空間點到直線距離的新算法

陳士龍，鄒新民

（1.長江大學(xué)　信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北　荊州　434023；2.湖北省監(jiān)利中學(xué)，湖北　監(jiān)利　433300）

空間點到直線距離的新算法

陳士龍1，鄒新民2

（1.長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北荊州434023；2.湖北省監(jiān)利中學(xué)，湖北監(jiān)利433300）

運用極值原理，給出了直線一般方程條件下空間點到直線的距離公式.

平面束；內(nèi)積；極值；距離

1　問題的提出

2　新算法研究

π:μ（A1x+B1y+C1z+D1）+λ（A2x+B2y+C2z+D2）=0（μλ∈R）的距離d（μ，λ）的最小值和最大值都存在，且最小值dmin=0，最大值dmax=|PQ|（其中PQ⊥直線L，垂足為Q）.

證明如圖一所示，設(shè)經(jīng)過直線L且與直線PQ垂直的平面為π0，過直線L的平面π與π0夾角為θ（0≤θ≤π/2），則點 P到平面 π的距離 d=|PQ|cosθ，當θ=0、π/2時，得dmax=|PQ|、dmin=0.

μ（A1x+B1y+C1z+D1）+λ（A2x+B2y+C2z+D2）=0（λ∈R），它表示除π2外的經(jīng)過直線L的所有平面［2］，于是由引理1可得：

推論設(shè)直線L外一點P（x0，y0，z0）到平面

（A1x+B1y+C1z+D1）+λ（A2x+B2y+C2z+D2）=0的距離為d（λ），PQ⊥直線L，垂足為Q，則：

i）當且僅當P∈π2時，d（λ）有最大值但無最小值；

ii）當且僅當PQ⊥π2時，d（λ）有最小值但無最大值；

iii）除i）、ii）情形外，d（λ）既有最大值又有最小值，且最小值為0，最大值為點P到直線L的距離|PQ|.

定義內(nèi)積（ni，nj）=AiAj+BiBj+CiCj（i，j=1，2），則點P到直線L的距離:

i）當M2（n1，n2）≠M1（n2，n2）時

ii）當M2（n1，n2）=M1（n2，n2）時

下面來求f（λ）的最大值點：令f'（λ）=0得

i）當M2（n1，n2）≠M1（n2，n2）時，

10若M2≠0，則（n1，n2）M22-（n2，n2）M1M2≠0，此時f（λ）有兩個駐點：

由f（λ1）=0知λ1是f（λ）的最小值點，所以λ=λ2是所求的f（λ）的最大值點，（2）式成立.

20若M2=0（P∈π2，由于P?L，所以P?π1，因而M1≠0），則f（λ）僅有一個駐點，此λ即為f（λ）的最大值點（由推論i）知，此時f（λ）無最小值），（2）式成立.

ii）當M2（n1，n2）=M1（n2，n2）時，f（λ）僅有一個駐點

λ*=，且f（λ*）=0，表明f（λ）有最小值但無最大值.

由推論ii）知，此時d等于點P到平面π2的距離：

3　應(yīng)用舉例

解1）用公式（1）求解.

代公式（1）得

2）用定理1求解.

M1=1，M2=5，（n1，n1）=3，（n1，n2）=0，（n2，n2）=6，由（2）式得，于是

4　結(jié)束語

本文給出的計算方法具有程序化特點，容易推廣到n維空間內(nèi)點到兩超平面交線的距離的情形.

O13

A

1673-260X（2016）07-0010-02

2016-03-13

〔1〕江蘇師范學(xué)院數(shù)學(xué)系.解析幾何［M］.北京：高等教育出版社，1984.

〔2〕同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2002.