隨機(jī)偏好下的Borda悖論

吳　凡,趙　勇,陳煌瓊(.華中科技大學(xué)系統(tǒng)工程研究所,湖北武漢40074;2.江蘇省郵電規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限責(zé)任公司,江蘇南京2009;.國家知識(shí)產(chǎn)權(quán)局專利局專利審查協(xié)作江蘇中心,江蘇蘇州256)

隨機(jī)偏好下的Borda悖論

吳凡1，2,趙勇1,陳煌瓊3
(1.華中科技大學(xué)系統(tǒng)工程研究所,湖北武漢430074;
2.江蘇省郵電規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限責(zé)任公司,江蘇南京210019;
3.國家知識(shí)產(chǎn)權(quán)局專利局專利審查協(xié)作江蘇中心,江蘇蘇州215163)

在闡明二元隨機(jī)偏好所存在缺陷的基礎(chǔ)上,提出了一種更具普適性的隨機(jī)偏好表示方法——概率分布型隨機(jī)偏好,并論證了這種表示方法的完備性(即該方法可以表示所有可取的隨機(jī)偏好).然后基于概率分布型隨機(jī)偏好, 將Borda悖論涉及的兩種投票規(guī)則推廣為隨機(jī)情況,分析隨機(jī)偏好下Borda悖論的發(fā)生規(guī)律,并進(jìn)一步從權(quán)值向量和投票人數(shù)兩方面比較所得結(jié)論與確定性偏好下Borda悖論的異同,分析出現(xiàn)差異的原因.

Borda悖論;隨機(jī)偏好;概率分布;隨機(jī)投票規(guī)則

1　引　言

投票悖論是社會(huì)選擇領(lǐng)域一類反?，F(xiàn)象的統(tǒng)稱,它的出現(xiàn)往往加劇了個(gè)體理性和集體理性之間的沖突,使個(gè)體偏好在既定規(guī)則下無法集結(jié)成理性的社會(huì)偏好,最終導(dǎo)致選民對(duì)社會(huì)選擇活動(dòng)公平性和合理性的質(zhì)疑.事實(shí)上,投票悖論甚至不需要真正出現(xiàn),即使其潛在的可能性也會(huì)阻礙活動(dòng)的進(jìn)行.Borda悖論是投票悖論中具有代表性的一種,曾多次在實(shí)際活動(dòng)中出現(xiàn),給多種常見社會(huì)選擇規(guī)則(如簡單多數(shù)票)的合理性帶來了巨大的挑戰(zhàn)［1］.

常見的Borda悖論有弱Borda悖論,強(qiáng)Borda悖論和嚴(yán)格Borda悖論.本文的研究對(duì)象是強(qiáng)Borda悖論,這種悖論最早由Borda［2］借助一種21個(gè)投票人的偏好斷面進(jìn)行例證,因具有較大的實(shí)際研究價(jià)值得到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注［1］.捉對(duì)投票失敗者(pairw isemajority rule loser,PMRL)在既定投票規(guī)則中獲勝的現(xiàn)象稱為強(qiáng)Borda悖論.這種既定規(guī)則的范圍幾乎沒有限制,可以是除捉對(duì)投票規(guī)則(pairw isemajority rule,PMR)外的任意規(guī)則,目前研究最深入的是排位投票制規(guī)則(positional voting rules,PVR).一般情況下,PMR規(guī)定候選人兩兩捉對(duì)比較,所有捉對(duì)比較均獲勝的候選人當(dāng)選;當(dāng)候選人之間出現(xiàn)Condorcet循環(huán)時(shí),通過計(jì)算Condorcet社會(huì)選擇函數(shù)的函數(shù)值大小對(duì)候選人進(jìn)行排序.PVR規(guī)定將權(quán)值向量中的各權(quán)值依次賦予個(gè)體偏好中相應(yīng)位次的候選人,計(jì)算各候選人所獲得的權(quán)值總和并按權(quán)值總和對(duì)候選人進(jìn)行排序.PVR是一類投票規(guī)則的總稱,以權(quán)值向量的不同加以區(qū)分.本文在無歧義的情況下將強(qiáng)Borda悖論簡稱為Borda悖論.

