關(guān)于輻角改變量算法的兩點(diǎn)注記

儲(chǔ)亞偉，王　雪，黃　瑞

（阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037）

關(guān)于輻角改變量算法的兩點(diǎn)注記

儲(chǔ)亞偉，王雪，黃瑞

（阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037）

確定多值函數(shù)的單值分支是復(fù)分析的教學(xué)難點(diǎn)之一，輻角改變量法是解決單值分支問(wèn)題的主要方法。對(duì)于含有z-a的函數(shù)的輻角改變量，現(xiàn)行教材多采用平移坐標(biāo)原點(diǎn)的“間接輻角改變量法”計(jì)算；對(duì)于含有a-z的函數(shù)的輻角改變量，則借助公式ΔCarg（a-z）=ΔCarg（z-a）轉(zhuǎn)成“間接輻角改變量法”計(jì)算。文章通過(guò)構(gòu)造反例表明，上述算法及公式均存在誤區(qū)，即在考慮到割線的因素時(shí)，上述方法與公式未必成立。同時(shí)，分析了“直接輻角改變量法”與“間接輻角改變量法”的本質(zhì)區(qū)別，得到“間接輻角改變量法”及上述公式成立的條件。作為應(yīng)用，給出不能使用“間接輻角改變量法”計(jì)算單值分支的實(shí)例。上述注記與實(shí)例將有效地克服相關(guān)的教學(xué)難點(diǎn)。

單值分支；輻角改變量；割線；反例；注記；教學(xué)

極限是分析數(shù)學(xué)的基本工具之一，唯一性是極限的重要特征。因此，凡涉及到函數(shù)的分析性質(zhì)（如連續(xù)性、可導(dǎo)性或解析性、可積性等），都要求研究的函數(shù)是單值的。在復(fù)分析中，由于指數(shù)函數(shù)具有周期性，導(dǎo)致初等多值函數(shù)中的對(duì)數(shù)函數(shù)、根式函數(shù)及反三角函數(shù)均是多值的。而復(fù)分析研究的主要對(duì)象是解析函數(shù)，因此，多值函數(shù)的單值化問(wèn)題是復(fù)分析的重要課題之一［1］。輻角改變量法是解決單值分支問(wèn)題的主要方法，即把支點(diǎn)確定、可單值分支區(qū)域的判定和單值分支的表達(dá)式或單值分支求值的計(jì)算都?xì)w結(jié)為輻角改變量的計(jì)算［1-3］，由此可見(jiàn)輻角改變量正確算法的重要性。

對(duì)于表達(dá)式中含有z-a或a-z的函數(shù)，在可單值分支區(qū)域內(nèi)，其輻角改變量的常用算法是借助公式ΔCarg（a-z）=ΔCarg（z-a），使用平移原點(diǎn)的“間接輻角改變量法”（定義1）。該方法是研究多值函數(shù)單值分支理論的重要方法，在單值區(qū)域的判定和單值分支的計(jì)算中起到關(guān)鍵作用［4-12］，是求解或判定多值函數(shù)可單值分支區(qū)域的有效方法。然而，在單值分支的計(jì)算問(wèn)題上，上述公式及算法卻存在誤區(qū)。本文通過(guò)構(gòu)造反例指出，在考慮到割線的因素時(shí)，上述公式與方法未必成立，同時(shí)，指出其成立的條件。作為應(yīng)用，給出不能使用上述公式與方法計(jì)算單值分支的實(shí)例。

1　預(yù)備知識(shí)

定義1［2］設(shè)C是復(fù)平面內(nèi)不通過(guò)點(diǎn)a的一條簡(jiǎn)單曲線，z0是C的起點(diǎn)，z1是C的終點(diǎn)。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)z從z0沿C不穿過(guò)割線連續(xù)變動(dòng)到z1時(shí)，向量所旋轉(zhuǎn)的角稱為arg（z-a）在C上的間接改變量，簡(jiǎn)稱輻角改變量，記為ΔCarg（z-a）。

使用定義1求ΔCarg（z-a），相當(dāng)于把坐標(biāo)原點(diǎn)平移到了a點(diǎn)，求向量所旋轉(zhuǎn)的角，我們稱這種平移原點(diǎn)的算法為“間接輻角改變量法”。與此對(duì)應(yīng)，我們有下面的“直接輻角改變量法”：

