“學(xué)以致用”理念下放球模型教學(xué)設(shè)計(jì)

趙魯濤，　李　曄，　張志剛，　王榮明

(1.北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京100083；　2.北京科技大學(xué)自然科學(xué)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中心，北京100083)

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“學(xué)以致用”理念下放球模型教學(xué)設(shè)計(jì)

趙魯濤1，李曄2，張志剛1，王榮明1

(1.北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京100083；2.北京科技大學(xué)自然科學(xué)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中心，北京100083)

在“學(xué)以致用”教學(xué)理念下，以引例導(dǎo)入、提出問題、分析求解、應(yīng)用拓展為主線，進(jìn)行了放球模型的教學(xué)設(shè)計(jì).在教學(xué)設(shè)計(jì)中集中體現(xiàn)了將課堂教學(xué)與生產(chǎn)、生活、科研相結(jié)合的思想，設(shè)計(jì)了生日問題、生日攻擊、抽屜原理三個(gè)案例，并將計(jì)算機(jī)仿真模擬、動(dòng)畫演示等現(xiàn)代化教學(xué)手段引入到課堂教學(xué)中.在此教學(xué)設(shè)計(jì)下開展的課堂教學(xué)充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，培養(yǎng)了學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，提高了教學(xué)效果.

學(xué)以致用； 教學(xué)設(shè)計(jì)； 放球模型

1　引　　言

當(dāng)今社會(huì)，知識(shí)交叉融合、綜合化的趨勢日益增強(qiáng)，對(duì)人才的知識(shí)結(jié)構(gòu)、能力結(jié)構(gòu)、素質(zhì)結(jié)構(gòu)等方面提出了新的要求和更高的標(biāo)準(zhǔn).這就對(duì)高等教育工作者們提出了新的挑戰(zhàn)，教師必須改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，樹立新的教學(xué)理念，培養(yǎng)順應(yīng)形勢發(fā)展的“復(fù)合型”創(chuàng)新型人才[1-3].復(fù)合型人才的重要特征之一就是不僅需要有扎實(shí)的學(xué)科基礎(chǔ)，寬廣的知識(shí)面，更需要擁有靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.對(duì)于我校的學(xué)生，往往缺乏的不是知識(shí)，而是應(yīng)用知識(shí)、創(chuàng)造知識(shí)的能力.這種現(xiàn)象是由以教師講授、傳遞知識(shí)為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式所造成的.

以概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程為例，傳統(tǒng)的課堂教學(xué)是抽象難懂的概念以及公式的推導(dǎo)，知識(shí)應(yīng)用較少，使得理論與實(shí)際脫節(jié)，最終導(dǎo)致學(xué)生不知道“為何而學(xué)”，到底“學(xué)有何用”，從而影響學(xué)生“學(xué)以致用”能力的培養(yǎng)[4].概率知識(shí)來源于生活，應(yīng)用于生活，如果教師只注重理論講授，那就脫離了知識(shí)的本質(zhì).鑒于此，筆者根據(jù)十多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出了“學(xué)以致用、用以促學(xué)”的教學(xué)理念，并應(yīng)用于教學(xué)實(shí)踐.本文主要通過“放球模型”教學(xué)設(shè)計(jì)來體現(xiàn)“學(xué)以致用”教學(xué)理念.

2　放球模型教學(xué)設(shè)計(jì)

放球模型是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的重要的基礎(chǔ)模型，本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)由問題引入、問題解析、應(yīng)用拓展三個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成.

2.1問題引入——生日問題

放球模型與實(shí)際生活緊密聯(lián)系，在課堂教學(xué)伊始，采用與學(xué)生關(guān)注的、有意思的生日問題作為引入問題.在此設(shè)計(jì)兩個(gè)問題，第一：在班級(jí)之中，同學(xué)們同一天生日的概率有多大？第二：以美國歷任44位總統(tǒng)，生日和祭日相同的情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，以統(tǒng)計(jì)結(jié)果來進(jìn)一步引導(dǎo)同學(xué)思考.

兩組有趣而又貼近生活的引例的展示成功的抓住學(xué)生的心弦，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的參與熱情，激發(fā)了學(xué)生的興趣和求知欲，為整堂課奠定良好的基礎(chǔ).同時(shí)，用來源于現(xiàn)實(shí)生活的問題引出所學(xué)內(nèi)容，帶動(dòng)學(xué)生自主地發(fā)現(xiàn)、探索周邊生活中的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生“學(xué)以致用”的意識(shí).

