與正整數(shù)相關(guān)問題解法探析

周麗娜

(江蘇省昆山中學(xué)，215300)

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○解題研究○

與正整數(shù)相關(guān)問題解法探析

周麗娜

(江蘇省昆山中學(xué)，215300)

對(duì)于與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,現(xiàn)行教科書(蘇教版)僅在《選修2-2》“數(shù)學(xué)歸納法”一節(jié)中有論述,除此再無系統(tǒng)提及．但此類問題,以各種形式散見于包括高考在內(nèi)的各種考試卷中,不少學(xué)生往往找不到合理的解題切入點(diǎn)而束手無策．本文對(duì)此類問題的常見解法作些探求,以希指正．

一、充分利用正整數(shù)的性質(zhì)

現(xiàn)代數(shù)學(xué)中正整數(shù)是通過皮亞諾公理對(duì)其進(jìn)行了刻畫和約定的,由此可以推出關(guān)于正整數(shù)的各種性質(zhì)．

比如:離散不等式(若x,n∈N*,則x>n等價(jià)于x≥n+1);正整數(shù)的唯一分解定理(算術(shù)基本定理)等．

討論與正整數(shù)相關(guān)問題時(shí)自然要充分利用相關(guān)性質(zhì)．

1.離散性

與實(shí)數(shù)的連續(xù)性相比,正整數(shù)集是離散的,相鄰兩正整數(shù)之間是有間隙的,解題時(shí)若能充分注意這種區(qū)別往往事半功倍．

例1已知an=n2+λn(n∈N*),若數(shù)列{an}單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)λ的范圍是______．

例2已知bn=an+1(n∈N*),若|bn|≥|b5|對(duì)正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．

2.可數(shù)性

在某有限范圍內(nèi)的正整數(shù)只有有限多個(gè),滿足某種特定關(guān)系的正整數(shù)是可數(shù)的．因而,解題時(shí),確定目標(biāo)量的范圍或所滿足的特定關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

(1)求an及Tn的表達(dá)式;

(2)是否存在正整數(shù)m,n(1

(2)假設(shè)存在m,n∈N*且1

①

解得

②

∵n∈N*，則-2m2+4m+1>0,

∴m=1或m=2.

∵m>1,∴m=2代入②,得n=12.

∴存在正整數(shù)m=2,n=12滿足題意.

評(píng)注以上解答中,面對(duì)①,一個(gè)等式中有兩個(gè)未知量,學(xué)生往往無所適從,是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)．

(1)試寫出{an}的一個(gè)3項(xiàng)子列,并使其為等差數(shù)列;

(2)若{bn}是{an}的一個(gè)m(m≥3)項(xiàng)子列,且{bn}為等比數(shù)列,求證:

∴b1+b2+…+bm

∴b1+b2+…+bm

=b1(1+q+q2+…+qm-1)

3.可分類性

正整數(shù)n與其它實(shí)數(shù)一樣可進(jìn)行合理分類,常見的可分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)當(dāng)λ=4時(shí),是否存在互不相等的正整數(shù)r,s,t,使ar,as,at成等比數(shù)列?若存在,給出r,s,t滿足的條件,若不存在,說明理由.

解(1)an=(2n+1)λn-1.(過程略)

(2)當(dāng)λ=4時(shí),an=(2n+1)4n-1.

劉佳走的時(shí)候，我去送他，他把領(lǐng)結(jié)摘了，要拿它換被我硬搶走的乳牙，我卻把領(lǐng)結(jié)一并搶了過來，歪里歪氣地說，這玩意兒跟上吊一樣樣的。

(2s+1)242(s-1)=(2r+1)(2t+1)4r+t-2,

兩邊同除以4r+t-2，得

(2s+1)242s-(r+t)=(2r+1)(2t+1).

根據(jù)等式兩邊的奇偶性，知

也即2s+1=2r+1=2t+1,s=t=r，矛盾.

故這樣的r,s,t不存在.

此外,對(duì)含有(-1)n(n∈N*)的問題,解題中常需要根據(jù)n的奇偶性進(jìn)行分類討論,這里不再贅述.

二、充分利用正整數(shù)為實(shí)數(shù)的性質(zhì)

正整數(shù)n也是實(shí)數(shù),因而,有些問題的討論可以在實(shí)數(shù)(更廣的)范圍研究,再將正整數(shù)n作為特殊的實(shí)數(shù)看待,使解題收到奇效．

例6(教科書(蘇教版)高中數(shù)學(xué)選修2-2)試比較(n+1)n與nn+1(n∈N*)的大?。?/p>

又依題意:當(dāng)0≤x1≤x2≤1時(shí),

f(x1)≤f(x2)，

總之,在中學(xué)數(shù)學(xué)中,與正整數(shù)n有關(guān)的問題,題材豐富,題型活潑多變,解題方法靈活多樣,深受中學(xué)生喜愛．筆者以為,在實(shí)際教學(xué)中,從正整數(shù)自身的特性出發(fā)去研究問題、解決問題,往往能抓住問題的本質(zhì),找準(zhǔn)解決問題的切入點(diǎn)．對(duì)學(xué)生,無論從應(yīng)對(duì)高考,還是從培養(yǎng)其良好的思維品質(zhì),提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng),都將起到積極的建設(shè)性作用．