。在模型預(yù)測中，固體表面特性是均勻的，各點(diǎn)的前進(jìn)接觸角和后退接觸角一致，直接采用實(shí)驗(yàn)得到的平均值作為輸入?yún)?shù)。因此，模型預(yù)測的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在誤差。

表1 平板不同位置點(diǎn)的前進(jìn)接觸角和后退接觸角

豎直翅片間液橋的最小接觸角會在前進(jìn)接觸角和后退接觸角之間變化。在工程計(jì)算中，為了簡化液橋體積的計(jì)算過程，最小接觸角通常被認(rèn)為近似等于后退接觸角。這種近似很可能會對液橋體積的計(jì)算造成較大的誤差，因此需要了解液橋最小接觸角的取值對液橋體積計(jì)算的影響。

圖8反映了最小接觸角取值對液橋體積計(jì)算結(jié)果的影響。由圖可知，液橋的最小接觸角會對液橋體積的計(jì)算結(jié)果造成很大的影響。采用min=R的近似計(jì)算液橋體積會造成最大17.3%的計(jì)算誤差。因此，在計(jì)算液橋體積時(shí)，不能用后退接觸角直接代替液橋的最小接觸角進(jìn)行計(jì)算，而應(yīng)該采用本文使用的式(16)進(jìn)行求解。

3 結(jié) 論

（1）豎直翅片間液橋體積可以通過對彎曲線沿著接觸線進(jìn)行積分求得。

（2）水-翅片交界面的接觸線可以用與長短比有關(guān)的橢圓方程表示；空氣-水交界面的彎曲線可以由四次方程對彎曲線方程進(jìn)行描述。

（3）液橋形狀的模型預(yù)測結(jié)果和可視化圖像吻合較好；液橋體積的模型計(jì)算結(jié)果可以在±15%的誤差范圍內(nèi)描述95%的點(diǎn)，平均誤差為7.12%。

（4）液橋體積的計(jì)算不能將后退接觸角近似等于最小接觸角，這種近似會造成最大17.3%的計(jì)算誤差。

符 號 說 明

Bo——Bond數(shù) c——待定系數(shù) d——平板間距，mm g——重力加速度，9.81 m·s-2 k——待定系數(shù) L——長軸長度，mm p——壓力，Pa R——主曲率半徑 V——體積，μl β——伸長比 γ——方位角，(°) θ——接觸角，(°) ρ——密度，kg·m-3 σ——表面張力，N·m-1 下角標(biāo) A——前進(jìn) R——后退

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Model for calculating water bridge volume retained between vertical fins

ZHUANG Dawei, YANG Yifei, HU Haitao, DING Guoliang

(Institute of Refrigeration & Cryogenics Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

When a fin-and-tube heat exchanger worked as dehumidifier, lots of water bridges would form between vertical fins and the water volume of these bridges could affect discharge of water condensate. A model for the calculation of water bridge volume was established by integration of meniscus curve along triple contact line of the water bridge. An ellipse equation was used to simulate the triple contact line while a model of meniscus curve at the water-air interface was obtained from calculation results of the Young-Laplace equation. The model for calculating water bridge volume was validated by experimental study on triple contact lines and meniscus curves. The model predicted water volumes of these bridges 95% times aligned with the experimental data within the deviation limit of ±15%, which had a mean deviation of 7.12%.

water bridge volume; vertical fin; model; numerical analysis; experimental validation

2016-04-01.

DING Guoliang, glding@sjtu.edu.cn

10.11949/j.issn.0438-1157.20160411

TK 124

A

0438—1157（2016）10—4080—06

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51576122）；國家自然科學(xué)基金創(chuàng)新研究群體科學(xué)基金項(xiàng)目（51521004）；上海市優(yōu)秀學(xué)術(shù)帶頭人計(jì)劃項(xiàng)目（16XD1401500）。

2016-04-01收到初稿，2016-06-03收到修改稿。

聯(lián)系人：丁國良。第一作者：莊大偉（1987—），男，博士后。

supported by the National Natural Science Foundation of China (51576122), the Foundation for Innovative Research Groups of the National Natural Science Foundation of China (51521004) and the Program of Shanghai Academic Research Leader (16XD1401500).