目前對(duì)Borda悖論的研究基本上都是以確定性偏好為前提.G¨ardenfors［3］和Fishburn等［4］已經(jīng)證明,除線性權(quán)值向量外,所有非線性權(quán)值向量的PVR都有可能出現(xiàn)Borda悖論,且悖論的發(fā)生概率與選民人數(shù)和權(quán)值向量相關(guān).Gehrlein等［5］和Diss等［6］給出了不同文化條件下這種相關(guān)性的函數(shù)表達(dá)式,在此基礎(chǔ)上研究了投票人數(shù)趨近于無窮大時(shí)悖論發(fā)生概率的極限,并進(jìn)一步分析了概率值與個(gè)體偏好互相關(guān)性之間的關(guān)系.然而,隨著社會(huì)選擇理論的不斷發(fā)展,越來越多的學(xué)者意識(shí)到確定性偏好的局限［7，8］,這種局限性在重復(fù)性決策時(shí)尤為明顯.Tversky［9］指出,如果需要對(duì)兩個(gè)備選項(xiàng)進(jìn)行重復(fù)性選擇,決策者通常會(huì)在某些特定情況下選擇其中一個(gè)而在其他情況下選擇另一個(gè),也就是說個(gè)體偏好在整個(gè)決策過程中并不一定會(huì)保持一致,隨機(jī)偏好可以準(zhǔn)確地表達(dá)這種情況下的不一致性.

本文針對(duì)重復(fù)性決策問題討論隨機(jī)偏好下的Borda悖論發(fā)生規(guī)律.考慮到現(xiàn)有的隨機(jī)偏好表示方法［10-12］在PVR等多種投票規(guī)則中應(yīng)用時(shí)存在著不能準(zhǔn)確表達(dá)個(gè)體偏好的缺陷,本文首先提出一種新的更具普適性的隨機(jī)偏好表示方法,在此基礎(chǔ)上將PVR擴(kuò)展為隨機(jī)投票規(guī)則,進(jìn)一步研究隨機(jī)偏好下Borda悖論的發(fā)生規(guī)律,并將這種發(fā)生規(guī)律與確定性情況從權(quán)值向量和投票人數(shù)兩方面進(jìn)行對(duì)比,分析兩種情況下Borda悖論發(fā)生規(guī)律異同的內(nèi)在原因.

2　隨機(jī)偏好表示方法的一種改進(jìn)

現(xiàn)實(shí)生活中的社會(huì)選擇通常采取或可歸結(jié)為投票的方式進(jìn)行,可以引入下列符號(hào)進(jìn)行統(tǒng)一化描述.

設(shè)群由m個(gè)投票人和n個(gè)候選人構(gòu)成,簡記為〈m，n〉群,用V=｛v1，v2，...，vm｝表示群中投票人的集合,C=｛c1，c2，...，cn｝表示候選人的集合.投票人vi的偏好記為pvi,｛pv1，pv2，...，pvm｝表示所有個(gè)體偏好確定后所形成的偏好斷面.pG=g（pv1，pv2，...，pvm）表示通過社會(huì)選擇規(guī)則g將個(gè)體偏好集結(jié)成群偏好pG.

為了限定本文投票模型的范圍,給出下列基本假設(shè):

假設(shè)1投票人相互獨(dú)立地表達(dá)自身偏好;

假設(shè)2候選人之間具有連通性.

需要指出的是,假設(shè)2中的連通性已經(jīng)推廣為隨機(jī)情況,即?ci，cj∈C,必然?π∈［0，1］,使得ci?cj的概率為π.當(dāng)π∈［0，1］退化為π∈｛0，0.5，1｝時(shí),隨機(jī)情況下的連通性隨即轉(zhuǎn)變成確定性情況.

2.1二元隨機(jī)偏好的不足

目前,對(duì)隨機(jī)偏好的研究大部分定義在“嚴(yán)格優(yōu)于”這種二元關(guān)系上,本文將其稱為二元隨機(jī)偏好(stochastic preference based on strictorder,SPSO),如定義1[12]所示.

定義1設(shè)cx，cy∈C,vi∈V,πG（cx?cy），πvi（cx?cy）∈［0，1］分別表示群和投票人vi認(rèn)為候選人cx和cy間關(guān)系為cx?cy的概率.

1)若πG（cx?cy）≥0.5，πvi（cx?cy）≥0.5,分別稱群和投票人vi認(rèn)為cx隨機(jī)不劣于cy;

2)若πG（cx?cy）＞0.5，πvi（cx?cy）＞0.5,分別稱群和投票人vi認(rèn)為cx隨機(jī)優(yōu)于cy;

3)若πG（cx?cy）=0.5，πvi（cx?cy）=0.5,分別稱群和投票人vi認(rèn)為cx隨機(jī)無差異于cy.

