兩個(gè)周期函數(shù)的和的周期性

劉長劍，　湯正誼

(蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，蘇州215006)

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兩個(gè)周期函數(shù)的和的周期性

劉長劍，湯正誼

(蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，蘇州215006)

顯然如果兩個(gè)周期函數(shù)的的周期之比為有理數(shù)，則它們的和仍然是周期函數(shù).反之，如果已知兩個(gè)周期函數(shù)的和是周期函數(shù)，則這兩個(gè)周期函數(shù)周期之比是否一定是有理數(shù)？若這兩個(gè)函數(shù)之一是連續(xù)函數(shù)，給予上述問題肯定的回答.

周期函數(shù)； 最小正周期； 連續(xù)

1　引　　言

假設(shè)f1(x),f2(x)都是定義在實(shí)數(shù)集上的周期函數(shù)，問F(x)=f1(x)+f2(x)是否也是周期函數(shù)？

關(guān)于這個(gè)問題，人們已經(jīng)得到大量結(jié)果，這里只列舉兩個(gè)結(jié)果：在[1]中證明了若周期函數(shù)f1(x)和f2(x)連續(xù)，則F(x)為周期函數(shù)的充要條件是存在這兩個(gè)函數(shù)的正周期使得這兩個(gè)正周期之比為有理數(shù).在[7]中構(gòu)造了反例，說明當(dāng)f1(x)和f2(x)都不連續(xù)時(shí)，即使f1(x)和f2(x)的周期之比不是有理數(shù)，F(xiàn)(x)仍然可能是周期函數(shù).

在本文中，將考慮f1(x)和f2(x)之間至少一個(gè)連續(xù)的情形.具體而言，結(jié)果如下：

定理假設(shè)f1(x),f2(x)都是定義在實(shí)數(shù)集上的周期函數(shù)且f1(x)連續(xù)，則

F(x)=f1(x)+f2(x)

為周期函數(shù)的充要條件是f1(x)和f2(x)的周期之比為有理數(shù).

2　定理的證明

首先介紹兩個(gè)引理，其證明并不難，但為了讀者方便，我們?nèi)匀唤o出證明.

引理1若f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的連續(xù)周期函數(shù)且f(x)不是常數(shù)函數(shù)，則f(x)必有最小正周期.

證反設(shè)f(x)沒有最小正周期，下證f(x)恒等于f(0).

由于f(x)連續(xù)，所以任給ε>0,存在δ>0,使得只要|x′|<δ,就有|f(x′)-f(0)|<ε.由于f(x)沒有最小正周期，可以找到f(x)的一個(gè)周期T<δ.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,存在整數(shù)n,使得x=nT+τ,0≤τ

|f(x)-f(0)|=|f(τ)-f(0)|<ε.

由ε和x的任意性知，f(x)恒等于f(0).這與f(x)不是常數(shù)函數(shù)矛盾，故f(x)必有最小正周期.

引理2若f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的周期函數(shù)且有最小正周期T0，又T是f(x)的任一周期，則T必是T0的整數(shù)倍.

證如若不然，則存在整數(shù)n,使得T=nT0+T′，0

f(x)=f(x+T)=f(x+nT0+T′)=f(x+T′).

上式說明T′也是f(x)的一個(gè)周期.但0

最后，來證明定理.充分性是顯然的，只需要證明必要性.

設(shè)f1(x),f2(x)和F(x)=f1(x)+f2(x)都是周期函數(shù)，分別取它們的周期為T1,T2,T3.則

0=F(x+T3)-F(x)=f1(x+T3)+f2(x+T3)-f1(x)-f2(x)，

于是

f1(x+T3)-f1(x)=f2(x)-f2(x+T3).

引入新函數(shù)G(x)=f1(x+T3)-f1(x)，則G(x)連續(xù).另一方面，由

G(x+T1)=f1(x+T3+T1)-f1(x+T1)=f1(x+T3)-f1(x)=G(x),

G(x+T2)=f2(x+T2)-f2(x+T3+T2)=f2(x)-f2(x+T3)=G(x),

知T1,T2都是G(x)的周期.