定義2設(shè)C是復(fù)平面內(nèi)不通過(guò)點(diǎn)a的一條簡(jiǎn)單曲線，z0是C的起點(diǎn)，z1是C的終點(diǎn)。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從z0沿C不穿過(guò)割線連續(xù)變動(dòng)到z1時(shí)，相應(yīng)地，動(dòng)點(diǎn)z從z′1=z0-a不穿過(guò)割線連續(xù)變動(dòng)到z′1=z1-a，此時(shí)向量所旋轉(zhuǎn)的角稱為arg（z-a）在C上的直接改變量，簡(jiǎn)稱輻角改變量，記為ΔCdarg（z-a）。類似地，可定義arg（a-z）在C上的直接改變量ΔCdarg（a-z）。

顯然，“直接輻角改變量法”需要先把C的起點(diǎn)與終點(diǎn)代入函數(shù)，再以向量′按動(dòng)點(diǎn)z′不穿過(guò)割線且盡可能與C保持一致的方向所旋轉(zhuǎn)的角來(lái)計(jì)算輻角改變量。當(dāng)a=0時(shí)，定義1與定義2的計(jì)算結(jié)果相等。一般情況下，在確定支點(diǎn)和判定可單值分支區(qū)域的研究過(guò)程中，由于不受割線的影響，上述兩種算法得到的輻角改變量完全一致［1-3］，且有

引理1［1］

然而，在多值函數(shù)的另一個(gè)重要問(wèn)題——單值分支的計(jì)算中，因受割線的影響，間接輻角改變量法與公式（1）的使用需要當(dāng)心。本文以根式函數(shù)為例，通過(guò)對(duì)比“間接輻角改變量法”和“直接輻角改變量法”等方法后指出：在單值分支的計(jì)算問(wèn)題中，使用定義1與定義2得到的輻角改變量可能不同，且公式（1）也未必成立。為了敘述方便，我們還需要下面的公式。

引理2［1-3］設(shè)D為（其中P（z）為z的有理分式，n≥2為整數(shù)）的可單值分支區(qū)域，f（z）在z0∈D的初值為 f（z0）的單值分支在z1∈D的終值f（z1）為

其中C為D內(nèi)以z0為起點(diǎn)、z1為終點(diǎn)不穿過(guò)割線的約當(dāng)曲線。

2“間接輻角改變量法”的使用誤區(qū)

“間接輻角改變量法”的使用誤區(qū)——默認(rèn)與“直接輻角改變量法”的結(jié)果相同。

例1在復(fù)平面內(nèi)，取割線

解因 f（z）的支點(diǎn)是0，1，∞，在G內(nèi) f（z）能分出三個(gè)單值解析分支。

解法一（間接輻角改變量法）當(dāng)z從z0=3沿G內(nèi)一條簡(jiǎn)單曲線C不穿過(guò)割線連續(xù)變動(dòng)到z1=i時(shí)，由圖1易得

于是

再由題設(shè)，可設(shè)arg f（3）=0（允許相差2π的整數(shù)倍）。由公式（2）知，

圖1　例1的示意圖

解法二（直接輻角改變量法）當(dāng)z從z0=3沿G內(nèi)簡(jiǎn)單曲線C連續(xù)變動(dòng)到z1=i時(shí)，z′=z-1不穿過(guò)割線從始點(diǎn)z′0=2連續(xù)變化到終點(diǎn)z′1=i-1的路徑如C1，由圖1易得

于是

再由題設(shè)，可設(shè)arg f（3）=0（允許相差2π的整數(shù)倍）。由公式（2）知，

對(duì)于例1，使用上述兩種方法卻得到完全不同的答案！事實(shí)上，當(dāng)單值區(qū)域確定后，給定的分支便是單值函數(shù)，它在定點(diǎn)處的值不可能出現(xiàn)兩個(gè)不同答案。上述兩個(gè)結(jié)果到底孰是孰非？由公式（2）可知，單值分支的輻角改變量

應(yīng)該是把起點(diǎn)z0與終點(diǎn)z1代入函數(shù)表達(dá)式后的輻角改變量（動(dòng)點(diǎn)不穿過(guò)割線），而間接輻角改變量法是把坐標(biāo)原點(diǎn)平移到a點(diǎn)后，計(jì)算當(dāng)動(dòng)點(diǎn)z從z0沿C不穿過(guò)割線連續(xù)變動(dòng)到z1時(shí)向量所旋轉(zhuǎn)的角，此過(guò)程可能會(huì)忽略割線對(duì)函數(shù)初值 f（z0）與終值 f（z1）的影響。如在本例中，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從3沿C不穿過(guò)割線變化到i時(shí)，“間接輻角改變量法”求得，而代入后對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)從2逆時(shí)針繞變到i-1時(shí)必穿過(guò)割線，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)不穿過(guò)割線從2變動(dòng)到i-1的直接輻角改變量為