由定義1可知,當(dāng)πG（cx?cy），πvi（cx?cy）=0或1時(shí),偏好的隨機(jī)性將會(huì)消失,隨機(jī)偏好退化為確定性偏好.以SPSO為基礎(chǔ),參考文獻(xiàn)[11,13]等中隨機(jī)偏好在實(shí)際應(yīng)用中的需要,可以進(jìn)一步定義個(gè)體偏好和群偏好.

定義2設(shè)C=｛c1，c2，...，cn｝為候選人的集合,則概率框架下的個(gè)體偏好和群偏好都可以表示為

其中偏好分量π（cx?cy）表示候選人cx和cy間關(guān)系為cx?cy的概率,Pπ（n）稱為隨機(jī)偏好空間,即隨機(jī)偏好的取值范圍,具體可以表示為

SPSO因?yàn)楸磉_(dá)形式簡單得到了廣泛的應(yīng)用,然而這種表示方法在PVR等規(guī)則中使用時(shí)具有較大的局限性,下面舉例說明.

例1考慮同樣含有100個(gè)投票人和3個(gè)候選人c1、c2和c3的3個(gè)群:A群、B群和C群,投票人在3個(gè)群中的偏好分布如表1所示.現(xiàn)在從每個(gè)群中隨機(jī)抽取20個(gè)投票人進(jìn)行投票,通過給定的投票規(guī)則(PMR和PR)將這些個(gè)體偏好集結(jié)成最終的群偏好.

表1　投票人偏好分布情況Table1　Preference distributions of group A,B and C

由表1可知,A、B和C群中偏好c1?c2?c3被抽中的概率分別為0.1、0.3和0.2,同理可以求出其他5種偏好被抽中的概率.進(jìn)一步分析可知,3個(gè)群中偏好c1?c2,c1?c3和c2?c3被抽中的概率均分別為0.6,0.6和0.5.因此,在不知道被抽出投票人具體偏好的情況下,個(gè)體偏好都可以預(yù)估為

這是SPSO的表達(dá)形式.由表1可以看出,這3個(gè)群的偏好斷面具有較大的差異.如果投票規(guī)則為PMR,由于SPSO完全相同,3個(gè)群的群偏好預(yù)估應(yīng)該完全一致;如果投票規(guī)則為PR,顯然A群中候選人c2被抽中的概率最大,為0.4,相應(yīng)地c2獲勝的概率也最大,同理可知B群中c1獲勝的概率最大,C群中c3獲勝的概率最大.相同的投票規(guī)則在相同的個(gè)體偏好下可能會(huì)得出3個(gè)截然不同的群偏好!

其實(shí)除了PR外,例1顯示出的問題也可能會(huì)在其他權(quán)值向量下的PVR中出現(xiàn).由于SPSO表示方法在PVR中使用時(shí)可能無法準(zhǔn)確表達(dá)投票人的個(gè)體偏好,使得群偏好的規(guī)范化求解變得困難.因此,討論隨機(jī)偏好下的Borda悖論不能采用SPSO表示方法.

2.2概率分布型隨機(jī)偏好

例1在揭示SPSO局限性的同時(shí),也從側(cè)面給出了對(duì)其改進(jìn)的方法.以A群為例,可以將隨機(jī)抽取的個(gè)體偏好預(yù)估為

這種表示方法相對(duì)于SPSO可以更細(xì)致準(zhǔn)確地表達(dá)個(gè)體偏好,避免了例1中提出的問題.下面在闡述這種隨機(jī)偏好表示方法理論依據(jù)的基礎(chǔ)上給出定義,并探討這種表示方法是否可以表示隨機(jī)偏好空間中所有可能的偏好.

首先給出折中偏好、凸偏好集和極端偏好的概念,這是定義新的隨機(jī)偏好表示方法的基礎(chǔ).

定義3設(shè)p1，p2，...，pn是任意n個(gè)偏好,權(quán)值ω1，ω2，...，ωn∈R+滿足約束條件,則稱為這n個(gè)偏好的折中偏好,記為pmid（p1，p2，...，pn）.

定義3中的n個(gè)偏好可以全部是確定性偏好或隨機(jī)偏好,也可以是確定性偏好和隨機(jī)偏好的混合. 當(dāng)n=1時(shí),折中偏好退化為單個(gè)偏好.

定義4設(shè)偏好集S/=?,若?p1，p2∈S,｛pmid（p1，p2）｝?S成立,則稱S為凸偏好集.

由定義4可知,?n≥2,隨機(jī)偏好空間Pπ（n）都是凸偏好集.

