Liu系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)估計

韓雪瓊,　柏曉明

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

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Liu系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)估計

韓雪瓊,柏曉明

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

基于Leonov提出的Lyapunov 維數(shù)理論，通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù),給出了Liu系統(tǒng)不變集的Lyapunov維數(shù)估計式.最后并給出了Liu系統(tǒng)混沌吸引子的Lyapunov維數(shù)估計.

維數(shù)理論； Lyapunov函數(shù)； Lyapunov維數(shù)； Liu系統(tǒng)

1　引　　言

隨著混沌系統(tǒng)的大量發(fā)現(xiàn)，其吸引子的動力學(xué)行為受到國內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注，其中一個非常重要的問題是刻畫混沌吸引子的維數(shù)，因為它反映了吸引子結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和幾何特征.其中一個就是Lyapunov維數(shù),它由Kaplan和Yorker提出后[14]一直是人們的研究熱點.2002年，基于Lyapunov函數(shù)方法俄羅斯院士Leonov系統(tǒng)地發(fā)展了一套估計該維數(shù)的理論.應(yīng)用該理論估計混沌系統(tǒng)Lyapunov維數(shù)的關(guān)鍵在于構(gòu)造恰當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù).最近通過構(gòu)造各種不同Lyapunov函數(shù)他巧妙地給出了Lorenz系統(tǒng)[1]、Chen系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)、Tigan系統(tǒng)、Yang系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)估計.2004年劉崇新等人發(fā)現(xiàn)了一個含平方項的三階連續(xù)自治混沌系統(tǒng)-Liu混沌系統(tǒng)[6],隨后該系統(tǒng)的動力學(xué)行為受到了大家的極大關(guān)注[9-13].然而其吸引子維數(shù)估計卻未知，本文應(yīng)用Leonov理論給出Liu系統(tǒng)吸引子的Lyapunov維數(shù)估計.

2　Lyapunov維數(shù)吸引子

考慮一個微分方程

(1)

其中f:Rn→Rn, 令σ1(X(t,x0)≥…≥σi(X(t,x0))>0為其變分方程基本解矩陣X(t,x0)奇異值.

定義1[7]點x0處的Lyapunov指數(shù)定義為

定義2在點x0的Lyapunov維數(shù)的定義為

(2)

3　主要定理: Liu系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)

考慮下列的Liu系統(tǒng)

(4)

其中a>0,b>0,c>0,d>0,h>0.利用定理1和定理2, 本文給出了Liu系統(tǒng)的維數(shù)估計.

定理3對a和d，如果滿足下列不等式

(5)

(6)

dc+2a(h-c)>0,

(7)

ab>d(a+d),

(8)

則系統(tǒng)(4)不變集KLyapunov維數(shù)滿足

(9)

(10)

的特征值為

其中 γ=2β+d-a，

容易看出λ1≥λ2≥λ3.

其中

其中μ1,μ2,μ3,μ4為待定參數(shù).根據(jù)定理1就必須有如下不等式成立:

(11)

即(c1) 選取適當(dāng)?shù)摩?,μ2,μ3,μ4,使

(12)

(c2) 存在s∈[0,1), 使

(13)

要使(12)式成立,故需選取適當(dāng)?shù)摩?,μ2,μ3,μ4使如下不等式組成立

(14)

(15)

(i) 由(7)式知β-a>0,故由(14)式的第一個不等式得

(16)

由韋達(dá)定理和A1≤0,只需滿足如下不等式就存在μ4>0使上式成立

(17)

(iii) 由(15)式的第一個不等式可得

(18)

注意到B1≤0,μ4>0,從而由上式可看出只要

(19)

第4步：此步主要證明存在s∈[0,1)使(13)式成立即

(20)

注當(dāng)a=10,b=40,c=1,d=2.5,h=4,Liu系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)[9],易驗證(5)-(8)式成立.由(9)式知其混沌吸引子的Lyapunov維數(shù)估計為dimLK≤2.512195.

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An Estimation of Lyapunov Dimension of Liu System

HAN Xue-qiong,BAI Xiao-ming

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

We first obtain an estimation of Lyapunov dimension for invariant sets of Liu system by constructing Lyapunov function based on Lyapunov dimension theory developed by G.A.Leonov, and then we give an estimation of Liu attractors.

dimension theory； Lyapunov function ； Lyapunov dimension ； Liu system

2016-01-18;[修改日期]2016-04-17

安徽省高等學(xué)校省級自然科學(xué)研究重點項目(2012AJZR0323);中央基本科研業(yè)務(wù)費(2014HGXJ0076,2014HGXJ0081)

韓雪瓊(1992-),女，碩士研究生, 從事生物數(shù)學(xué)研究.Email:742293028@qq.com

O175.13

A

1672-1454(2016)04-0035-05