優(yōu)化解題過(guò)程　提高復(fù)習(xí)質(zhì)量

方金寶

(江蘇省溧水高級(jí)中學(xué)，211200)

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○高考復(fù)習(xí)研究○

優(yōu)化解題過(guò)程提高復(fù)習(xí)質(zhì)量

方金寶

(江蘇省溧水高級(jí)中學(xué)，211200)

高三的復(fù)習(xí)教學(xué),一般以解題教學(xué)為主,因此提高學(xué)生的解題能力顯得尤為重要．但目前的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂中,教師“一言堂”,學(xué)生被動(dòng)接受的現(xiàn)象仍然普遍存在．時(shí)間一長(zhǎng),這樣的“大容量”和“快節(jié)奏”教學(xué)很可能是低效的.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的主要任務(wù)是夯實(shí)基礎(chǔ)，幫助學(xué)生構(gòu)建功能良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為解決綜合問(wèn)題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).本文筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐,提出一些優(yōu)化高三數(shù)學(xué)解題教學(xué)的策略,歡迎指正．

一、挖掘教材，變通利用,培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性

高考數(shù)學(xué)《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說(shuō)明》指出:命題注重考查考生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法,考查考生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平．從2015年高考試題來(lái)看,對(duì)“雙基”和“本質(zhì)”的考查與教材緊密聯(lián)系,有部分小題源于教材、高于教材、考查雙基,其中一些綜合題是由教材中的例題和習(xí)題經(jīng)過(guò)組合、加工、延伸、變式而成．

求解上述問(wèn)題,一般的思路是先判斷雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸,然后設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,最后利用已知條件確定方程中的參數(shù)值；或先設(shè)其方程,后代入點(diǎn)的坐標(biāo)求參數(shù)的值．

反思本題考查的內(nèi)容屬于基礎(chǔ)知識(shí)又源于教材．解題思路有多種選擇,但有優(yōu)有劣,其中解法2是最優(yōu)解法,它反映了雙曲線的本質(zhì)特征．這啟示我們,日常教學(xué)和復(fù)習(xí)教學(xué)都要重視活用教材,并且注重對(duì)知識(shí)和方法的本質(zhì)深刻理解,在比較中優(yōu)化解題方法,形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

二、重視例習(xí)題的典型性，發(fā)揮知識(shí)拓展功能

教材上的例題、習(xí)題都是有關(guān)專家經(jīng)過(guò)深思熟慮,精心挑選出來(lái)的,具有較好的典型性和示范性.不少教師在講解例題時(shí),往往一股腦兒把自己的解題方法灌輸給學(xué)生,學(xué)生缺乏思考,只是單純地接受,逐漸養(yǎng)成“你講我聽”的接受式學(xué)習(xí),沒有得到一定的思維訓(xùn)練,遇到類似的問(wèn)題有時(shí)勉強(qiáng)可以應(yīng)付,但條件稍微有所變化,就難以獨(dú)立解決問(wèn)題.教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目潛在的知識(shí),適時(shí)將例題、習(xí)題進(jìn)行拓展延伸.

1.從特殊到一般,培養(yǎng)學(xué)生的歸納應(yīng)用能力

例2等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a,公差為d;等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)是b,公差為e.如果cn=an+bn(n≥1),且c1=4,c2=8,求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.

這是蘇教版必修5第39頁(yè)練習(xí)3,練習(xí)的目的是熟悉等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.我們不難求出cn=4n.通過(guò)此題,我們不僅要求學(xué)生會(huì)解此題,還可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：

兩個(gè)等差數(shù)列的和數(shù)列仍然是等差數(shù)列,即數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}均是等差數(shù)列,則數(shù)列{an+bn}也是等差數(shù)列.

試題1(2014年高考安徽卷理科第12題)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+1,a2+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=______.

分析對(duì)試題1的一般解題思路是設(shè)出等差數(shù)列的公差d,將條件化歸為公差d的方程,求出公差d,進(jìn)而再求出公比q.但是如果我們觀察到數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{1,3,5}也是等差數(shù)列,那么利用上述結(jié)論,便知:a1+1,a2+3,a5+5既構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,也構(gòu)成等差數(shù)列,即為常數(shù)列,故q=1.

2.一題多變,培養(yǎng)學(xué)生思維的變通性

例3若x≠0,則ex>1+x.

這是蘇教版數(shù)學(xué)選修1-1和選修2-1中的一道習(xí)題.練習(xí)的目的是構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-x-1(x≠0),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,證明f(x)>f(0).

教師在講解此題后,可以進(jìn)一步探究此題的直接應(yīng)用和變式應(yīng)用,發(fā)揮習(xí)題的應(yīng)用功能.

解(1)f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上單調(diào)遞增,在[-1,0]上單調(diào)遞減(過(guò)程略).

易知當(dāng)x=0時(shí),例3中不等號(hào)變?yōu)榈忍?hào),得到如下兩個(gè)結(jié)論.

結(jié)論1若x∈R,則ex≥1+x,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立.

結(jié)論2若x>-1,則ln(x+1)≤x,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立.

