觀函數(shù)發(fā)展史，思變量之對(duì)應(yīng)

陳燕

【摘要】在函數(shù)教學(xué)中滲透函數(shù)發(fā)展史，有助于學(xué)生理解函數(shù)的概念，幫助學(xué)生理解函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從生活中選取實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)常量與變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系無處不在，函數(shù)關(guān)系來源于生活，服務(wù)于生活。

【關(guān)鍵詞】函數(shù) 對(duì)應(yīng) 數(shù)學(xué)史 教學(xué)設(shè)計(jì)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）20-0233-02

教學(xué)內(nèi)容

人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第十九章“函數(shù)”第一課時(shí)。

人教版教科書先通過章引言讓學(xué)生體會(huì)變化的世界及研究這些變化規(guī)律的函數(shù)方法。具體內(nèi)容的展開從變量開始，結(jié)合實(shí)例介紹變量和常量的意義，并在此基礎(chǔ)上逐步抽象函數(shù)的概念。在介紹函數(shù)概念時(shí)，先研究能用數(shù)學(xué)式子表示的變量關(guān)系，讓學(xué)生通過公式計(jì)算和列表，歸納其共同特征，即兩個(gè)變量的相互聯(lián)系，當(dāng)其中一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，即解析式法。接著，讓學(xué)生觀察用圖像和表格表示的變量關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)概念的確定方法也可以通過圖像和表格的方式進(jìn)行。

在變量與常量的教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)各種變化的情境讓學(xué)生深刻體會(huì)到運(yùn)動(dòng)變化的普遍性。在此基礎(chǔ)上重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)量描述變化過程（這是用數(shù)學(xué)方法研究運(yùn)動(dòng)變化過程的必然要求）。函數(shù)的概念的教學(xué)是本節(jié)的核心內(nèi)容.教學(xué)中需要讓學(xué)生體會(huì)到，雖然萬物變化，但變化往往是有規(guī)律的，對(duì)變量之間相互依存關(guān)系的研究是把握變化規(guī)律的需要。

教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能目標(biāo)：

（1）探索簡(jiǎn)單實(shí)例中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，了解常量、變量的意義。

（2）結(jié)合實(shí)例，了解函數(shù)的概念和三種表示法，能舉出函數(shù)的實(shí)例。

（3）能結(jié)合圖像對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析。

2.過程與方法目標(biāo)：

引導(dǎo)學(xué)生探索實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，在解決問題的過程中體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

通過觀函數(shù)2000多年的發(fā)展史，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)的興趣，學(xué)生在解決問題的過程中體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心。

教學(xué)重點(diǎn)

常量與變量概念的形成過程，理解“一一對(duì)應(yīng)”的含義。

教學(xué)難點(diǎn)

通過函數(shù)概念的辨別和舉例說明，讓學(xué)生深刻理解函數(shù)概念中的變化和對(duì)應(yīng)。

教學(xué)流程

1.能找出簡(jiǎn)單實(shí)例中的數(shù)量關(guān)系，理解其中的變化規(guī)律，并指出其中的常量與變量.了解在一個(gè)變化過程中，數(shù)值變化的量為變量，數(shù)值始終不變的量為常量.能舉例說明常量與變量。

2.能結(jié)合實(shí)例，借助圖像、表格、式子等工具，用“運(yùn)動(dòng)變化與聯(lián)系對(duì)應(yīng)”的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)變量，理解兩個(gè)變量之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，即當(dāng)一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，單值對(duì)應(yīng)有兩重含義：（1）另一個(gè)變量有對(duì)應(yīng)值。（2）對(duì)應(yīng)值只有一個(gè)。體會(huì)兩個(gè)相關(guān)變量的不同等性，即先對(duì)其中的一個(gè)賦值，再考慮另一個(gè)的對(duì)應(yīng)值，前者在變化過程中處于主動(dòng)地位，后者隨前者的變化而變化，后者為前者的函數(shù)。

