斜交箱梁剪力滯效應的彈性分析

任榮旭，　卜建清

(1.石家莊鐵道大學交通運輸學院，河北 石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學土木工程學院，河北 石家莊 050043)

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斜交箱梁剪力滯效應的彈性分析

任榮旭1，卜建清2

(1.石家莊鐵道大學交通運輸學院，河北 石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學土木工程學院，河北 石家莊 050043)

斜交箱型梁橋剪力滯效應十分復雜，為在理論求解方面進行完善，通過變分法對其進行彈性求解分析，將斜交箱型梁橋的每項應變能和勢能疊加求和，計算得出相應控制方程與自然邊界條件，然后運用伽遼金公式對其求出近似解，當斜率無限趨向零時，其結果和直線箱型梁橋的公式相同。計算實例的結果與有限元法結果進行了對比，結果相近，證明該方法能較為準確地反映出斜交箱型梁橋的力學性能。

斜交箱梁；變分法；剪力滯效應

這些年來，斜交箱型梁橋剪力滯理論分析方面取得了很多成果。文獻[1]中為計算斜交連續(xù)箱型梁橋的剪力滯效應，分析斜交箱型梁橋的受力特點，采用廣義協(xié)調元和薄膜單元相結合的方式，研究得出了平板殼單元，可以有效解決相關問題；文獻[2]中將斜交箱型梁橋在縱向分成幾個斜梁段，運用正、斜交坐標之間的轉換，得到了如何去描述單元在斜交坐標系上空間位移的辦法，得出了板梁段的總勢能，通過使勢能駐值為零，求解總綱方程，并且編制出了計算機程序PBS，用于斜交橋梁的受力求解；文獻[3]建立了單箱四室斜交箱型梁橋的有限元模型，為了分析其剪力滯現(xiàn)象，通過SOLID65單元，建立了有限單元模型，對其做了參數(shù)敏感性分析，探討了正、斜交箱梁剪力滯的差別。目前，由于交通事業(yè)的飛速發(fā)展，使得斜交箱型梁橋的應用愈加廣泛，但是斜交箱型梁橋的剪力滯較正橋更為復雜，同時還要考慮彎曲、扭轉和剪滯產生的耦合，很多公式不能直接運用。本文通過利用箱型梁橋剪力滯理論中的縱向位移函數(shù)，計入彎、扭和剪力滯共同作用，可得到斜交箱型梁橋的位移函數(shù)，同時依據(jù)變分法進行剪力滯效應彈性方面的分析，得出斜交箱型梁橋的微分方程和自然邊界條件，然后對這些微分方程求出近似解。

1 基于變分法原理的斜交箱梁剪力滯分析

1.1 基本假定

①箱梁翼板在縱向上的位移可以認為是沿橫向分布的三次拋物線；②斜交箱梁的縱向正應變和直線箱梁正應變的比值為cos?(?為斜度)；③不計入箱梁畸變的影響；④平截面假定同樣適用于箱梁腹板位移假設；⑤不計入箱梁翼板豎向纖維之間的作用變形(εy= 0)；⑥箱梁板平面外所產生的剪切變形和橫向應變都比較小，予以忽略；⑦在荷載施加到斜交箱型梁橋時，其會一直處于彈性階段。

1.2 斜交箱型梁橋位移函數(shù)

施加豎向荷載的情況下，斜交箱型梁橋會產生豎向彎曲，在扭矩的作用下會產生扭轉，同時橫向荷載的分布也應該考慮到。箱梁翼板在豎向所產生的位移可表示為：

(1)

式中：f(z)為單元不計入受橫向荷載分布影響的豎向位移；r(z)為考慮荷載橫向分布的位移差函數(shù)。

依據(jù)假定①可以得到翹曲位移的函數(shù)，受剪力滯效應作用的翹曲位移可表示為：

(2)

式中：W(z)為箱梁翼板在縱向上位移差的函數(shù)；bi為翼板凈寬的一半；hi為箱梁翼板上計算點的坐標。斜交箱型梁橋的坐標和截面尺寸表示如圖1所示。

用φ(z)表示斜交箱型梁橋翼板所產生的扭轉位移函數(shù)。

圖1 斜交箱型梁橋示意圖

1.3 斜交箱型梁橋翼板應變

斜交箱梁翼板的彎曲正應變包含兩部分，分別是剛性截面在均勻位移下的正應變εz1和在剪力滯翹曲位移下的正應變εz2。

(1)斜交梁橋在考慮受到彎扭耦合作用時的縱向應變εz1：

(3)

(2)斜交梁橋在由于剪力滯計算得到的翹曲位移下的正應變εz2：

(4)

彎曲正應變εz

(5)

1.4 斜交箱型梁橋的總勢能

先用能量變分法求得受力時產生的勢能以及應變能，求和得到斜交箱型梁橋的彈性總勢能表達式：∏=U1+U2+U3+U4+V

(6)

式中：U1為豎向彎曲得出的應變能；U2為由于剪力滯效應翹曲剪切產生的應變能；U3為自由扭轉產生的應變能；U4為翹曲扭轉所得出的應變能；V為荷載產生的勢能；qy為橫向荷載；Mx為端彎矩；Qy為端剪力；mz為分布扭矩；Tz為端扭矩；Ix為抗彎慣性矩；kT為抗扭慣性矩；Iw為扇形慣性矩；?為斜度；Is為翼板慣性矩；E為材料彈性模量；G為材料剪切模量。