2.2問題解析

2.2.1提出問題原型

放球模型——將m個(gè)不同編號(hào)的球隨機(jī)放入N(N≥m)個(gè)盒子中，每球以相同的概率放入盒子，盒子容量不限，令：A1為某指定的m個(gè)盒子中各有一球；A2為恰有m個(gè)盒子中各有一球；A3為至少有兩球在同一個(gè)盒子中；求P(Ai)，i=1,2,3.

提出問題以后，引導(dǎo)學(xué)生理解球和盒子是抽象出來的模型元素，針對(duì)不同的現(xiàn)實(shí)問題，二者將賦予不同的含義.

2.2.2分析求解

放球模型是典型的古典概型，利用古典概型的解題思路：

(ii)求P(A2).引導(dǎo)學(xué)生判斷A2與A1的區(qū)別，A2需要先選盒子再放球，利用A1的結(jié)果，求得A2的概率，因此有

(1)

(iii)求P(A3).采用對(duì)立的思想對(duì)于A3求解.若從正面分析什么是“至少”，可能會(huì)出現(xiàn)兩球在同一盒子中，還有可能是3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)…，直接計(jì)算非常復(fù)雜，因此要通過其對(duì)立事情的考慮迂回求解A3的概率，而A3的對(duì)立事件就是A2，因此，可以方便求得P(A3)的結(jié)果.

(2)

通過設(shè)置A1,A2,A3事件，由淺入深，循序漸進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生思考.讓學(xué)生掌握將復(fù)雜問題分解為若干簡單問題，再逐個(gè)擊破的思維方式.

2.3應(yīng)用拓展

放球模型作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型，在實(shí)際應(yīng)用中，將球和盒子賦予不同的內(nèi)容，可以解決不同的問題.比如生日問題、生日攻擊、抽屜原理等等.

2.3.1生日問題

(i)生日問題求解

回歸到引例，生日問題就是引例中提到的緣分.在此可以設(shè)計(jì)互動(dòng)環(huán)節(jié)，先與學(xué)生交流，讓學(xué)生估計(jì)概率的大小，并且按照學(xué)生的思路向問題的反方向引導(dǎo)，提出“30人與365天相比，不足1/12，這樣的概率會(huì)多大呢？10%，20%，50%？”等問題，這樣做是為了與計(jì)算結(jié)果形成巨大反差，為后續(xù)生日悖論的提出打下伏筆.

生日問題與放球模型的聯(lián)系在于，尋找生日問題中的“小球”和“盒子”，生日相同也就是兩球在同一盒子中.那么，在這個(gè)問題中同學(xué)是小球，日期是盒子，30個(gè)人的班級(jí)，有兩人生日相同的概率則為

(3)

為了進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)抽象問題的理解，從本質(zhì)掌握概率是描述統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門學(xué)科，在此利用Matlab編制程序，模擬實(shí)驗(yàn)過程.

(ii)生日問題仿真

實(shí)驗(yàn)設(shè)定為100次，觀察實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)有人生日相同的次數(shù).

仿真結(jié)果分3個(gè)部分展示，第一部分為試驗(yàn)結(jié)果，如圖1上半部分所示，其中橫坐標(biāo)代表試驗(yàn)次數(shù)，也就是觀察了多少個(gè)班級(jí)，縱坐標(biāo)代表一年365天，每一列是隨機(jī)產(chǎn)生的30個(gè)數(shù)字，代表30個(gè)人的生日，如果出現(xiàn)生日相同則用“*”標(biāo)志.第二部分如圖右下部分，為頻數(shù)圖，右面的柱子代表試驗(yàn)次數(shù)，左面的柱子代表生日相同發(fā)生的次數(shù)，也就是頻數(shù)，頻數(shù)與試驗(yàn)次數(shù)的比值，即為頻率.從結(jié)果可以看到，本組試驗(yàn)恰好為71/100=0.71與剛才計(jì)算的概率值(0.706)非常接近.第三部分是頻率與概率比較圖，如圖左下部分.這個(gè)圖形中直線就是所計(jì)算的概率值0.706，而波形線就是隨著試驗(yàn)次數(shù)的進(jìn)行，不斷變化的頻率，頻率的穩(wěn)定性得以體現(xiàn)，也就是，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)少的時(shí)候，頻率的波動(dòng)幅度大，而試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率趨于穩(wěn)定值，這個(gè)穩(wěn)定值就是事件發(fā)生的概率.這個(gè)結(jié)論是否有嚴(yán)格的理論依據(jù)呢？這個(gè)概率論的“根基問題”，將在第五章大數(shù)定律教學(xué)中，給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.同時(shí)，現(xiàn)實(shí)概率的研究問題中，正是通過隨機(jī)試驗(yàn)來對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律進(jìn)行研究，而生日問題的模擬試驗(yàn)，在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，讓學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)意義定義有更深入、直觀的理解.

