一道不等式問題的解法賞析

孫成亮　　　　　　　　　　周成剛

(安徽省蕭縣鵬程中學，235200)　(安徽省濉溪縣孫疃中學，235121)

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一道不等式問題的解法賞析

孫成亮周成剛

(安徽省蕭縣鵬程中學，235200)(安徽省濉溪縣孫疃中學，235121)

求解不等式問題在高考和奧賽中經(jīng)常遇到.這類問題的解決經(jīng)常涉及到很多知識點的融合,也容易培養(yǎng)學生的能力.換元,放縮,函數(shù)與方程思想等在解決不等式問題中經(jīng)常會有體現(xiàn)．本文通過一道不等式問題的幾種解法感受一下各種思想在不等式問題中的靈活應用．

題目求證:(1+x)n+(1-x)n<2n,其中|x|<1,n≥2,n∈N.

該題是一道不等式的證明問題,根據(jù)題目的構造,感覺形式不算很難，比較容易想到的是數(shù)學歸納法．

證法1(數(shù)學歸納法)

∵|x|<1,n≥2,n∈N.

(1)當n=2時,不等式左邊=(1+x)2+(1-x)2=2+2x2<4=22,不等式成立

(2)假設n=k(k≥2)時命題成立,即

(1+x)k+(1-x)k<2k.

那么n=k+1時,則

(1+x)k+1+(1-x)k+1

=(1+x)k(1+x)

+(1-x)k(1-x)

(*)

=(1+x)k+(1-x)k

+(1+x)kx-(1-x)kx

=2k+2k=2k+1,

∴n=k+1時不等式成立.

綜上可知(1+x)n+(1-x)n<2n,|x|<1,n≥2,n∈N都成立.

評注上述方法中(*)式可以處理得更簡單,步驟如下:

∵1+x<2,1-x<2,

∴(1+x)k(1+x)<2(1+x)k,

(1-x)k(1-x)<2(1-x)k.

∴(1+x)k+1+(1-x)k+1

=(1+x)k(1+x)+(1-x)k(1-x)

在該題的解法中我們發(fā)現(xiàn)用到了二項式定理,那么是否可以直接用二項式定理解這道題目呢?

證法2(1+x)n+(1-x)n

=2·2n-1=2n.

故不等式成立.

證法3(三角換元)

高速公路橋梁的加固維修養(yǎng)護需要專業(yè)的人才來執(zhí)行，橋梁的加固維修養(yǎng)護工作比較單調(diào)乏味，工作人員普遍工作積極性不高，這樣很難保證橋梁的加固維修養(yǎng)護工作，因此要不斷加強專業(yè)的加固維修養(yǎng)護人才隊伍，組織培訓相關人才專業(yè)技能，提高工作人員的責任心和專業(yè)技能，更好地為高速公路橋梁的加固維修養(yǎng)護貢獻自己的力量。

1+x=1+cos 2θ=2cos2θ,

1-x=1-cos 2θ=2sin2θ，

∴(1+x)n+(1-x)n

=2n(cos2nθ+sin2nθ)<2n.

不等式成立.

評注觀察1+x,1-x形式很容易聯(lián)想到三角函數(shù)里面的二倍角公式,且|x|<1又正好符合這種情況，所以這種方法看起來似乎意料之外,其實是在情理之中.

證法4(利用函數(shù)性質(zhì))

令f(x)=(1+x)n+(1-x)n,|x|<1,則f(-x)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).

不妨設0≤x<1,則

f′(x)=n(1+x)n-1-n(1-x)n-1

=n[(1+x)n-1-(1-x)n-1].

∵1+x>1-x>0，

∴(1+x)n-1>(1-x)n-1，

∴f′(x)>0,

∴f(x)在區(qū)間[0,1]上為增函數(shù),

∴f(x)

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)知該待證不等式成立.

評注函數(shù)與方程思想是一種重要的數(shù)學思想,構造偶函數(shù)再利用求導使這一道題輕松地得到解決.本解法另辟蹊徑,為解題提供了另外一條出路.

證法5(整體換元)

令1+x=a,1-x=b,則

0

所以原不等式變形為證明

an+bn<(a+b)n,n≥2.

上面這個不等式中，因為n≥2,所以右邊展開至少有4項.

所以原不等式成立.

評注證法2用到了二項式定理,證法3用到了三角換元,這種方法是把換元思想和二項式定理巧妙結合,使該題輕松地得到了解決.