包含廣義Fibonacci數(shù)列倒數(shù)積的恒等式

吳振剛

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安　710127)

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【數(shù)理科學(xué)·數(shù)論專欄研究】

包含廣義Fibonacci數(shù)列倒數(shù)積的恒等式

吳振剛

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安710127)

Fibonacci數(shù)列; 不等式; 倒數(shù)積; 恒等式; 取整函數(shù)

但是想要計(jì)算出s取奇數(shù)時(shí)的精確值是相當(dāng)困難的,對(duì)此類問題的研究主要是判斷其是否為無理數(shù)。1978年,法國數(shù)學(xué)家RogerApery證明了ζ(3)是無理數(shù)。2000年,TanguyRivoal證明了存在無限多個(gè)ζ(2n+1)均為無理數(shù)。2001年,WadimZudilin證明了ζ(3)，ζ(5)，ζ(7)，ζ(9)和ζ(11)中至少有一個(gè)為無理數(shù)。

對(duì)RiemannZeta函數(shù)作一替換可得到Fibonaccizeta函數(shù)與Lucaszeta函數(shù)

其中Fn與Ln表示Fibonacci數(shù)列及Lucas數(shù)列。為了研究ζF(s)和ζL(s)的均值問題,2008年,Ohtsuka和Nakamura[4]得到了關(guān)于Fibonacci數(shù)列倒數(shù)的無窮和的取整公式:

近年來,多位學(xué)者對(duì)上式進(jìn)行了多種形式的推廣,例如吳振剛[5]將Fibonacci數(shù)列推廣為m階線性遞推序列;徐哲峰[6]將倒數(shù)和的次數(shù)推廣為3次。

2016年,林馨[7]將倒數(shù)和取整問題中的線性遞推序列換為正整數(shù)序列,給出了RiemannZeta-函數(shù)中s取2和3時(shí)的取整公式:

定理1對(duì)任意整數(shù)n≥2及m≥1,

定理2對(duì)任意整數(shù)n≥2,

1　若干引理

引理1對(duì)任意整數(shù)n≥2及m≥1,

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

證 明我們只證明式(1)和式(3),其他等式可采用類似的方法得到。首先證明式(1),注意到關(guān)于廣義Fibonacci數(shù)列和廣義Lucas數(shù)列的恒等式:

LmLn=Lm+n+(-1)nLm-n,

FmLn=Fm+n+(-1)nFm-n=

Fm+n-(-1)nFn-m。

對(duì)任意整數(shù)n≥2及m≥1,有

(Fmn-1)(Fmn-Fmn-m)(Fmn+m-Fmn-1)-

Fmn(Fmn+m-Fmn)(Fmn-Fmn-m-1)=

Fmn+Fmn-mFmn+m-Fmn-mFmn-

Fmn-Fmn-m≥Fmn-Fmn-m-

(αmn-αmn-m-α2m-βmn+βmn-m-β2m)=

(-1)mn+(-1)mn-mαm-αmn-2m)>0。

式(1)證畢。對(duì)任意整數(shù)m≥1及偶數(shù)n≥2,式(3)等價(jià)于

當(dāng)n為偶數(shù)且n≥2時(shí),上式顯然成立，式(3)證畢。

引理2對(duì)任意整數(shù)n≥1,

(7)

(8)

證 明 式(7)等價(jià)于

n3((n+1)2+n2)(n2+(n-1)2-1)≤

(n3-1)(n2+(n-1)2)((n+1)2+n2-1),

n3(n+1)2-n3(n-1)2-n2(n+1)2-

n4+n2-(n-1)2(n+1)2-

n2(n-1)2+(n-1)2≥0,

即為n2-n≥0,對(duì)任意整數(shù)n≥1顯然成立。

式(8)等價(jià)于

n3((n+1)2+n2+1)(n2+(n-1)2)>

(n3-1)(n2+(n-1)2+1)((n+1)2+n2),

n3((n-1)2-(n+1)2)+(2n2+1+

2n)(2n2+1-2n)>0,

對(duì)任意整數(shù)n≥1顯然成立。

2　定理的證明

定理1問題1)的證明根據(jù)式(1)可知

根據(jù)式(2)可知

因此

故有

定理1問題1)證畢。

定理1問題2)的證明當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),根據(jù)式(3)可知

根據(jù)式(4)可知

因此

故有當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),

利用同樣的方法可得到，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),

定理1問題2)證畢。

定理2問題1)的證明對(duì)任意整數(shù)n≥1,

定理2問題2)的證明對(duì)任意整數(shù)n≥1,根據(jù)式(7)，可知

根據(jù)式(8)，可知

因此

故有

定理2問題2)證畢。

[1]APOSTOL T M. Introduction to Analytic Number Theory, Springer[M].New York：Springer-Verlag,1976.

[2]IVIC A.The Riemann Zeta-function, Wiley[M].New York: Springer-Verlag,1985.

[3]FERGUSSON R P. An application of Stieltjes integration to the power series coefficients of the Riemann zeta-function[J].American Mathematical Monthly, 1963, 70:60-61.

[4]OHTSUKA H, NAKAMURA S. On the sum of reciprocal Fibonacci numbers[J].The Fibonacci Quarterly, 2008/2009, 46/47:153-159.

[5]WU Z, ZHANG H. On the reciprocal sums of higher-order sequences[J].Advances in Difference Equations, 2013, Article ID 189.

[6]XU Z, WANG T. The infinite sum of the cubes of reciprocal Pell numbers[J].Advances in Difference Equations, 2013, Article ID 184.

[7]LIN X. Some identities related to Riemann Zeta-function[J].Journal of Inequalities and Applications, 2016, Article ID 32.

(編輯亢小玉)

SeveralidentitiesrelatingtoreciprocalproductsofgeneralizedFibonaccinumbers

WUZhen-gang

(SchoolofMathematics,NorthwestUniversity，Xi′an710127，China)

Fibonaccinumbers;inequality;reciprocalproducts;identity;floorfunction

2016-03-11

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371291)；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃基金資助項(xiàng)目(2016JQ1041)；陜西省教育廳基金資助項(xiàng)目(15JK1744)

吳振剛,男，陜西漢中人,博士,從事數(shù)論及其應(yīng)用研究。

O156.4

ADOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-03-002