圖1　生日問題仿真實(shí)驗(yàn)

(iii)實(shí)際數(shù)據(jù)檢驗(yàn)

選取我校2005～2012級(jí)本科生班級(jí)，驗(yàn)證生日問題的結(jié)果.

圖2　生日問題實(shí)例

圖2中的柱子高度為當(dāng)年的班數(shù)，深顏色代表出現(xiàn)相同生日的班數(shù)，折線就是頻率，最終的合計(jì)，全校共930個(gè)班級(jí)，出現(xiàn)生日相同的有654個(gè)，比例為70.32%，與前面計(jì)算的70.6%很接近.實(shí)際數(shù)據(jù)檢驗(yàn)的結(jié)果與理論計(jì)算相吻合.

2.3.2生日悖論

進(jìn)一步對(duì)至少兩人生日相同的概率P(B)和有人與“我”生日相同的概率P(C)關(guān)于m的函數(shù)圖像進(jìn)行討論：

圖3　生日悖論圖

從圖中可以看出，m=60時(shí)的時(shí)候，N(N≥m)，P(C)的值差別很大.同樣對(duì)于P(B),P(C)取相同的概率值，對(duì)應(yīng)的,也差別很大.當(dāng)m=12時(shí)，P(B)=0.18，而P(C)=0.18時(shí)，對(duì)應(yīng)的m=73，這就是我們感性認(rèn)識(shí)和理性計(jì)算的矛盾，因此才有生日悖論問題.進(jìn)一步觀察P(B)曲線，可以得到，隨著人數(shù)的增多，出現(xiàn)生日相同的概率以驚人的速度增長.一個(gè)宿舍六個(gè)人，有人生日相同的可能性為0.04，而人數(shù)變?yōu)?5時(shí)，概率卻擴(kuò)大了6倍，當(dāng)24人的時(shí)候已經(jīng)超過50%.而剛才的44位總統(tǒng)中，有人生日相同的概率為0.93，所以才有那么多巧合.在現(xiàn)實(shí)生活中，出現(xiàn)生日相同是個(gè)緣分，是件好事，可是在某些科學(xué)研究中，這樣的“緣分”未必是件好事，引出生日攻擊問題.

2.3.3生日攻擊

生日攻擊問題的一個(gè)重要應(yīng)用就是對(duì)文件進(jìn)行加密.在密碼學(xué)中，經(jīng)常使用Hash函數(shù)對(duì)明文密碼進(jìn)行加密，例如常用的MD5加密算法就是這樣的一種Hash函數(shù).Hash函數(shù)的定義為：輸入可以是任意長度字符串；而輸出必須是固定長度二進(jìn)制編碼，一般為64，128bits等；其目的是為需認(rèn)證的數(shù)據(jù)產(chǎn)生一個(gè)“指紋”[5-7].

當(dāng)然在轉(zhuǎn)換的過程中，希望不同的字符經(jīng)過Hash函數(shù)處理后，變成不同的編碼.但是，如果將輸入的字符串作為小球，固定長度的二進(jìn)制編碼作為盒子，根據(jù)前面討論的結(jié)果，隨著小球的增多，兩球落入同一盒子的可能性增大.對(duì)應(yīng)Hash變化來講，就是不同的字符串對(duì)應(yīng)了相同的編碼，此時(shí)稱發(fā)生了Hash碰撞，碰撞則意味著容易偽造或欺騙，也就是對(duì)于不同的需認(rèn)證的數(shù)據(jù)產(chǎn)生了相同的指紋(相當(dāng)于用兩把不同的鑰匙打開了同一個(gè)房間).由于這個(gè)問題是密碼學(xué)家根據(jù)生日問題引入的，所以將其稱為生日攻擊.