情形2：G(x)是常數(shù)函數(shù).設(shè)此常數(shù)為c，即f1(x+T3)-f1(x)=c.對(duì)于任意正整數(shù)n,在上式中令x=0,T3,2T3,…,(n-1)T3，相加得

f1(nT3)-f(0)=nc.

另一方面，f1(x)為連續(xù)周期函數(shù)，從而f1(x)有界.無妨設(shè)|f1(x)|的上界為M.于是，nc≤2M.由n的任意性，c=0.所以

f1(x+T3)-f1(x)=0,f2(x+T3)-f2(x)=0，

即T3是f1(x)和f2(x)的公共周期.在此情形，取f1(x)的周期T3和f2(x)的周期T3，其周期的比等于1，也是有理數(shù)，定理的結(jié)論依然成立.

最后，給出定理的一個(gè)應(yīng)用：取f1(x)=sinx,f2(x)=[x], 由于f1(x)的最小正周期是2π，f2(x)的最小正周期是1，其比不是有理數(shù)，另外，f1(x)連續(xù)，由定理，和函數(shù)

F(x)=f1(x)+f2(x)

不是周期函數(shù).由于f2(x)不連續(xù)，以前的結(jié)果不能直接得出此結(jié)果.

3　結(jié)　　論

在本文中，解決了當(dāng)兩個(gè)周期函數(shù)之一連續(xù)時(shí)，它們的和是否為周期函數(shù)的問題.我們這里考慮的函數(shù)都是定義在實(shí)數(shù)域上的，在理論與實(shí)踐上，人們會(huì)遇到復(fù)數(shù)域上的函數(shù)，自然地，有下面的問題：

若f1(x),f2(x)都是定義在復(fù)數(shù)域上的連續(xù)復(fù)值周期函數(shù)，則F(x)=f1(x)+f2(x)為周期函數(shù)是否等價(jià)于f1(x)和f2(x)的周期之比為有理數(shù)？

我們的證明不能解決這個(gè)問題，主要困難是復(fù)數(shù)域上的周期函數(shù)可以有兩個(gè)如1和i這樣有理無關(guān)的周期，使得引理1和引理2沒有意義.

[1]李繼閔. 周期函數(shù)的和、差、積、商的周期性[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，1965(5)：40-43.

[2]鄧恒道. 關(guān)于周期函數(shù)的充要條件[J]. 工科數(shù)學(xué)，1993，9(3)：154-155.

[3]秦翠娥, 黃永強(qiáng). 函數(shù)周期性的判定方法[J]. 工科數(shù)學(xué)，1994，10(2)：178-182.

[4]周大光，章合利. 周期函數(shù)和它的一個(gè)充要條件[J]. 工科數(shù)學(xué)，1994，10(3)：171-174.

[5]吳玫華. 周期函數(shù)Fourier級(jí)數(shù)展開式唯一性的簡單證明與推廣[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22(4)：151-153.

[6]譚福錦，農(nóng)吉夫. 復(fù)周期函數(shù)的若干性質(zhì)[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2008，24(3)：148-151.

[7]Golomb S W. Periodic functions having incommensurable periods[J]. American Mathematical Monthly, 1957, 64: 598-599.

The Periodic Property of the Sum of Two Periodic Functions

LIU Chang-jian,TANG Zheng-yi

(School of Mathematical Sciences, Soochow University, Suzhou Jiangsu 215006, China)

Obviously if the ratio of two periods of two function is rational, then the sum of these two functions is also periodic. On the contrary, if the sum is periodic, then must the ratio of two periods be rational. In the present paper, we prove that if one of the two functions is continuous, then the problem is correct.

periodic functions; minimal positive period; continuous

2015-03-15；[修改日期]2016-06-13

國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(11371269); 江蘇省“青藍(lán)工程”青年骨干教師

劉長劍(1978-)，男，博士，教授，從事常微分方程定性理論研究.Email:liucj@suda.edu.cn

O178

C

1672-1454(2016)04-0082-03