定義5設(shè)凸偏好集S（|S|＞1）內(nèi)有一偏好p,若?p1，p2∈S且p1/=p2,p/=pmid（p1，p2）,則稱p為S中的極端偏好.

當(dāng)|S|=1時(shí),由定義4可知S一定是凸偏好集,然而此時(shí)不存在極端偏好的概念,因此在定義極端偏好時(shí)應(yīng)去除這種情況.為便于理解極端偏好的概念,舉例說明如下:

在凸偏好集P=｛π（c1?c2）|π（c1?c2）∈［0，1］｝中,π（c1?c2）=0不能表示為P中任意兩個(gè)不同偏好的折中偏好,因此π（c1?c2）=0為P中的一個(gè)極端偏好.

由于Pπ（n）是凸偏好集,因此可以在Pπ（n）中進(jìn)一步討論極端偏好的概念.定理1給出了Pπ（n）中極端偏好的充要條件.

定理1所有不含無差異關(guān)系的確定性偏好都是隨機(jī)偏好空間的極端偏好,并且只有這些偏好是極端偏好.

證明顯然在隨機(jī)偏好空間Pπ（n）中,不含無差異關(guān)系的確定性偏好共有2C2n個(gè),組成集合P= ｛π（cx?cy）|x，y∈｛1，2，...，n｝，x＜y，π（cx?cy）∈［0，1］｝.

證明過程分為下列充分條件和必要條件兩部分進(jìn)行.

1)充分條件

假設(shè)p∈P不是Pπ（n）中的極端偏好.由定義5可知,?p1，p2∈Pπ（n）,且p1/=p2,?ω∈（0，1）,使p= ωp1+（1-ω）p2成立,其中p1=｛π1（cx?cy）｝,p2=｛π2（cx?cy）｝.由此可知,?x，y∈｛1，2，...，n｝且x＜y,必然有ωπ1（cx?cy）+（1-ω）π2（cx?cy）∈｛0，1｝,考慮到ω，1-ω∈（0，1）,因此π1（cx?cy）=π2（cx?cy）,即p1=p2,與p1/=p2矛盾.因此,p是極端偏好.

2)必要條件

設(shè)p*=｛π*（cx?cy）|x，y∈｛1，2，...，n｝，x＜y｝/∈P是Pπ（n）中的極端偏好,則p*中至少存在一個(gè)偏好分量π*（cα?cβ）/∈｛0，1｝.由定義5可知,?p1，p2∈Pπ（n）且p1/=p2,?ω∈（0，1）,使得p*= ωp1+（1-ω）p2都不可能成立.由于0=ω×0+（1-ω）×0≤ωπ1（cx?cy）+（1-ω）π2（cx?cy）≤ω×1+（1-ω）×1=1,因此只要保證π1（cx? cy）和π2（cx?cy）不同時(shí)為0或1,必然有ωπ1（cx?cy）+（1-ω）π2（cx?cy）∈（0，1）成立.

基于上述分析可知,如果p*中有一部分偏好分量π*（cγ?cτ）∈｛0，1｝,則相應(yīng)地將p1和p2中的偏好分量π1（cγ?cτ）和π2（cγ?cτ）設(shè)置為0或1;p*中的其余偏好分量π*（cα?cβ）/∈｛0，1｝必然可以表示為ωπ1（cα?cβ）+（1-ω）π2（cα?cβ）的形式,即相應(yīng)地將p1和p2中的偏好分量分別設(shè)置為π1（cα?cβ）和π2（cα?cβ）.考慮到Pπ（n）是連續(xù)空間,因此只要p*/∈P,在Pπ（n）中p*的去心鄰域Uo（p*，δ）內(nèi)必然存在兩個(gè)不同偏好p1和p2,使得?x，y∈｛1，2，...，n｝且x＜y,?ω∈（0，1）,π*（cx?cy）=ωπ1（cx?cy）+（1-ω）π2（cx?cy）,即p*=ωp1+（1-ω）p2,因此p*不是極端偏好,這與假設(shè)矛盾.綜上所述,?p∈P都是隨機(jī)偏好空間的極端偏好,而?p/∈P都不是極端偏好.證畢.

由定義2可知Pπ（n）是有界空間,考慮到定理1給出Pπ（n）是凸偏好集的結(jié)論,因此Pπ（n）是有界凸偏好集.有界凸集上任意一點(diǎn)都可以用頂點(diǎn)凸組合表示,因此以極端偏好為基礎(chǔ),可以進(jìn)一步定義一種完備的不確定偏好表示方法,如定義6所示.這里的完備性是指采用這種偏好表示方法可以表示偏好集內(nèi)的所有可取偏好.