那么該如何減緩這樣的碰撞呢？根據(jù)前面的討論，碰撞的可能性不但與m有關(guān)，還與N有關(guān)，那N如何變化可以減緩碰撞的可能性呢？

當(dāng)m固定時(shí)，觀察N(N≥m)與碰撞概率P(B)之間的關(guān)系：

(4)

進(jìn)一步作出P(B)關(guān)于N,m的函數(shù)關(guān)系圖，如圖：

圖4　生日攻擊問題圖

圖4展示了不同N,m與碰撞概率之間的關(guān)系，從上到下對(duì)應(yīng)的N值分別是100，500，1000，5000和10000.從圖中可以看出對(duì)于相同的m,N越大碰撞發(fā)生的概率就越小，也就是說N的增大，可以有效減緩碰撞發(fā)生的可能性.因此密碼學(xué)中，散列值需要足夠大，才能抵抗生日攻擊.

自上世紀(jì)80年代末期，隨著IT時(shí)代的興起，密碼學(xué)越來越受到重視，而與此同時(shí)產(chǎn)生了大量關(guān)于生日悖論和生日攻擊的研究論文，直至今日生日悖論和生日攻擊仍是國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)問題.讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)，概率在現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展中依然綻放著的旺盛的生命力.

2.3.4抽屜原理

以上范例均是關(guān)于放球模型都是球數(shù)小于盒子數(shù)，如果將條件互換，也就是說盒子數(shù)小于球數(shù)，兩球在同一盒子的概率就變?yōu)?，也就是個(gè)必然事件.這個(gè)必然事件是組合數(shù)學(xué)中非常著名的抽屜原理，也叫做狄利克來原理，具體如下：將n+1個(gè)球放入n個(gè)盒子中，必有兩個(gè)球在同一盒子中.提出問題：北京人中有沒有兩個(gè)人頭發(fā)根數(shù)相同？引發(fā)學(xué)生的討論和思考.如何利用抽屜原理解決該問題，轉(zhuǎn)化問題：所謂兩人頭發(fā)根數(shù)相同，其實(shí)就是兩球在同一盒子中，所以，選頭發(fā)數(shù)作為盒子，北京人是小球.據(jù)《北京統(tǒng)計(jì)年鑒2012》，北京人口數(shù)為1277.9萬，人的頭發(fā)平均有12萬根，我們以20萬根為限度，也就是說人數(shù)遠(yuǎn)大于頭發(fā)數(shù)，根據(jù)抽屜原理，我們將得到北京人中至少有兩人頭發(fā)根數(shù)相同的結(jié)論.

最后，給學(xué)生留一個(gè)思考題：公安機(jī)關(guān)使用DNA和指紋作為認(rèn)定犯罪嫌疑人的根據(jù)是否合理，不同的人會(huì)不會(huì)有相同的DNA和指紋呢？將學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣延伸到課堂以外，在不斷思考中提升自己.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題，而要想讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，就要從構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的角度上來認(rèn)識(shí)并加以實(shí)行[8].本單元的教學(xué)設(shè)計(jì)中，結(jié)合放球模型這一知識(shí)點(diǎn)，選用與實(shí)際生活密切相關(guān)的案例，引導(dǎo)學(xué)生將生日問題、生日攻擊、抽屜原理等實(shí)際問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)中的問題——放球模型，讓學(xué)生理解并掌握構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法，提高學(xué)生“學(xué)以致用”的能力.

3　結(jié)　　論

筆者總結(jié)十多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通過引例導(dǎo)入、提出問題、分析并解決問題和應(yīng)用拓展的教學(xué)模式，以“學(xué)以致用，用以促學(xué)”為教學(xué)理念，采用“動(dòng)畫演示、計(jì)算機(jī)仿真模擬、現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)”等教學(xué)手段，設(shè)計(jì)了放球模型的整個(gè)教學(xué)過程.