1.5 斜交箱型梁橋的控制方程

因為能量變分法原理中應該是 ?∏=0，在計入斜度變化以及荷載橫向分布的影響下，同時考慮彎、扭和剪力滯會產生耦合效應，可以得到斜交箱型梁橋的控制方程以及相應的自然邊界條件。

(1)控制微分方程

(7)

(8)

(9)

(2)自然邊界條件

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：q(z)y=qy；q(x)y=qy[1-x3/b3]。

當斜度無限趨近于零的時候，就會得出直線箱型梁橋剪力滯效應的彈性微分方程，即：

(15)

1.6 伽遼金法運算求解彈性控制微分方程

伽遼金法是工程上常用的近似求解方法，采用此法求解可假設變形的曲線為：

(16)

式中：l是斜交箱型梁橋的計算跨徑；am、bn、ck是常數(shù)。先將上述變形曲線求導，然后代入到公式(7)～公式(9)，通過計算且歸并am、bn、ck前的系數(shù)得：

(17)

解此方程得系數(shù)am、bn、ck為：

(18)

(19)

(20)

式中：D1～D5各項系數(shù)分別為

考慮剪力滯效應所產生的影響，同時結合計算出的幾何方程和物理方程，通過運算可以得到橫截面正應力在空間上的分布:

(21)

2 算例分析

文獻[4]通過結構計算軟件ANSYS，采用三維實體單元，建立了斜交箱型梁橋的有限元模型，分別計算理論解和軟件有限元解，將兩者進行對比。以某簡支斜交箱型梁橋的模型作為例子，其截面見圖1，b1=2.5 m，b2=1.9 m，t1=t2=t3=0.3 m，tw=0.6 m，h=1.8 m，彈性模量E=300 MPa，泊松比μ=0.385，斜梁跨度取30 m，斜梁斜度取30°。工況一為集中載荷P=100 kN施加在跨中腹板頂面，工況二為均布荷載Q=10 kN/m施加在全跨腹板頂面，分別計算求解這兩個工況，其結果見表1。

表1 集中荷載和均布荷載作用下剪力滯系數(shù)λ對比

通過對比表1中數(shù)據(jù)，可以得到：分別采用本文方法和有限元法計算集中荷載作用和均布荷載作用時的斜交箱型梁橋的剪力滯系數(shù)，認為兩者的計算結果相差不大，計算結果滿足科研和實踐的使用要求，驗證了本文的計算公式是正確的。在求解相關工程實際問題時，可以直接使用本文公式，不僅準確，而且計算簡潔方便。

3 結論

本文對斜交箱型梁橋模型進行剪力滯彈性分析，運用了能量變分法，且考慮了彎剪扭的耦合效應以及荷載沿橫向的分布影響，得到了相關的控制方程以及自然邊界條件，然后使用伽遼金法運算，求得近似解，得出計算公式。

經(jīng)計算分析認為：在研究計算斜交箱型梁橋剪力滯的時候，考慮了存在的彎扭耦合效應，并且對斜交箱型梁橋的力學特性進行了準確的表述。將本文方法計算的剪力滯系數(shù)與有限元法計算的剪力滯系數(shù)進行了對比，驗證了本文的分析正確。當斜度趨向于0時，計算結果就是對直線箱型梁橋的剪力滯進行彈性求解后得到的微分方程，所以本文的計算結果同樣也可以視作對直線箱型梁橋的剪力滯進行理論分析所取得成果的重要補充。

[1]張元海，李 喬.斜交箱梁橋剪滯效應的有限元分析[J].西南交通大學學報，2005(1)：64-67

[2]盛興旺，曾慶元.斜交箱梁的板梁段有限元法[J].中國鐵道科學，2004(3)：55-60

[3]鄧小康，向桂兵.單箱多室斜交箱梁剪力滯效應分析[J].西部交通科技，2011(5)：55-64

[4]楊 津.預應力混凝土斜交箱梁橋剪力滯效應分析[D].石家莊：石家莊鐵道大學，2014

An Elastic Analysis of the Lag Effect of the Shear of a Skew Box Girder

REN Rongxu1，BU Jianqing2

(1.College of Traffic and Transportation，Shijiazhuang Tiedao University,Shijiazhuang 050043,China;2.College of Civil Engineering,Shijiazhuang Tiedao University,Shijiazhuang 050043,China)

The lag effect of the shear of a skew box girder is very complex. In order to improve the theoretical solution to it, an elastic analysis of it is made by means of the variational method in the paper. Each item of the strain energy and the potential energy of the skew box girder is superposed and summated, upon the basis of which the elastic differential equation and the boundary conditions are derived,and then the solution equations are obtained in the light of the Calerkin method. When the slop tends infinitesimally to zero,the results are the same as the formula for the lag effect of the shear of a straight box girder. When the calculated results of practical examples are compared with those by the finite element method, it is found that the solutions are in good agreement. Thus, it is proved that the analysis method is able relatively exactly to reflect the mechanical performance of the thin-walled skew box girder.

skew box girder;variational method；effect of shear lag

2015-12-14

河北省自然科學基金(E2013210104)，河北省高校百名創(chuàng)新人才支持計劃(Ⅱ)，河北省高層次人才資助項目(A201400213)

任榮旭(1991—)，男，碩士研究生，研究方向為交通運輸工程、橋梁工程。1281634252@qq.com

10.13219/j.gjgyat.2016.05.005

U441.5

A

1672-3953(2016)05-0016-04