定義6隨機(jī)偏好空間Pπ（n）中存在個(gè)極端偏好｛p1，p2，...，pk｝,vi∈V的個(gè)體偏好都可以表示為｛（πvi（p1），p1），（πvi（p2），p2），...，（πvi（pk），pk）｝這種形式,簡記為pvi=pmid（p1，p2，...，pk）,其中πvi（pj）表示投票人vi選擇極端偏好pj的概率,滿足條件稱pvi是投票人vi的一種基于極端偏好概率分布的不確定偏好,簡稱概率分布型隨機(jī)偏好(stochastic preferencebased on probability distribution ofextreme preferences,SPPDEP).

需要注意的是,由于極端偏好的個(gè)數(shù)k與候選人數(shù)n呈指數(shù)型關(guān)系,SPPDEP中的極端偏好概率分布通常并不是主觀設(shè)定的,甚至根本無法設(shè)定.分析例1可以看出,這種偏好表示方法在隨機(jī)抽選等制度中可以得到較好地應(yīng)用,此時(shí)極端偏好概率分布可以客觀獲取.另外,考慮到隨機(jī)偏好只是對(duì)投票人個(gè)體偏好的一種預(yù)估,實(shí)際偏好往往都是確定性的,由此可知,極端偏好之間通常是互斥關(guān)系,即候選人選擇了其中一個(gè)極端偏好就不能選擇其他極端偏好,顯然這個(gè)結(jié)論也可以從例1中得出.

3　概率分布型隨機(jī)偏好下的Borda悖論

有了SPPDEP這種隨機(jī)偏好表示方法,可以將Borda悖論中涉及的確定性概念和規(guī)則相應(yīng)地推廣到隨機(jī)情況,在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究隨機(jī)偏好下的Borda悖論發(fā)生規(guī)律.

3.1兩種隨機(jī)投票規(guī)則

3.1.1隨機(jī)捉對(duì)投票規(guī)則

本文所涉及的隨機(jī)捉對(duì)投票規(guī)則(stochastic pairw isemajority rule,SPMR)與Grofman等［14］提出的思路基本相同,只是其中的隨機(jī)偏好表示方法不同而已.

群認(rèn)為cx?cy的概率

其中［m/2］表示對(duì)m/2做取整運(yùn)算,α和β表示任意數(shù)量候選人的組合, cy｝∈pj）,l（｛cx?cy｝∈pj）為示性函數(shù),即

參考PMRL的定義,可給出隨機(jī)捉對(duì)投票失敗者(stochastic pairw isemajority rule loser,SPMRL)的概念.

定義7設(shè)cx，cy∈C,若?cy/=cx,使得πG（cx?cy）＜0.5都成立,則稱cx是隨機(jī)捉對(duì)投票失敗者.

需要注意的是,對(duì)比文獻(xiàn)[14]中的πG（cx?cy）運(yùn)算公式,SPPDEP在SPMR的運(yùn)用SPSO反而要復(fù)雜一些.如果涉及到的問題僅限于SPMR,建議直接使用SPSO.

3.1.2隨機(jī)排位投票制

PVR規(guī)定,權(quán)值向量W=（ω1，ω2，...，ωn）,其中ω1≥ω2≥···≥ωn,且ω1＞ωn,W中的第j個(gè)分量ωj的值分配給個(gè)體偏好中排名第j位的候選人.

在討論隨機(jī)排位投票制(stochastic positionalvoting rules,SPVR)之前,首先需要將SPPDEP中的極端偏好分為傳遞性和非傳遞性兩類,不失一般性,設(shè)前n！項(xiàng)為傳遞性極端偏好.顯然只有當(dāng)非傳遞性極端偏好的概率都為0時(shí),PVR才可以相應(yīng)地推廣.

在投票人vi的偏好分量pg中,候選人cx得分的數(shù)學(xué)期望其中表示vi的偏好分量pg中的第h位,為示性函數(shù),即

進(jìn)一步可以推算出vi的偏好中cx得分的數(shù)學(xué)期望為由此可知cx得分的數(shù)學(xué)期望

根據(jù)得分的數(shù)學(xué)期望大小關(guān)系可以給出群偏好序,數(shù)學(xué)期望越大的候選人在群偏好中的排名越靠前.