教學(xué)過程遵守循序漸進(jìn)、層層深入的原則.首先，引例的生活化、情景化，提高了學(xué)生的興趣，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建理論模型，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際中抽象出理論知識(shí)的能力.其次，介紹理論知識(shí)時(shí)，注重模型與實(shí)際的關(guān)聯(lián)性.比如在講解放球模型時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生了解該模型是抽象出來的，當(dāng)球與盒子賦予不同的含義，就可以解決不同的問題，讓學(xué)生真正地理解理論知識(shí).最后，設(shè)計(jì)了與生活、科研密切相關(guān)的三個(gè)案例，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的實(shí)用性，在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.課堂教學(xué)的向外延伸，使學(xué)生將枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)與鮮活的生活和科研結(jié)合在一起，達(dá)到“學(xué)以致用”的目的；同時(shí)，通過解決實(shí)際問題，又可以“用以促學(xué)”，最終達(dá)到“學(xué)用相長”.

另外，設(shè)計(jì)的案例具有層進(jìn)性和遞進(jìn)性.首先，選用貼近生活的實(shí)例——生日問題，不僅便于學(xué)生接受和理解，而且能充分讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)與生活息息相關(guān)，感到“學(xué)有所用”；而后，通過學(xué)術(shù)論文，展示放球模型在學(xué)術(shù)研究中的應(yīng)用——生日攻擊，培養(yǎng)學(xué)生深入挖掘知識(shí)的能力，讓學(xué)生了解模型在密碼學(xué)中的應(yīng)用，提升知識(shí)層次，激發(fā)學(xué)生探究新知識(shí)、新領(lǐng)域的興趣；最后，調(diào)轉(zhuǎn)研究前提條件，展示抽屜原理，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化思維的能力.

實(shí)踐證明，本單元的教學(xué)設(shè)計(jì)不僅能夠提高激發(fā)學(xué)生興趣，提高教學(xué)效果，而且提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和獨(dú)立思考的能力.

[1]金一平，吳婧姍，陳勁. 復(fù)合型人才培養(yǎng)模式創(chuàng)新的探索和成功實(shí)踐——以浙江竺可楨學(xué)院強(qiáng)化班為例[J].高等工程教育研究，2012，(3)：132-137.

[2]Bernstein D J,Lange T,Niederhagen R,Peters C,Schwabe P. FSBday: Implementing Wagner′s Generalized Birthday Attack against the SHA-3 Round-1 Candidate FSB[C]∥10th International Conference on Cryptology in India, 2009:18-38.

[3]Tuba M,Stanarevic N.Relation between Successfulness of Birthday Attack on Digital Signature and Hash Function Irregularity[J]. WSEAS Transactions on Information Science and Applications, 2010,7(2):186-195.

[4]徐群芳.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程教學(xué)的探索與實(shí)踐[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué),2010,26(1):10-13.

[5]王張宜,李波,張煥國.Hash函數(shù)的安全性研究[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2005,41(12):18-19.

[6]李曉雄,左黎明,湯鵬志.消息恢復(fù)簽名方案的分析和改進(jìn)[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2012,48(32):69-71.

[7]Bellare M,Kohno T. Hash function balance and its impact on birthday attacks[C]. 23rd Annual Eurocrypt Conference, 2004:401-418.

[8]許先云,楊永清. 突出數(shù)學(xué)建模思想 培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué),2007,23(4):137-140.

The Instructional Design of “Putting Ball Model” Based on the Idea of “Study Guided by Application”

ZHAO Lu-tao1， LI Ye2， ZHANG Zhi-gang1， WANG Rong-ming1

(1. School of Mathematics and Physics ,University of Science and Technology,Beijing 100083,China;2. Basci Experimental Center for Natural Science,University of Science and Technology,Beijing 100083,China)

We design the teaching of “putting ball model” based on the idea of “study guided by application”. The main parts include quotes、putting question、solving problem and expansion. We put forward three cases-The birthday problem, birthday attack and Dirichlet principle. The information technology tools are also used during the class. Practice indicate that the teaching design stimulates students′ motivation and enthusiasm, improved the basic knowledge system, contributed tocultivating students′ capability of scientific and technological innovation, and improved the quality of teaching.

study guided by application; teaching design; putting ball model

2015-04-21；[修改日期]2016-06-06

北京高等學(xué)校教育教學(xué)改革立項(xiàng)項(xiàng)目(2015-ms028)；北京科技大學(xué)教育教學(xué)改革項(xiàng)目

趙魯濤(1979-)，男，博士，副教授，從事統(tǒng)計(jì)與優(yōu)化研究.Email:LTZhao@ustb.edu.cn

O211.5

C

1672-1454(2016)04-0056-06