線性微分方程的一個反問題

高德智

(山東科技大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，山東青島266590)

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線性微分方程的一個反問題

高德智

(山東科技大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，山東青島266590)

討論了線性微分方程的一個反問題.給定一個線性無關(guān)的函數(shù)組，可以得到一個高階線性微分方程，該微分方程的基本解組恰好是此函數(shù)組.另外，對一階線性微分方程組也進行了類似的討論.

線性微分方程； 線性無關(guān)解； 通解

1　引　　言

微分方程的求解問題是微分方程的核心問題.一般而言，沒有通用的方法，但是，對線性微分方程其解的結(jié)構(gòu)我們的認識是比較清楚的.可以先確定對應的齊次方程的通解，再確定一個非齊次的特解，就能把非齊次的通解表示出來.對常系數(shù)的高階線性微分方程和微分方程組，可以通過求特征方程根的方法對相應的齊次方程的基本解組給予完全的刻畫.本文中，我們討論一個反問題：給一個函數(shù)組，問在滿足什么條件下，它們是某個微分方程的基本解組？該微分方程的具體形式又如何？這類問題只在某些教科書中對一些簡單的微分方程討論過[1,2]，沒有一般系統(tǒng)的結(jié)論.大多數(shù)的研究者主要討論怎樣求解一個微分方程或方程組模型[3,4]，本文中，我們對該問題進行了比較全面的刻畫，并通過幾個具體的例子說明我們的方法的可行性.我們對反問題的提法略顯特殊，對微分方程一般反問題的詳盡討論可參閱專著[5].

2　高階線性微分方程

定義1函數(shù)組y1(x),y2(x),…,yn(x)稱為在區(qū)間I上是線性相關(guān)的，如果存在一組不全為零的常數(shù)λ1,λ2,…,λn，使得

λ1y1(x)+λ2y2(x)+…+λnyn(x)=0

在I上恒成立.否則稱y1(x),y2(x),…,yn(x)在區(qū)間I上是線性無關(guān)的.

定義2設(shè)函數(shù)組y1(x),y2(x),…,yn(x)在區(qū)間I上有直到n-1階的連續(xù)導數(shù)，稱行列式

為函數(shù)組y1(x),y2(x),…,yn(x)在區(qū)間I上的朗斯基行列式.

對一般的n階線性齊次微分方程

y(n)+a1(x)y(n-1)+…+an-1(x)y′+an(x)y=0

(1)

有下面的定理：

定理1設(shè)函數(shù)組y1(x),y2(x),…,yn(x)是方程(1)在區(qū)間I上的n個解，則

(i) 此n個解在I上線性相關(guān)的充分必要條件是在I上W(x)≡0；

(ii) 此n個解在I上線性無關(guān)的充分必要條件是?x∈I，有W(x)≠0.

下面考慮一個相反的問題，給定一個在某區(qū)間I上n個線性無關(guān)的函數(shù)組y1(x),y2(x),…,yn(x)，問在滿足什么條件下它們是某個n階線性微分方程的一組基礎(chǔ)解.

定理2設(shè)函數(shù)組y1(x),y2(x),…,yn(x)在區(qū)間I上有直到n階的連續(xù)導函數(shù)，且其朗斯基行列式W(x)≠0，則一定存在一個n階線性微分方程，使得它的基礎(chǔ)解恰為

y1(x),y2(x),…,yn(x).

證由于?x∈I，有W(x)≠0，則行列式

這樣，方程組

必存在唯一解a1(x),a2(x),…,an(x)，且在區(qū)間I上連續(xù).則微分方程

y(n)+a1(x)y(n-1)+…+an-1(x)y′+an(x)y=0

就是要求得方程.

例1當λ1≠λ2時，y1=eλ1x,y2=eλ2x是兩個線性無關(guān)的函數(shù)，求解微分方程

容易得到

a1(x)=-(λ1+λ2),a2(x)=λ1λ2.

所得微分方程為

y″-(λ1+λ2)y′+λ1λ2y=0.

該結(jié)論和我們正面求解微分方程時，所得到的結(jié)論是一致的.

例2取y1=ex,y2=cosx，利用上述方法可以求得對應的微分方程為

這個例子，要是正面求解將非常困難.

3　一階線性微分方程組

對于一階線性微分方程組，也可以得到類似的結(jié)論.

定理3設(shè)

是n個向量函數(shù)，在區(qū)間I上每個分量函數(shù)有連續(xù)的導函數(shù)，且在區(qū)間I上行列式

(2)

則一定存在唯一的一組連續(xù)函數(shù)aij(x),i,j=1,2,…,n，使得yi(x)是微分方程組

證?x∈I，作下面的代數(shù)方程組

(3)

由條件(2)知，方程組(3)存在唯一的一列函數(shù)aij(x),i,j=1,2,…,n滿足該方程組.由此得到函數(shù)組yi(x)是微分方程組

的解，又因為是該函數(shù)組是線性無關(guān)的，所以它們的通解為

例3取函數(shù)組為

按照上面的方法，只需求下面的方程組

即可.經(jīng)過簡單的計算

由此得到所求的微分方程組為

我們在上面討論了一個微分方程的反問題，該問題提供了一個在已知一組函數(shù)組的情形下求微分方程或方程組的一般方法，在實際應用中還是很有意義的.另外，通過該反問題的討論也使學生進一步理解微分方程解的唯一性問題和求解問題.當我們間接知道一個系統(tǒng)的一組線性無關(guān)的解時，可以通過上述方法反求出該系統(tǒng)滿足的微分方程或方程組，從而更清楚地研究該系統(tǒng)的其他相關(guān)問題.因此，我們所討論的問題在理論上還是很有意義的.

[1]伍卓群，李勇.常微分方程[M]. 北京：高等教育出版社，2004.

[2]袁榮.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2012.

[3]彭慶英.常系數(shù)線性微分方程組的基解矩陣的新求法[J]. 《大學數(shù)學》，2013,29(6)：120-124.

[4]金路，朱大訓.一階線性微分方程的一種解法[J].《大學數(shù)學》，2013,29(2)：86-90.

[5]Romanov V G,Vasiliev A M.Multidimensional inverse problems for differential equations[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1970.

An Inverse Problem of Linear Differential Equations

GAO De-zhi

(College of Mathematics and Systems Science , Shandong University of Science and Technology,Qingdao Shandong 266510,China)

An inverse problem of linear differential equations is considered in this paper. Given a group of independent functions, a high-order linear differential equation can be obtained, whose foundational solutions are just the given functions. In addition, the similar problem is also discussed for the first order linear differential systems.

linear differential equation; linearly independent solutions; general solution

2014-12-30；[修改日期]2016-05-08

國家自然科學基金(11271007)

高德智(1963-),男，博士，教授，主要從事應用泛函分析方面的教學與研究工作.Email:gaodezhi@sdust.edu.cn

O175.1

C

1672-1454(2016)04-0078-04