3.2概率分布型隨機(jī)偏好下的Borda悖論

確定性偏好下的Borda悖論在線性權(quán)值向量的PVR中不可能出現(xiàn),這一結(jié)論在隨機(jī)情況下卻不再成立.本節(jié)以三候選人為例對(duì)此進(jìn)行論證.需要注意兩點(diǎn):1)Borda悖論下的SPMRL與3.1.1節(jié)略有不同,因?yàn)樵谶@種情況下不討論非傳遞性極端偏好部分,此時(shí)πG（cx?cy）的運(yùn)算公式不再是指數(shù)復(fù)雜度,而變成相對(duì)更簡單的表達(dá)形式;2)本文僅討論投票人數(shù)量m為不小于3的奇數(shù)情況,忽略了m為偶數(shù)時(shí)可能會(huì)涉及到候選人之間的平局處理問題.

首先引入兩個(gè)引理[14],這是研究SPPDEP下Borda悖論發(fā)生規(guī)律的基礎(chǔ).

引理2在m個(gè)投票人的SPMR中,群偏好πG（cx?cy）＞0.5的必要條件是1））（m+1）/2＞0.5,充分條件是

根據(jù)引理1和2,并綜合3.1節(jié)提出的兩種隨機(jī)投票規(guī)則,可以給出下述結(jié)論.

定理2〈m，3〉群的隨機(jī)投票問題中,線性權(quán)值向量的SPVR有可能產(chǎn)生Borda悖論.

證明〈m，3〉群的6個(gè)極端偏好如表2所示.

表2　三候選人偏好空間的極端偏好Table2　A llextreme preferences of three candidates’preference space

考慮到候選人間的對(duì)稱性,不失一般性,設(shè)c1是SPMRL的同時(shí)也在SPVR中獲勝.

由引理2可知,c1為SPMRL時(shí)需要滿足條件

候選人得分的數(shù)學(xué)期望分別為

c1在SPVR中獲勝時(shí),需要滿足條件

進(jìn)一步化簡得

此時(shí)不等式組(3)與不等式組(2)不能同時(shí)成立,不可能產(chǎn)生Borda悖論.

令f（m）=0.52/（m+1）（m+1）/（2m）,經(jīng)運(yùn)算可知,當(dāng)m≥3時(shí),f（m）與m正相關(guān).考慮到0.5,由此可知在投票人數(shù)有限的情況下,不等式f（m）＜0.5必然成立.由此可知除不等式組(3)外還存在其他可以滿足不等式組(1)的情況,具體可以分為式(4)～式(6),即

令g（m）=0.52/（m+1）（m+1）-（m-0.4）,經(jīng)運(yùn)算可知,當(dāng)m≥3時(shí),f（m）與m負(fù)相關(guān).而= 1.4-2 ln 2,因此在投票人數(shù)有限的情況下,g（m）＞1.4-2 ln 2＞0,從而可知0.52/（m+1）（m+1）/（2m）＞0.5-0.2/m.由此可知（0.52/（m+1）（m+1）/（2m），0.5），［0.5，（m+1）/（2m）］?［0.5-0.2/m，（m+1）/（2m）］.

由引理1可知,如果ˉπ（cx?cy）處于這兩個(gè)區(qū)間,將（m-1）/2個(gè)投票人的概率設(shè)置為0,而其余（m+ 1）/2個(gè)投票人的概率設(shè)置為2m（cx?cy）/（m+1）時(shí),πG（cx?cy）達(dá)到最大,=（2mˉπ（cx? cy）/（m+1））（m+1）/2.m為常數(shù)時(shí),隨著（cx?cy）單調(diào)遞增,進(jìn)一步運(yùn)算可知＞ 0.5.若（cx?cy）∈（（m+1）/（2m），1）,將（m+1）/2個(gè)投票人偏好的概率設(shè)置為1,此時(shí)= 1.因此,只要按照引理1的方法設(shè)置投票人的概率,無論ˉπ（cx?cy）大于0.5還是小于0.5,＞ 0.5必然成立.

綜上所述,〈m，3〉群的隨機(jī)投票問題中,線性權(quán)值向量的SPVR有可能產(chǎn)生Borda悖論.證畢.

