旋轉(zhuǎn)變換在平面幾何中的應(yīng)用

張　彥　　　　　　　韓張琴

(江蘇省揚州市育才中學(xué),225200)　(江蘇省揚州市第一中學(xué),225200)

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旋轉(zhuǎn)變換在平面幾何中的應(yīng)用

張彥韓張琴

(江蘇省揚州市育才中學(xué),225200)(江蘇省揚州市第一中學(xué),225200)

在解析幾何中,我們學(xué)過從坐標系xOy到坐標系x′Oy′的變換:

稱之為旋轉(zhuǎn)變換,用它來化簡二次曲線方程甚為有效.這種變換在平面幾何中也常用到,圖形的旋轉(zhuǎn)在初中八年級上冊進行了介紹,學(xué)生基本都能掌握旋轉(zhuǎn)的相關(guān)性質(zhì),但對于圖形具有等邊特性的平面幾何問題,學(xué)生并不習(xí)慣利用圖形的旋轉(zhuǎn)來解題.事實上,下列問題可以考慮用旋轉(zhuǎn)變換來改變元素的位置,將分散的條件集中起來,從而達到優(yōu)解、巧解之目的.

例1設(shè)P是等腰三角形ABC內(nèi)一點,AB=AC，且∠APB=∠APC，求證:PB=PC.

證明將?APB沿著點A逆時針旋轉(zhuǎn),使得AB邊與AC邊重合,得到?AP′C(如圖1).

通過旋轉(zhuǎn),可得AP=AP′,BP=CP′, ∠APB=∠AP′C.

∵∠APB=∠APC,∠APB=∠AP′C，

∴∠APC=∠AP′C.

∵AP=AP′，∴∠APP′=∠AP′P，

∴∠CPP′=∠CP′P，∴CP=CP′.

又BP=CP′,∴PB=PC.

變式1如圖2,已知等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點P,滿足PA=1,PB=2,PC=3.求證:∠APB=135°.

證明將?APB沿著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到?BP′C,并連結(jié)PP′(如圖3).

通過旋轉(zhuǎn),可得∠PBP′=90°,∠APB=∠CP′B,BP=BP′=2,P′C=AP=1.

∵∠PBP′=90°,且BP=BP′=2,

∴?PBP′是等腰直角三角形，

又在?PP′C中,

故有(PP′)2+(P′C)2=PC2，

∴?PP′C是直角三角形,

∴∠PP′C=90°.

∴∠BP′C=∠PP′B+∠PP′C

=45°+90°=135°,

∴∠APB=∠BP′C=135°.

變式2如圖4,等邊三角形ABC內(nèi)有一點P,滿足PA=3,PB=4,PC=5,求證:∠APB=150°.

證明將?APC沿著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到?AP′B,并連結(jié)PP′(如圖5).

通過旋轉(zhuǎn),可得∠PAP′=60°,AP=AP′=3,P′B=PC=5.

∵∠PAP′=60°,AP=AP′=3,

∴?PAP′是等邊三角形，

∴∠APP′=60°,PP′=3.

又在?PP′B中,

PP′=3,PB=4,P′B=5，

故有(PP′)2+(PB)2=P′B2，

∴?PP′B是直角三角形,

∠P′PB=90°,

∴∠APB=∠APP′+∠PP′B

=60°+90°=150°.

例2P是正三角形ABC內(nèi)一點,連PA,PB,PC,若PA=10,PB=6,PC=8,求正三角形ABC的邊長.

解如圖6，將?BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°至?BP′A位置，連結(jié)PP′,顯然?BPP′為正三角形.

在?APP′中,AP=10,AP′=8,PP′=PB=6,則有

AP2=AP′2+PP′2,故?APP′為直角三角形,∠AP′P=90°.

在?ABP′中,

AB2=AP′2+BP′2-2AP′·

BP′cos∠AP′B，

即AB2=62+82-2×6×8cos 150°

評注(1)若PA,PB,PC不為直角三角形三邊,即?APP′不為直角三角形時,上述方法仍適用,只須用余弦定理在?PP′A中求出∠PP′A.

(2)將題中正三角形條件去掉,換成任意三角形亦可用上述方法求得.

變式P為正三角形ABC內(nèi)一點,P到三個頂點A,B,C的距離分別為a,b,c.求證:

評注可以先求?ABC的邊長，也可分別將?PAB、?PBC、?PCA仿上例的辦法旋轉(zhuǎn)可得三個小正三角形(邊長分別為a,b,c)和三個全等的三邊長為a,b,c的三角形.

最后,我們再來看一個由極值問題引發(fā)的結(jié)論.

解設(shè)法將DA+DB+DC化為一條線段,為此將?DCA繞C逆時針旋轉(zhuǎn)60°至?D′CA′位置(如圖7)，則有

A′D′=AD,D′C=DC,∠D′CD=60°，

故?CDD′為正三角形，D′D=DC.

于是DA+DB+DC=A′D′+D′D+DB，

在?A′CB中,A′B2=A′C2+BC2-2A′C·BCcos(90°+60°).

代入上式，有

即x4-4x2+3=0，

故∠A=60°或∠A=30°，

從而∠B=30°或60°.

評注(1)本題可將直角三角形的條件改成任意三角形,仿上不難求得三角形內(nèi)到三頂點距離之和最小的點為該點至三角形三頂點連線夾角均為120°的點.

(2)再稍拓廣便是著名的史坦豪斯“三村辦學(xué)問題”.

當然,上述問題我們亦可以用平面幾何的常規(guī)方法和解析幾何的方法來處理.本文旨在說明旋轉(zhuǎn)變換在解決此類問題的妙用,在平時的學(xué)習(xí)和研究中我們應(yīng)適當加以關(guān)注.