了解列表法、解析法、圖像法是函數(shù)的常用三種表示方法，知道各種表示方法的不同長(zhǎng)處，列表法可以清楚地列出一些自變量和函數(shù)的對(duì)應(yīng)值，對(duì)某些特定的數(shù)值帶來一目了然的效果；解析法可以從數(shù)量關(guān)系角度明確自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；圖像法可以直觀形象地反映函數(shù)的變化趨勢(shì)，能選用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡(jiǎn)單實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系。

能結(jié)合生活中關(guān)于函數(shù)的問題情境，舉出函數(shù)實(shí)例，分析其中哪個(gè)量是自變量，哪個(gè)量是函數(shù)，它們之間是如何對(duì)應(yīng)的，讓抽象的數(shù)學(xué)概念具體化。

教學(xué)活動(dòng)

活動(dòng)1：觀看視頻《函數(shù)發(fā)展的2000年》（視頻來源：洋蔥數(shù)學(xué)），了解函數(shù)的發(fā)展史，幫助學(xué)生理解函數(shù)的概念。

古希臘時(shí)期，人們從對(duì)運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)中產(chǎn)生了變量和函數(shù)意識(shí)的萌芽。14世紀(jì)，奧雷斯姆想把速度用圖像表示出來，于是用水平線的點(diǎn)表示時(shí)間，稱為經(jīng)度；豎直線上的點(diǎn)表示速度，稱為緯度。然后用一條線段描述了速度逐漸減少到0的運(yùn)動(dòng)，在函數(shù)沒有精確定義前，圖像已經(jīng)出現(xiàn)。

200多年后，隨著科學(xué)的發(fā)展，加快了歷史的進(jìn)程，人們認(rèn)識(shí)到運(yùn)動(dòng)變化的現(xiàn)象大量存在，天文、航海、制圖中出現(xiàn)了大量運(yùn)動(dòng)變化的問題需要解決，這些問題中都有函數(shù)的影子。笛卡爾引入了變量這一概念，萊布尼茨創(chuàng)造了函數(shù)一詞，他認(rèn)為函數(shù)由變量和常數(shù)共同組成的，他的學(xué)生伯努利強(qiáng)調(diào)函數(shù)一定要用公式來表示（解析式），但后來數(shù)學(xué)家們認(rèn)為不應(yīng)該把函數(shù)局限于只能用公式來表達(dá)，而應(yīng)該體現(xiàn)“只要一些變量變化，另一些變量也隨之變化”。

1755年歐拉把函數(shù)定義為：如果某些變量，以某一種方式依賴另一些變量，也就是當(dāng)后面的這些變量變化時(shí)，前面的這些變量也隨著變化，我們就把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)，例如：y=kx+b（k≠0），在這個(gè)函數(shù)的定義里，公式的地位被削弱了，變化的地位被突顯出來。1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷認(rèn)為怎樣去建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系，也就是x與y之間的關(guān)系并不重要，只要對(duì)于每一個(gè)x都存在與之相對(duì)應(yīng)的唯一的y，則y就是x的函數(shù)，這些定義抓住了函數(shù)概念的本質(zhì)，事實(shí)上，函數(shù)就是研究?jī)蓚€(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

活動(dòng)2：交流互動(dòng)（形成概念）：通過四個(gè)實(shí)例的分析，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)變量常量，得出變量、常量的概念。

問題1：汽車以60 km/h的速度勻速行駛，行駛路程為s km，行駛時(shí)間為t h，填寫下表，s的值隨t的值的變化而變化嗎？

問題2：電影《瘋狂動(dòng)物城》每張票售價(jià)為30元，購買3張票花費(fèi)多少元？購買10張票花費(fèi)多少元？若購買的電影票數(shù)量為x張，共花費(fèi)y元，y的值隨x的值的變化而變化嗎？

問題3：用10米長(zhǎng)的繩子圍一個(gè)矩形，當(dāng)矩形的一邊長(zhǎng)分別為3米，3.5米，4米，4.5米時(shí)，它的鄰邊分別為多少？若矩形的長(zhǎng)為x米，寬為y米，y的值隨x的值的變化而變化嗎？

問題4：美麗的水中漣漪圖中，圓形水波紋慢慢地?cái)U(kuò)大，在這一過程中，當(dāng)圓的半徑r分別為10cm，20cm，30cm時(shí)， 圓的面積S分別為多少？請(qǐng)用含r的式子表示S。