三、注意解題的方向與視角,拓寬解題思路

經(jīng)過(guò)一輪的復(fù)習(xí),學(xué)生頭腦中已儲(chǔ)存了許多解題方法和規(guī)律,但是我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生一輪復(fù)習(xí)能夠解決的問(wèn)題在二輪復(fù)習(xí)時(shí)卻解決不了.典型的問(wèn)題是:看到問(wèn)題不知道從哪個(gè)方向入手和方法的亂用等，這些問(wèn)題的背后是學(xué)生思路與方法的混亂.因此我們要從學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程與方法中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,及時(shí)梳理,幫助學(xué)生確定解題的方向和視角.

1. 注意方法的多解與選擇

解決問(wèn)題的方法盡量不要單一,要從多個(gè)方面進(jìn)行講解,盡可能地給出多種不同的解法,學(xué)生才能在面對(duì)變化的題目時(shí)有多種選擇的方法.這樣，通過(guò)對(duì)一個(gè)問(wèn)題的研究,可把相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)及思想方法再次回顧與深化.一題多解讓學(xué)生通過(guò)比較，辨別最優(yōu)解,讓學(xué)生自主選擇,最終實(shí)現(xiàn)多題一解.

2. 注意方法的總結(jié)與優(yōu)化

善于方法的總結(jié)與優(yōu)化,讓學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)歸納總結(jié)典型問(wèn)題的各種解法,讓學(xué)生掌握處理各種問(wèn)題的通性通法,少用技巧.各種通法讓學(xué)生心中有數(shù),清清楚楚.在掌握基本方法的同時(shí),要讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析、比較,優(yōu)化解題方法,學(xué)會(huì)在遇到不同問(wèn)題時(shí),能合理選擇方法,少走彎路.

例4如圖1,經(jīng)過(guò)村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC,根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)M、N(異于村莊A),要求PM=PN=MN=2(單位:千米).如何設(shè)計(jì),使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn)).

此題學(xué)生遇到的障礙有:一是如何設(shè)好變量,不知道設(shè)邊還是設(shè)角好;二是三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)不正確,三角變形能力弱;三是認(rèn)識(shí)到最值一般都在特殊位置取到,直接猜測(cè)結(jié)果,沒有說(shuō)明理由;四是沒有思路或思路太多,無(wú)從下手.筆者在全面了解學(xué)生的情況后,引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)方面思考、挖掘:

視角1(三角函數(shù)視角)設(shè)∠AMN=θ.

AP2=AM2+MP2

-2AM·MPcos∠AMP

+60°)cos(θ+60°)+4

評(píng)注這種解法應(yīng)該是本題非常好的通性通法,利用正余弦定理找到邊角之間的關(guān)系,關(guān)鍵在于設(shè)角,這樣就能建立已知與未知之間的聯(lián)系,從而找到了目標(biāo)和所設(shè)角之間的關(guān)系.

視角2(基本不等式視角)設(shè)AM=x,AN=y,∠AMN=α.在?AMN中,

MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN,

即x2+y2-2xycos 60°=x2+y2-xy=4.

cos∠AMP=cos(α+60°)

在?AMP中,AP2=AM2+PM2-2AM·PMcos∠AMP,即

=x2+4-x(x-2y)

=4+2xy.

點(diǎn)評(píng)通過(guò)三角關(guān)系建立二元等式,利用基本不等式求最值,這也是高中數(shù)學(xué)十分重要的基本方法,前提是要能得到的這樣的二元關(guān)系.

視角3(坐標(biāo)視角)以AB所在的直線為x軸,A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系.

∵?MNP為正三角形,且MN=2，

=3.

∵kMN·kPK=-1,

=4+4x1x2≤4+4×2=12,

點(diǎn)評(píng)坐標(biāo)法經(jīng)常能將思維計(jì)算化,即用計(jì)算代替部分思維,起到降低思維難度的作用,但本題效果不明顯,所以什么情況我們用坐標(biāo)法是值得總結(jié)和思考的.

視角4(平面幾何視角)

解由運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性,可使?PMN不動(dòng),點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng).

由于∠MAN=60°,∴點(diǎn)A在以MN為弦的一段圓弧(優(yōu)弧)上,設(shè)圓弧所在的圓的圓心為F,半徑為R,由圖形的幾何性質(zhì)知:AP的最大值為PF+R.其中PF是MN的垂直平分線.

在?AMN中,由正弦定理知

設(shè)PF與MN交于點(diǎn)E,則

點(diǎn)評(píng)平面幾何視角讓人眼前一亮,更接近題目的本質(zhì),但不易想得到,只有經(jīng)常增強(qiáng)圖形意識(shí),識(shí)圖、讀圖,思圖,才能不斷提升能力,增強(qiáng)感覺.

總之,在高三備考復(fù)習(xí)中,教師關(guān)注的不是講題的多少,更不是解題方法是否精彩,變式訓(xùn)練是否到位,而是在解題教學(xué)中學(xué)生參與探究活動(dòng)時(shí)間及深度,如何給學(xué)生恰到好處的引導(dǎo),使他們的數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)探究合理地展開和進(jìn)行,給學(xué)生獨(dú)立思考和合作探究的機(jī)會(huì),讓學(xué)生積極嘗試、合理探索．在數(shù)學(xué)課堂上,我們不僅僅要數(shù)學(xué)結(jié)果,更需要的是在結(jié)果出現(xiàn)過(guò)程中的數(shù)學(xué)體驗(yàn)及思維過(guò)程,那恰恰是數(shù)學(xué)能力生長(zhǎng)的關(guān)鍵．只有通過(guò)不斷的優(yōu)化解題,方能提高復(fù)習(xí)效果．