空間數(shù)據(jù)插值算法比較分析

王金玲

摘 要：本文通過分析比較空間數(shù)據(jù)內(nèi)插中反距離加權(quán)法和謝別德法的基本原理，并利用SRTM數(shù)據(jù)對對算法進行測試，結(jié)果表明，改進謝別德法的插值效果優(yōu)于反距離加權(quán)法和原始謝別德法。

關(guān)鍵詞：反距離加權(quán)法；謝別德方法；SRTM

中圖分類號：TB22 文獻標識碼：A

一、 引言

空間數(shù)據(jù)是用來表示空間實體的位置、形狀、大小及其分布特征諸多方面信息的數(shù)據(jù)，它可以用來描述來自現(xiàn)實世界的目標，它具有定位、定性、時間和空間關(guān)系等特性，在社會各行業(yè)、各部門，如城市規(guī)劃、交通、銀行、航空航天等領(lǐng)域廣泛應用。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，空間數(shù)據(jù)的處理分析顯得尤為重要。通常觀測的空間數(shù)據(jù)是離散無規(guī)律的，而實際應用中除了需要知道某個點的確定值之外，還需要獲取觀測數(shù)據(jù)區(qū)域或某個指定區(qū)域范圍內(nèi)均勻分布的格網(wǎng)值。因此，需要將離散觀測數(shù)據(jù)進行內(nèi)插?？臻g數(shù)據(jù)內(nèi)插在海洋、氣候、石油等地球科學及相關(guān)學科廣泛使用，例如，地球科學中的DEM構(gòu)建、圖形圖像處理，地球重力場中位場數(shù)據(jù) 等都要進行內(nèi)插。

常用的空間數(shù)據(jù)插值法很多，尤其在科學計算領(lǐng)域中的許多軟件均內(nèi)置了多種內(nèi)插算法，例如Sufer中就有12種插值算法（http：//www.goldensoftware.com）。各種方法有各自優(yōu)點和缺點，有些算法簡單，如反（逆）距離加權(quán)法 、謝別德法、最近鄰點插值法等；有些算法復雜，計算耗時，如最小曲率法、克里金插值法 、多項式回歸法、徑向基函數(shù)法 、線性插值三角網(wǎng)法等。其中，與距離倒數(shù)有關(guān)的反距離加權(quán)法和謝別德方法簡單，計算省時，在一般的工程應用中極為廣泛。

本文就反距離加權(quán)法和謝別德方法，討論這兩種基本方法的特點，并利用SRTM數(shù)據(jù)進行分析比較。

二、 原理方法

空間數(shù)據(jù)插值就是根據(jù)已知點的觀測數(shù)據(jù) 內(nèi)插計算未知點 的數(shù)據(jù)處理過程。實際工作中一般要獲取規(guī)則格網(wǎng)數(shù)據(jù)，因此，網(wǎng)格化就是根據(jù)一組已知點數(shù)據(jù) ，采用空間內(nèi)插方法生成網(wǎng)格數(shù)據(jù)的處理過程。這些空間內(nèi)插方法假設屬性值 是在研究區(qū)域內(nèi)是連續(xù)或分段連續(xù)的，也就是對于所有點 來說， 存在且是唯一的。此外，內(nèi)插模型可以是精確的，此時，要求模型精確通過觀測點時。不管采用何種方法，數(shù)據(jù)的多少、間隔及分布方向?qū)?nèi)插結(jié)果有影響。網(wǎng)格生成其實就是根據(jù)附近點進行加權(quán)平均的過程，一般假設每個網(wǎng)格單元或交叉點的值最有可能與其附近點的值接近。模型的一般形式為

式中 為第 個待內(nèi)插點的內(nèi)插估值； 為第 個位置在 處的已知或觀測值； 為已知點的總個數(shù)； 為與 對應的系數(shù)因子，一般滿足

反距離加權(quán)法（IDW：Inverse Distance Weight）是一個加權(quán)平均插值法，其系數(shù)為

其中，對于某個待插點來說， 為一常數(shù)，根據(jù)式，該方法的一般形式為：

這是一種直觀的加權(quán)平均法。在IDW方法中，權(quán) 用已知點 到內(nèi)插點 的距離 倒數(shù)表示，故得名反（逆）距離加權(quán)法。通常可以表示為

式中 為乘方因子，一般選擇為一整數(shù)，取值一般為0～5。

在利用加權(quán)函數(shù)求取待插點數(shù)值中，一般只有臨近點對未知點有顯著影響。同時，為了節(jié)約計算時間，也不可能對所有觀測點都進行計算。因此，實際計算中只需選取未知點周圍部分數(shù)據(jù)進行內(nèi)插即可，即內(nèi)插前需要選擇合適的搜索區(qū)域，并考慮該區(qū)域的形狀與大小。其中，大小可以選擇為一個固定值，即指定一個搜索半徑；也可以根據(jù)某種適合的方式確定，例如根據(jù)計算中設定一個最少觀測點數(shù)，由此每個計算中動態(tài)確定大小。搜索區(qū)域的形狀或搜索面積可以為圓形、橢圓形，或者上述這些形狀的分片組成。實際處理中，為了達到簡化的目的，搜索區(qū)域形狀一般選取為圓形，由此可以考慮兩個基本準則：一是距離準則，即用來計算內(nèi)插點的觀測點離內(nèi)插點某個半徑范圍之內(nèi)；二是點數(shù)準則，即采用點數(shù)為離待插點最近的 個點。聯(lián)合考慮兩個準則就可以避免各自的不足。假設 為搜索半徑， 為所有觀點總數(shù)， 為 個數(shù)據(jù)點所包圍多邊形的最大面積，假設在搜索半徑 范圍內(nèi)最少點數(shù)為 ，那么搜索半徑與最少點數(shù)之間有以下簡單關(guān)系