活動(dòng)3：鞏固練習(xí)（加深理解）：通過練習(xí)進(jìn)一步理解變量與常量概念， 能正確判斷出某個(gè)變化中的常量和變量。

指出下列變化過程中的常量和變量：

（1）購買一些單價(jià)為0.5元/支的鉛筆，總價(jià)y隨購買支數(shù)x的變化而變化。

（2）已知三角形底邊長(zhǎng)為8cm，高h(yuǎn)可任意伸縮，面積S隨h的變化而變化。

（3）看一本200 頁的小說，看完這本小說需要t天，平均每天所看的頁數(shù)n隨t的變化而變化。

活動(dòng)4：體會(huì)兩個(gè)變量關(guān)系的表示方法。

問題5：《韶關(guān)日?qǐng)?bào)》全年定價(jià)288元（360期），若學(xué)校去年底訂閱了今年全年的《韶關(guān)日?qǐng)?bào)》為x份，總費(fèi)用為y元。

（1）若x為10，y為多少？若x為20，y為多少？

（2）上述問題中的常量是什么？變量是什么？

（3）請(qǐng)用含x 的式子表示y。

問題6：目前，韶關(guān)90號(hào)汽油價(jià)格為每升7.17元，若所加汽油的量為x升，油費(fèi)為y元。

（1）若x為20升，y為多少元？若x為40元，y為多少元？

（2）上述問題中的常量是什么？變量是什么？

（3）請(qǐng)用含x的式子表示y。

問題7：下面是中國代表團(tuán)在第23 屆至30 屆夏季奧運(yùn)會(huì)上獲得的金牌數(shù)統(tǒng)計(jì)表，屆數(shù)和金牌數(shù)可以分別記作 x 和 y，對(duì)于表中每一個(gè)確定的屆數(shù) x，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的金牌數(shù) y 嗎？

問題8：如圖是北京某天的氣溫變化圖，你能根據(jù)圖像說出某一時(shí)刻的氣溫嗎？

歸納：兩個(gè)變量關(guān)系的表示方法有公式（解析式）、列表、圖像三種常用方式。

活動(dòng)5：觀看視頻《中國最美城鎮(zhèn)——韶關(guān)》，并嘗試找出視頻中的變量關(guān)系。

學(xué)生帶著問題觀看視頻，并以小組為單位討論視頻中存在的變量關(guān)系，每組選派代表展示討論結(jié)果。

學(xué)生的展示舉例：1.隨著年代的變化，韶關(guān)地區(qū)客家圍村的數(shù)量也在變化。

2.視頻中，家鄉(xiāng)的風(fēng)光照片很美，這些照片的拍攝，隨著相機(jī)焦距的變化，圖片成像大小也在變化。

3.隨著游客人數(shù)的變化，景點(diǎn)門票的總費(fèi)用也在變化。

小結(jié)拓展

1.函數(shù)關(guān)系中有兩個(gè)變量；

2.一個(gè)變量變化，另一個(gè)變量隨之變化；

3.一個(gè)變量取定一個(gè)值， 隨之變化的變量有唯一確定的對(duì)應(yīng)值；

4.可以用圖像、表格、式子三種方式來表達(dá)函數(shù)關(guān)系。

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.舉例說明生活中的函數(shù)關(guān)系，并指出變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

2.預(yù)習(xí)19.1函數(shù)（第2課時(shí)）。

教學(xué)反思

本節(jié)課主要針對(duì)粵北鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)生而設(shè)計(jì)，選用較多當(dāng)?shù)氐纳钋榫常瑤椭鷮W(xué)生理解函數(shù)的概念及變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，鼓勵(lì)學(xué)生積極發(fā)言，學(xué)生通過積極回應(yīng)老師的提問而更專注地投入學(xué)習(xí)，通過設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生辨別函數(shù)概念，學(xué)生對(duì)于變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的舉例說明，十分精彩。學(xué)生觀看視頻《中國最美城鎮(zhèn)——韶關(guān)》后，通過小組合作，討論視頻中的變量對(duì)應(yīng)關(guān)系，十分出彩，使學(xué)生在下課后仍回味反思。