對一個條件恒等式的反思探究

楊憲立，紀保存

(1.河南教育學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 鄭州 450046；2.濮陽職業(yè)技術學院 數(shù)學與信息工程系，河南 濮陽 457000)

?

對一個條件恒等式的反思探究

楊憲立1，紀保存2

(1.河南教育學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 鄭州 450046；2.濮陽職業(yè)技術學院 數(shù)學與信息工程系，河南 濮陽 457000)

對一個條件恒等式進行了反思探究.利用牛頓公式，給出了一個條件恒等式的簡捷證明，探究反思得到了4個類似的結論，從理論上對問題進行了探索論證并進行了推廣，得到了9個新的命題.

恒等式；探究；命題；正整數(shù)數(shù)組

文獻[1]中有這樣一道題目：已知a1，a2，a3∈R，且a1+a2+a3=0，求證

(1)

這個簡單的條件恒等式洋溢著對稱、奇異、和諧、統(tǒng)一等數(shù)學美．如此優(yōu)美的條件恒等式，自然引起了我們極大的興趣，好奇心驅使我們進行反思：它是怎么得來的？還有類似的條件恒等式嗎？能推廣嗎?

探究1探源與簡證．

(1)式最初是何人給出，又是如何發(fā)現(xiàn)的，最早出現(xiàn)在何處，筆者手頭缺乏資料，無從考證，只有大膽猜測，它與牛頓公式有關．即使猜測錯誤，至少利用牛頓公式也能給出(1)式的一個簡捷證明．

1)當m≤k時，sm=σ1sm-1-σ2sm-2+…+(-1)mσm-1s1+m(-1)m+1σm；

2)當m>k時，sm=σ1sm-1-σ2sm-2+…+(-1)k+1σksm-k．

從以上證明中還可得出以下命題1.

命題1已知a1，a2，a3∈R，且a1+a2+a3=0，求證

探究2還有與(1)式類似的恒等式嗎？

繼續(xù)利用牛頓公式計算：

由此，可得

命題2已知a1，a2，a3∈R，且a1+a2+a3=0，求證

(2)

探究3觀察結構上完全一致的(1)式和(2)式，可統(tǒng)一表示為

(3)

那么，使(3)式恒成立的正整數(shù)數(shù)組(m，n)有幾組解呢？

因為a1+a2+a3=0，所以a3=-(a1+a2)，從而(3)式等價于

(4)

(5)

(6)

可以驗證，當n=3時，(6)式左右兩邊相等，所以(2,3)是所求的一組解．

綜上所述，可得命題3.

命題3已知a1，a2，a3∈R，且a1+a2+a3=0，則使(3)式恒成立的正整數(shù)數(shù)組(m,n)(m≤n)只有兩組解(2,3)與(2,5)．

探究4(1)式的推廣．

命題4設a1，a2，a3，a4∈R，且a1+a2+a3+a4=0，求證

命題5設a1+a2+a3+a4=0，則使f4(m+n)=f4(m)f4(n)恒成立的正整數(shù)數(shù)組(m,n)(m≤n)只有一組解(2,3)．

證明當a5=a6=……=ak=0時，命題6化為命題5，因此它最多只有一組解(2,3).取a1=a2=a3=1，a4=-1，a5=-2，a6=a7=……=ak=0，則fk(2+3)=-6，fk(2)fk(3)=-8，從而(2,3)不是它的解，故命題成立．

限于篇幅，下面3個命題的證明略去，有興趣的讀者可自證．

命題7設a1+a2+a3=0，則使f3(m+n+t)=f3(m)f3(n)f3(t)(m≤n≤t)恒成立的正整數(shù)數(shù)組(m,n,t)只有一組解(2,2,3)．

命題8設a1+a2+…+ak=0(k≥4)，則不存在正整數(shù)數(shù)組(m,n,t)，使fk(m+n+t)=fk(m)fk(n)fk(t)恒成立．

命題9設a1+a2+…+ak=0(k≥3)，則不存在正整數(shù)數(shù)組(m1,m2,…,mr)(r≥4)，使fk(m1+m2+…+mr)=fk(m1)fk(m2)…fk(mr)恒成立．

[1]李長明,周煥山.初等數(shù)學研究[M].北京:高等教育出版社,1995：127.

[2]余希元,田萬海,毛宏德.初等數(shù)學研究:上[M].北京:高等教育出版社，1988：163.

The Reflection and Inquiry on a Conditioned Identity

YANG Xianli1, JI Baocun2

(1.School of Mathe matics and Statistics, Henan Institute of Education, Zhengzhou 450046, China；2.Department ofMethematicsandStatistics,PuyangVocationalandTechnicalCollege,Puyang457000,China)

The inquiry and reflection were made on a conditioned identity. And gives a succinct proof with the help of Newton formula. What’s more, probes into four similar conclusions, and demonstrates the problem theoretically. In addition, popularizes the problem and gets nine new propositions.

identity; inquiry; proposition; positive integer array

2016-04-16

河南省高等學校重點科研項目(16B110005)；河南省教育廳教師教育改革研究項目(2015-JSJYYB-120)

楊憲立(1961—)，男，河南林州人，河南教育學院數(shù)學與統(tǒng)計學院教授，主要研究方向：數(shù)學教育.

10.3969/j.issn.1007-0834.2016.03.013

G642

A

1007-0834(2016)03-0046-03