類似于PVR,非線性權(quán)值向量的SPVR也有可能產(chǎn)生Borda悖論.任意給定一個(gè)線性權(quán)值向量規(guī)則下的Borda悖論偏好斷面,考慮到在滿足約束條件｛ω1≥ω2≥ω3，ω1＞ω3｝的情況下SPVR中權(quán)值的取值在實(shí)數(shù)域內(nèi)連續(xù),因此可以保持ω2和ω3不變,將線性權(quán)值向量中的ω1進(jìn)行微調(diào),即足夠小,仍然可以保證Borda悖論存在,此時(shí)權(quán)值向量變成非線性,因此非線性權(quán)值向量的SPVR有可能產(chǎn)生Borda悖論.Borda提出的經(jīng)典〈21，3〉群偏好斷面就是一個(gè)特殊的例子［2］.基于上述分析,可得下面的結(jié)論.

定理3〈m，3〉群的隨機(jī)投票問題中,非線性權(quán)值向量的SPVR有可能產(chǎn)生Borda悖論.

綜合定理2和定理3可知,3候選人情況下所有權(quán)值向量的SPVR都有可能產(chǎn)生Borda悖論.為便于理解這兩個(gè)定理的含義,下面給出〈3，3〉群中SPVR產(chǎn)生Borda悖論的偏好斷面示例.

例2給定一個(gè)偏好斷面,如表3所示.

表3　〈3，3〉群的一個(gè)偏好斷面Table 3　A profile of group〈3，3〉

由上述偏好斷面運(yùn)算可知,πG（c1? c2）=0.48160＜ 0.5,πG（c1? c3）=0.42976＜ 0.5,因此c1為PMRL.當(dāng)SPVR中的權(quán)值向量為線性時(shí),不妨設(shè)權(quán)值向量為（2，1，0）,此時(shí)SCORE（c1）=3.0480, SCORE（c2）=2.9880，SCORE（c3）=2.9640;當(dāng)SPVR中的權(quán)值向量為（2.1，1，0）時(shí),此時(shí)權(quán)值向量為非線性,SCORE（c1）=3.1968，SCORE（c2）=3.1320，SCORE（c3）=2.9712.顯然在上述兩種權(quán)值向量下c1獲勝.c1作為PMRL在SPVR中獲勝,因此無論權(quán)值向量為線性或非線性,SPVR都有可能產(chǎn)生Borda悖論.

3.3隨機(jī)和確定性投票問題中Borda悖論發(fā)生規(guī)律的異同

隨機(jī)偏好是確定性偏好在重復(fù)性決策中偏好不一致性的擴(kuò)展表示.兩者之間存在著一定的聯(lián)系,也有明顯的區(qū)別.因此,隨機(jī)偏好和確定性偏好下Borda悖論的發(fā)生規(guī)律也存在相似和不同之處.考慮到Borda悖論的分析通常僅限于3候選人,因此與3.2節(jié)一樣,本節(jié)僅討論3候選人情況下悖論發(fā)生規(guī)律的異同.

從權(quán)值向量的角度分析.由定理2和3可知,〈m，3〉群的隨機(jī)投票問題中,所有權(quán)值向量的SPVR都有可能產(chǎn)生Borda悖論,而這一結(jié)論在PVR中并不成立,因?yàn)榫€性權(quán)值向量的PVR不可能產(chǎn)生Borda悖論.出現(xiàn)這種差異的主要原因在于SPMR與PMR中πG（cx?cy）＞0.5的必要條件不同.（cx?cy）＜0.5時(shí)PMR中πG（cx?cy）不可能大于0.5,而這種情況在SPMR中卻有可能出現(xiàn).

從投票人數(shù)的角度分析.?m≥3,定理2和定理3都成立.而這一結(jié)論在確定性投票問題中卻并不成立,也就是說PVR規(guī)則下Borda悖論存在與否與投票人數(shù)相關(guān),具體分析如下.

在確定性投票問題中,偏好斷面如表4所示,其中mi，i=1，2，...，6均為正整數(shù)

表4　確定性投票問題中的偏好斷面Table4　The profile of determ inate voting problem

不失一般性,不妨設(shè)c1為PMRL,則有

若c1在權(quán)值向量為（ω1，ω2，ω3）的PVR中獲勝,則有

當(dāng)總投票人數(shù)m足夠小,如m=3或5時(shí),無論（ω1，ω2，ω3）取什么值,式(7)和式(8)都不可能同時(shí)成立.

由此可知,在確定性投票問題中,并非?m≥3,Borda悖論都存在,這一點(diǎn)也可以由文獻(xiàn)[5,6]中的結(jié)論反映出來.出現(xiàn)這種差異的主要原因在于,m足夠小時(shí),確定性投票問題中可能的偏好斷面足夠少,且確定性偏好的定義域離散;而隨機(jī)投票問題中無論m的大小,可能的偏好斷面都有無窮多個(gè),且隨機(jī)偏好的定義域具有連續(xù)性.這種偏好斷面數(shù)量上的巨大差異,以及偏好定義域的連續(xù)與否,導(dǎo)致了悖論發(fā)生規(guī)律在投票人數(shù)角度上的差異.