我們也可以換種方法求解：

由

與（4）相同。

即間接輻角改變量法與直接輻角改變量法的計(jì)算結(jié)果不相等。根據(jù)公式（2）或解法三，此時(shí)應(yīng)該用直接輻角改變量法計(jì)算。

注1由上例分析可知，間接輻角改變量法的使用條件為：

即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿C不穿過(guò)割線從z0連續(xù)變動(dòng)到z1時(shí)，向量所旋轉(zhuǎn)的角與相應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)從z′0=z0-a不穿過(guò)割線連續(xù)變動(dòng)到z′1=z1-a時(shí)向量所旋轉(zhuǎn)的角相同，則兩種算法的結(jié)果一致，否則，應(yīng)采用直接輻角改變量法計(jì)算arg（z-a）的改變量。

注2間接輻角改變量法的優(yōu)點(diǎn)在于簡(jiǎn)潔方便，但卻可能因忽略割線因素而出錯(cuò)；直接輻角改變量法需要代入計(jì)算，但結(jié)果準(zhǔn)確、直觀具體、適用范圍更廣。

3　計(jì)算ΔCarg（a-z）的誤區(qū)

計(jì)算ΔCarg（a-z）的誤區(qū)——用ΔCarg（z-a）代替ΔCarg（a-z）。在確定支點(diǎn)和求可單值分支區(qū)域時(shí)，由于不受割線的影響，可以用ΔCarg（z-a）代替ΔCarg（a-z）來(lái)計(jì)算輻角改變量。但在單值分支的計(jì)算過(guò)程中，可能出現(xiàn)受割線位置的影響而導(dǎo)致二者不相等的情況（為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，取a=0）：

圖2　例2的示意圖

解法一（間接輻角改變量法）當(dāng)z從z0=1-i不穿過(guò)割線沿G內(nèi)簡(jiǎn)單曲線C變動(dòng)到z1=1+i時(shí)，量所旋轉(zhuǎn)的角為 ΔCarg z。由圖 2知，于是

注3解法一用ΔCarg z代替了ΔCarg（-z）。然而對(duì)于例2，使用間接輻角改變量法，當(dāng)z從z0=1-i不穿過(guò)割線沿C變動(dòng)到 z1=1+i時(shí)，對(duì)而言，向量從轉(zhuǎn)到，轉(zhuǎn)角為整數(shù)倍）。由公式（2）知，對(duì)于ΔCarg（-z）而言，該轉(zhuǎn)角相當(dāng)于對(duì)應(yīng)向量逆時(shí)針轉(zhuǎn)到，但此時(shí)動(dòng)點(diǎn)從E變動(dòng)到F時(shí)必穿過(guò)割線，不符合要求。因此，此時(shí)不穿過(guò)割線的路徑應(yīng)該沿C1（參圖2路徑），從而用間接輻角改變量法求得

解法二（直接輻角改變量法）當(dāng)z從z0=1-i 沿G內(nèi)不穿過(guò)割線的簡(jiǎn)單曲線連續(xù)變動(dòng)到z1=1+i時(shí)，由圖2易得

于是

解法三（限定輻角法）由于沿著原點(diǎn)從負(fù)實(shí)軸割開(kāi)，因此可限定arg z∈（-π，π）（允許相差2π的整數(shù)倍）。于是當(dāng)z0=1-i時(shí)，。由

與（6）相同。

注3結(jié)合第二部分的分析可知，在計(jì)算ΔCarg（a-z）時(shí) ，使 用ΔCarg（z-a）代 替ΔCarg（a-z）（即使用引理1）的條件是

ΔCarg（a-z）=ΔCarg（z-a）=ΔCdarg（a-z），否則，即使ΔCarg（a-z）=ΔCarg（z-a），也不能使用公式（1）或間接輻角改變量法和，例3便是一反例。