謝別德方法是南非地質(zhì)學家Shepard最早提出的方法，該方法本質(zhì)上是一種標準的距離倒數(shù)法。其權(quán)函數(shù)為[1]

另外一種改進Shepard方法根據(jù)最遠點距離來定權(quán)，其中最遠距離也就是指定的搜索半徑 ，與IDW公式相似，該方法的權(quán)函數(shù)公式為：

上述公式均為平面坐標形式，如果在橢球坐標系中，需要將距離 按橢球坐標計算。本文使用數(shù)據(jù)即為橢球坐標系下的數(shù)據(jù)。

三、 實例分析

為了分析IDW和Shepard方法的特性，以數(shù)字地形高程模型SRTM進行測試。SRTM的全稱是Shuttle Radar Topography Mission，即航天飛機雷達地形測繪任務，由美國太空總署和國防部國家測繪局聯(lián)合實施觀測。SRTM數(shù)據(jù)每經(jīng)緯度方格提供一個文件，分辨率有1″和3″兩種，其中3″數(shù)據(jù)大約為地面距離90米，每個文件包含1201×1201共1442401個采樣點的高度數(shù)據(jù)。本文選取SRTM中N25E100.hgt文件為例，共有1439898個觀測值，缺少2503個數(shù)據(jù)，其影像如圖 1所示。該區(qū)域地形復雜，起伏大，最高4072米，最低1162米，平均高度2112.7米。除了有兩個區(qū)域（100°8′E，25°38′N）和（100°20′E，25°58′N）附近屬于高地，存在明顯的數(shù)據(jù)缺失外（白色），還有多個小區(qū)域缺少數(shù)據(jù)。由于SRTM本身是格網(wǎng)數(shù)據(jù)，為了對算法進行驗證，從原始數(shù)據(jù)中提取少數(shù)數(shù)據(jù)作為已知觀測值，其余數(shù)據(jù)用來進行檢驗。如影像

圖 2所示，圓圈表示選取的已知數(shù)據(jù)，共有360579個，其它節(jié)點為未知點（實際已知數(shù)值用來檢核），需要進行內(nèi)插，共有1081822個。因此，這是一個以少數(shù)已知點內(nèi)插多數(shù)未知點的內(nèi)插過程，而實際工作中，一般都是以多數(shù)已知點來內(nèi)插少數(shù)未知點。

內(nèi)插處理中，選取乘方因子 ，數(shù)據(jù)搜索半徑為20″，分別采用基本的IDW方法、Shepard方法和改進的Shepard方法，將圖 2中圓圈點作為已知數(shù)據(jù)，內(nèi)插其余節(jié)點的高程。將內(nèi)插結(jié)果與已知點聯(lián)合，可以得到如圖 3所示高程影像。可以看出，采用內(nèi)插算法，可以有效填補原始數(shù)據(jù)的缺損。將內(nèi)插結(jié)果與原始數(shù)據(jù)相減，可以得到表 1所示的統(tǒng)計結(jié)果?？梢钥闯?，三種基于距離倒數(shù)的方法中，改進謝別德方法最優(yōu)，平均差異約為-0.6mm，標準差為±13.62m，而IDW方法結(jié)果最差，平均差異和標準差分別為-2.8mm和±27.07m。

將差值作地理分布直方圖（圖 4），其中左圖僅繪出差值大于60米的分布圖，右圖僅作出差值小于-60米的分布，在右圖中，為了作圖方便，將負值均轉(zhuǎn)換為正值作圖。從圖中可以看出，差值大的點位大部分均位于地形復雜變化大的地方。

四、 結(jié)語

空間數(shù)據(jù)插值在科學計算中極為普遍，各種方法均有其優(yōu)點和不足，實際處理中要根據(jù)數(shù)據(jù)的物理特性及對數(shù)據(jù)的具體需要來選取最優(yōu)的算法。在對海量數(shù)據(jù)處理中，簡單的基于距離倒數(shù)的方法更能節(jié)約時間，但不一定是最優(yōu)的方法。為此，基于統(tǒng)計法的kriging方法在很多領(lǐng)域應用更加靈活，但其計算量大，計算耗時。

本文針對距離倒數(shù)法中的反距離加權(quán)法和謝別德方法，通過實例分析和比較，指出改進謝別德方法優(yōu)于傳統(tǒng)的反距離加權(quán)法和原始的謝別德法。在地形復雜、起伏大的地區(qū)，插值精度較低，但算法簡單，計算省時，適宜對海量數(shù)據(jù)進行內(nèi)插處理。