一道不等式問(wèn)題的解法賞析

孫成亮　　　　　　　　　　周成剛

(安徽省蕭縣鵬程中學(xué)，235200)　(安徽省濉溪縣孫疃中學(xué)，235121)

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一道不等式問(wèn)題的解法賞析

孫成亮周成剛

(安徽省蕭縣鵬程中學(xué)，235200)(安徽省濉溪縣孫疃中學(xué)，235121)

求解不等式問(wèn)題在高考和奧賽中經(jīng)常遇到.這類問(wèn)題的解決經(jīng)常涉及到很多知識(shí)點(diǎn)的融合,也容易培養(yǎng)學(xué)生的能力.換元,放縮,函數(shù)與方程思想等在解決不等式問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)有體現(xiàn)．本文通過(guò)一道不等式問(wèn)題的幾種解法感受一下各種思想在不等式問(wèn)題中的靈活應(yīng)用．

題目求證:(1+x)n+(1-x)n<2n,其中|x|<1,n≥2,n∈N.

該題是一道不等式的證明問(wèn)題,根據(jù)題目的構(gòu)造,感覺形式不算很難，比較容易想到的是數(shù)學(xué)歸納法．

證法1(數(shù)學(xué)歸納法)

∵|x|<1,n≥2,n∈N.

(1)當(dāng)n=2時(shí),不等式左邊=(1+x)2+(1-x)2=2+2x2<4=22,不等式成立

(2)假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)命題成立,即

(1+x)k+(1-x)k<2k.

那么n=k+1時(shí),則

(1+x)k+1+(1-x)k+1

=(1+x)k(1+x)

+(1-x)k(1-x)

(*)

=(1+x)k+(1-x)k

+(1+x)kx-(1-x)kx

=2k+2k=2k+1,

∴n=k+1時(shí)不等式成立.

綜上可知(1+x)n+(1-x)n<2n,|x|<1,n≥2,n∈N都成立.

評(píng)注上述方法中(*)式可以處理得更簡(jiǎn)單,步驟如下:

∵1+x<2,1-x<2,

∴(1+x)k(1+x)<2(1+x)k,

(1-x)k(1-x)<2(1-x)k.

∴(1+x)k+1+(1-x)k+1

=(1+x)k(1+x)+(1-x)k(1-x)

在該題的解法中我們發(fā)現(xiàn)用到了二項(xiàng)式定理,那么是否可以直接用二項(xiàng)式定理解這道題目呢?

證法2(1+x)n+(1-x)n

=2·2n-1=2n.

故不等式成立.

證法3(三角換元)

高速公路橋梁的加固維修養(yǎng)護(hù)需要專業(yè)的人才來(lái)執(zhí)行，橋梁的加固維修養(yǎng)護(hù)工作比較單調(diào)乏味，工作人員普遍工作積極性不高，這樣很難保證橋梁的加固維修養(yǎng)護(hù)工作，因此要不斷加強(qiáng)專業(yè)的加固維修養(yǎng)護(hù)人才隊(duì)伍，組織培訓(xùn)相關(guān)人才專業(yè)技能，提高工作人員的責(zé)任心和專業(yè)技能，更好地為高速公路橋梁的加固維修養(yǎng)護(hù)貢獻(xiàn)自己的力量。

1+x=1+cos 2θ=2cos2θ,

1-x=1-cos 2θ=2sin2θ，

∴(1+x)n+(1-x)n

=2n(cos2nθ+sin2nθ)<2n.

不等式成立.

評(píng)注觀察1+x,1-x形式很容易聯(lián)想到三角函數(shù)里面的二倍角公式,且|x|<1又正好符合這種情況，所以這種方法看起來(lái)似乎意料之外,其實(shí)是在情理之中.

證法4(利用函數(shù)性質(zhì))

令f(x)=(1+x)n+(1-x)n,|x|<1,則f(-x)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).

不妨設(shè)0≤x<1,則

f′(x)=n(1+x)n-1-n(1-x)n-1

=n[(1+x)n-1-(1-x)n-1].

∵1+x>1-x>0，

∴(1+x)n-1>(1-x)n-1，

∴f′(x)>0,

∴f(x)在區(qū)間[0,1]上為增函數(shù),

∴f(x)

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)知該待證不等式成立.

評(píng)注函數(shù)與方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想,構(gòu)造偶函數(shù)再利用求導(dǎo)使這一道題輕松地得到解決.本解法另辟蹊徑,為解題提供了另外一條出路.

證法5(整體換元)

令1+x=a,1-x=b,則

0

所以原不等式變形為證明

an+bn<(a+b)n,n≥2.

上面這個(gè)不等式中，因?yàn)閚≥2,所以右邊展開至少有4項(xiàng).

所以原不等式成立.

評(píng)注證法2用到了二項(xiàng)式定理,證法3用到了三角換元,這種方法是把換元思想和二項(xiàng)式定理巧妙結(jié)合,使該題輕松地得到了解決.