圖3　例3的示意圖

解采用直接輻角改變量法，如圖3，當(dāng)定點(diǎn)從z0=2沿G內(nèi)一條不穿過(guò)割線的簡(jiǎn)單曲線C1變動(dòng)到z1=i時(shí)，

而分量函數(shù)1-z的輻角改變量等于定點(diǎn)z′1=-1 沿G內(nèi)不穿過(guò)割線的簡(jiǎn)單曲線C2變動(dòng)到z′2=1-i時(shí)（見(jiàn)圖3）向量所旋轉(zhuǎn)的角，即

從而

再由題設(shè)，可設(shè)arg f（2）=π（允許相差2π的整數(shù)倍）。由公式（2）知，

注4本例在許多文獻(xiàn)中均有討論［3-12］。由于沿原點(diǎn)從負(fù)虛軸割開(kāi)，再根據(jù)本題起點(diǎn)、終點(diǎn)的分布情況，可限定允許相差2π的整數(shù)倍），使用“限定輻角法”也能得到上述結(jié)論。若使用“間接輻角改變量法”，用

［1］ 劉士強(qiáng)，林玉波.關(guān)于初等多值函數(shù)單值分支問(wèn)題［M］.北京：蘭州大學(xué)出版社，1993：4，18，50-56.

［2］ 路見(jiàn)可，鐘壽國(guó)，劉士強(qiáng).復(fù)變函數(shù)［M］.2版.武漢：武漢大學(xué)出版社，2007：39-43.

［3］ 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論［M］.4版.北京：高等教育出版社，2013：65-84.

［4］ 李志廣，石磊.一類多值函數(shù)的單值化方法［J］.山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，25（6）：13-16，20.

［5］ 王凡彬.一類多值解析函數(shù)的計(jì)算問(wèn)題［J］.嘉應(yīng)學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，27（6）：5-8.

［6］ 王凡彬.關(guān)于一類復(fù)多值函數(shù)的計(jì)算問(wèn)題［J］.內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，21（2）：10-12.

［7］ 朱順東.關(guān)于求根式函數(shù)單值解析分支上輻角的一點(diǎn)注記［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006，29 （4）：329-331.

［8］ 魏立明.對(duì)一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)的研究［J］.賀州學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，24（3）：106-108.

［9］ 張萍萍.根式函數(shù)的函數(shù)值計(jì)算［J］.濱州學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，25（6）：64-67.

［10］張忠誠(chéng)，柳翠華.確定多值函數(shù)單值解析分支值的一種簡(jiǎn)易方法［J］.長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，29（5）：3-5.

［11］黃志剛，孫桂榮.從一道多值解析函數(shù)題的解法談起［J］.河西學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，27（2）：26-29.

［12］馮志新.復(fù)數(shù)域中兩類函數(shù)的單值分支問(wèn)題［J］.衡水學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，14（1）：29-32.

Two notes on the methods to calculate the argument increment

CHU Ya-wei，WANG Xue，HUANG Rui

（School of Mathematics and Statistics，F(xiàn)uyang Normal University，F(xiàn)uyang Anhui 236037，China）

How to determine a single-valued branch of multi-valued functions，which is a teaching difficult point in complex analysis，can be solved by the method to calculate the argument increment.When the expression of a multi-valued function has the factorz-a，the argument increment ofarg（z-a）can be derived in the present textbooks by the indirect method of translation of origin of coordinates.When the expression of a multi-valued function has the factorz-a，the argument increment of arg（z-a）can be derived by the indirect method of calculation of argument increment by means of the formula ΔCarg（a-z）=ΔCarg（z-a）.By counterexamples，it is illustrated in this paper that there are still misunderstandings in the indirect method and the above formula for the calculation of a single-valued branch，namely，they may not be right when one considers the branch line factor.Meanwhile we analyze the essential difference of both indirect method and direct method for the calculation of argument increment，and establish two important conditions which make the indirect method and above formula hold. As an application，an example in which the indirect method does not hold is given.These notes and examples will overcome the difficulty in teaching effectively.

single-valued branch；argument increment；secant line；counterexample；note；teaching

O174.5

A

1004-4329（2016）03-102-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）03-102-05

2016-05-08

國(guó)家自然科學(xué)基金（11371330）；安徽省教育廳自然科學(xué)基金（KJ2014A196）；安徽省質(zhì)量工程項(xiàng)目（2013jyxm553，2014zy138）資助。

儲(chǔ)亞偉（1977-），男，博士，副教授，研究方向：幾何分析。