矩陣秩的新定義

劉忠志

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矩陣秩的新定義

劉忠志

（廣東白云學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，廣東 廣州 510450）

論文對(duì)矩陣的秩有新的定義，這個(gè)新定義通俗易懂，有所創(chuàng)意，教學(xué)效果好，深受學(xué)生歡迎。

矩陣；矩陣的行初等變換；矩陣秩的新定義；齊次線性方程組；高斯消元法

1　傳統(tǒng)矩陣秩的定義

幾乎所有的線性代數(shù)教材中矩陣秩的定義都是這樣定義的。這樣定義矩陣的秩當(dāng)然有它的好處。但是，對(duì)于應(yīng)用型本科（二本、三本）學(xué)生來說認(rèn)為比較抽象，較難理解。因此我們采用如下定義。

2　矩陣秩的新定義

我們先定義階梯陣和規(guī)范階梯陣，再定義矩陣的秩。

注：若矩陣的某行元素全為0，則該行稱為0行；至少有一個(gè)元素不為0的行稱為非0行。

定義2 （規(guī)范階梯陣定義）若階梯矩陣滿足下面兩條:

（1）每個(gè)非零行的首個(gè)非零元是1；

（2）每個(gè)非零行的首個(gè)非零元1所在列的其他元素全為0。

則這樣的階梯陣稱為規(guī)范階梯陣。

上例階梯矩陣(3)是規(guī)范階梯陣(是前一矩陣用行初等變換化來的)。

定理1 任何矩陣都可以通過單獨(dú)的行初等變換化為階梯陣，進(jìn)而化為規(guī)范階梯陣。

同理可以考慮第二列，設(shè)第二列的第二個(gè)至最后一個(gè)數(shù)至少有一個(gè)非0（否則，考慮第三列，依此類推），則經(jīng)過若干次行初等變換可以化為其中，，*表示數(shù)。同理可以考慮第三列，設(shè)第三列的第三個(gè)至最后一個(gè)數(shù)至少有一個(gè)非0（否則，考慮第四列，依此類推），如此繼續(xù)下去，經(jīng)過一系列行初等變換，最終得到階梯陣。進(jìn)而化為規(guī)范階梯陣（化法是用行初等變換把上述矩陣中化為1，再用行初等變換把這些1所在列的其他數(shù)化為0即可）。

可知這樣化出來的階梯陣非0行的行數(shù)與規(guī)范階梯陣非0行的行數(shù)相同。這個(gè)數(shù)其實(shí)就是矩陣的秩，但是這個(gè)數(shù)的唯一性還沒有得到證明，下面證明這個(gè)數(shù)的唯一性。

有的齊次線性方程組一眼看出有效方程的個(gè)數(shù)，例如線性方程組，第二個(gè)方程等號(hào)兩邊同除以2即為第一個(gè)方程，所以第二個(gè)方程是無效方程，只有一個(gè)有效方程。此線性方程組所對(duì)應(yīng)的矩陣，只有一個(gè)非0行，“非0行的行數(shù)”=“有效方程的個(gè)數(shù)”，而有的齊次線性方程組一眼看不出有效方程的個(gè)數(shù)（因有時(shí)某一方程的左邊是其余若干個(gè)方程左邊的線性組合），可以用高斯消元法求出其有效方程的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求出方程組的解。通常首先把齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣寫出來，再把用行初等變換化為階梯陣或規(guī)范階梯陣，以此階梯陣或規(guī)范階梯陣非0行的行數(shù)來確定有效方程的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求出方程組的解。

這樣我們可以定義矩陣的秩如下：

這樣定義矩陣的秩比較直觀，容易使學(xué)生弄懂。

本文認(rèn)為矩陣秩的新定義，直觀易懂，容易使學(xué)生接受。

還有一點(diǎn)需要注意的是，高斯消元法的產(chǎn)生在前，矩陣的秩產(chǎn)生在后：高斯消元法是高斯（1777年生—1855年死）發(fā)現(xiàn)的，而矩陣產(chǎn)生公布于世的時(shí)間，是凱萊（1821年—1895年）在1858年（高斯去世后），發(fā)表了世界上矩陣第一篇論文“矩陣論的研究報(bào)告”，定義了矩陣運(yùn)算法則，矩陣轉(zhuǎn)置及矩陣逆等一系列概念。但是矩陣的秩是弗羅伯紐斯（1849年—1917年）在凱萊發(fā)表矩陣論文之后引進(jìn)的。在高斯消元法產(chǎn)生的那個(gè)時(shí)代，還沒有已公布的矩陣概念。所以我們利用齊次線性方程組的高斯消元法及其有效方程個(gè)數(shù)的唯一性來證明矩陣化為階梯陣或規(guī)范階梯陣后非0行的行數(shù)是唯一的，合情合理。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué).線性代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2007: 65-66.

[2]上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].上海:上海交通大學(xué)出版社,2009:84-85.

[3]趙樹源.線性代數(shù)[M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2007.

[4]吳贛昌.線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)[M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2007:41.

（責(zé)任編校：何俊華）

2016－01－20

劉忠志（1959－），男，湖南永州人，廣東白云學(xué)院副教授，研究方向?yàn)榻虒W(xué)研究。

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1673-2219（2016）05-0009-02