綜上分析可得如下結(jié)論.

定理4〈m，3〉群的確定性投票問題中,Borda悖論的發(fā)生與否與PVR的權(quán)值向量、投票人數(shù)等因素相關(guān);而隨機(jī)投票問題中,Borda悖論的發(fā)生與否與這些因素?zé)o關(guān),無論這些因素怎樣變化,Borda悖論都有可能發(fā)生.

4　結(jié)束語

Borda悖論的發(fā)生規(guī)律在確定性投票規(guī)則中的理論分析和實(shí)證研究已經(jīng)相對(duì)成熟,而在隨機(jī)投票規(guī)則中的卻比較少見.本文正是基于這一研究現(xiàn)狀,提出一種隨機(jī)偏好下Borda悖論的理論分析.

本文首先指出SPSO這種目前最常見的隨機(jī)偏好表示方法在SPVR中存在不可回避的局限,在提出折中偏好和極端偏好等概念的基礎(chǔ)上進(jìn)一步給出SPPDEP表示方法.結(jié)合文章提供的例子可以看出,SPPDEP相比于SPSO不僅能更加具體地表達(dá)個(gè)體偏好,也能更準(zhǔn)確地適用于非SPMR,尤其是SPVR這種隨機(jī)投票規(guī)則.這也是進(jìn)行隨機(jī)偏好下Borda悖論分析的基礎(chǔ)性工作.

以SPPDEP為基礎(chǔ),本文分別將PMR和PVR推廣為相應(yīng)的隨機(jī)規(guī)則,分析了隨機(jī)偏好下Borda悖論的發(fā)生規(guī)律,得出任何SPVR都有可能產(chǎn)生Borda悖論的結(jié)論,并將隨機(jī)情況下的Borda悖論分析結(jié)果與確定性情況從權(quán)值向量和投票人數(shù)兩方面進(jìn)行對(duì)比,進(jìn)一步分析兩種情況出現(xiàn)差異的原因.

在研究隨機(jī)偏好下Borda悖論是否發(fā)生的基礎(chǔ)上,可以進(jìn)一步研究Borda悖論的發(fā)生概率問題.考慮到隨機(jī)偏好下的復(fù)雜性,不同于確定性情況的理論推導(dǎo),可以采用計(jì)算機(jī)仿真的方法對(duì)不同文化條件［15］下的Borda悖論發(fā)生概率進(jìn)行Monte Carlo仿真求解,這也是作者的下一步研究方向.

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Borda’sparadox under stochastic preference

Wu Fan1，2,Zhao Yong1,Chen Huangqiong3
(1.Institute of Systems Engineering,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074,China;
2.Jiangsu Posts&Telecommunications Planning and Designing Institute Co.,Ltd.,Nanjing 210019,China;
3.Patent Examination Cooperation Jiangsu Center of the Patent Office,SIPO,Suzhou 215163,China)

On thebasis of illustrating theweaknessof stochastic preferencesbased on strictorder(SPSO),this paper proposesamore universal representation which is called stochastic preference based on the probability distribution of extreme preferences(SPPDEP),and demonstrates the completeness of SPPDEP,i.e.,SPPDEP can representall feasiblestochasticpreferences.With SPPDEP,itextendstwovoting rulesreferred toasBorda’s paradox into stochasticmode,and analyzes the occurrence regularitiesof Borda’s paradox in thismode.Furthermore,comparing with the occurrence regularities of Borda’s paradox in determinatingmode,it discusses the similarities and differencesbetween the twomodes,and analyses for the reasons for those differences.

Borda’sparadox;stochastic preference;probability distribution;stochastic voting rules

C934

A

1000-5781(2016)02-0145-10

10.13383/j.cnki.jse.2016.02.001

2014-05-22;

2015-03-19.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61273206;71071063).

吳凡(1988—),男,安徽馬鞍山人,博士生,研究方向:群決策理論,方法及應(yīng)用,Email:dragonwufan@126.com;

趙勇(1966—),男,湖北天門人,博士,教授,研究方向:群決策理論,方法及應(yīng)用,Email:zhiwei98530@hust.edu.cn;

陳煌瓊(1984—),女,湖北咸寧人,博士生,研究方向:社會(huì)選擇理論,Email:chqkhs@163.com.